MM

Le terme du premier membre donne pour P une échelle logarithmique simple, les deux premiers termes du second membre donnent une échelle binaire pour l'ensemble (tu, II), et le reste du second membre une échelle binaire pour l'ensemble ( cp, ç>t ).

L'abaque correspondant, construit par M. Renard, et sur lequel l'échelle de la poussée P a été fractionnée au point P = 5 pour que l'abaque tienne dans un cadre plus restreint, est reproduit sur la fig. \!\ •>..

La position des index du transparent, marquée en pointillé, correspond à l'exemple numérique

ttt = 2T,

pour lequel l'abaque donne P = 5T,^j.

120. Abaques à glissement. — L'emploi des échelles binaires peut aussi se combiner avec le principe des abaques hexagonaux à glissement dont il a été question au n° 37.

On aura ainsi la représentation d'une équation de la forme

/îOi, Pi) -+-/2O2, pï)4-...H-/«(a«, p„) = 0.

Exemple : Abaque de l'erreur de réfraction dans le nivellement géométrique. — Si l'on représente par

B la pression barométrique;

D la différence brute de niveau prise en valeur absolue; L la longueur de la nivelée;

/2 la température de l'air à la hauteur de la lunette;

t:i et ty ses températures aux points où la ligne de \isée rencontre les deux mires d'arrière et d'avant,

et si l'on pose, en outre,

l'erreur de réfraction z est donnée par la formule omm, 00108 B

76 D (1 -ho, oo366 0)

HKÏ (* + *')

o,4343— -Iog(i — 8»)

log

o étant défini par l'équation

log(i + o) x'

( '2 ) ï ; ST — — *

log(i — 0) X

En outre, s est ou non de même signe que la différence de niveau D qui, sur l'abaque, ne sera prise, comme on vient de le dire, qu'en valeur

absolue, suivant que le quotient — ^ — est négatif ou positif .

Posant

o,ooto8

k, o,oo366 = a

et remarquant qu'en vertu de (2) 0 est une fonction de x et t', on voit que la formule (1) peut s'écrire

ou encore

logs — log/: — logB — logD -4- 1 logL — 2 log(i -h aO)

-+-log(x-i-x') + logcp(o),

8 dépendant de x et de x' en vertu de l'équation (2).

Sous cette dernière forme, on voit qu'elle est susceptible d'être représentée par un abaque hexagonal à glissement du type de la fig. 4o(n°37), comprenant une échelle simple (s) et trois échelles binaires (B,D), (L, 6) et (x, x').

L'échelle (s) et l'une des échelles binaires, (L, 6) par exemple, seront accolées à l'axe Ox de la fig. 40, les deux autres échelles à l'axe Ojk, et le glissement aura lieu normalement à l'axe 0-3 (1).

Si nous représentons par Oj^iji, O^Xoy^ O^x^y^ les systèmes d'axes rectangulaires auxquels sont rapportées respectivement ces trois échelles binaires, elles seront définies par

(Et) *,= J(logB — logD),

(E2) x2 = J2[logL--log(n-a0)],

(E3) W=^log(x-i-T') + log<pC8)],

où / est le module commun aux trois axes.

Pour les deux premières, nous prendrons, en appelant lit /2, /3 trois nouveaux modules, les systèmes de droites cotées

(B) jKi=JilogB,

(D) lrx,= /^—//jlogD,

(') Pour passer de la disposition de la fig. l\o à celle de la fig. i43, il faut, avec un tel choix d'axes, supposer que l'on fasse tourner la première de 1200 dans le sens rétrograde.

et

oUj

JK2 = /2log(n- a0), /,.r.> = 2 //ologL >. /»-,.

Pour la troisième, nous prendrons d'abord le système

171 yz = h*.

Quant au système (t'), on serait d'abord tenté, pour le construire, d'ob-

Différence de niveau (D)

rprii/ni i) 1 1 1 i / 1 i t i+-L i i n.

tenir l'équation des courbes qui le composent, en éliminant o et x entre les équations (2), (E3) et (t) ci-dessus. Malheureusement, cette élimination est impossible. On peut toutefois tirer 1 de la dernière de ces équa-

tions pour en porter la valeur dans les deux autres, ce qui donne

'■= = /»*log(n-«)'

xz= l

[log^+T^H-log^*)].

Dès lors les coordonnées de chaque point de la courbe x' se trouvant A exprimées en fonctions du paramètre ô, il est possible, en faisant varier ce paramètre, de construire la courbe point par point.

L'abaque correspondant, représenté sur la fig. i{3, est dû à M. Lallemand.

Son mode d'emploi, d'après ce qui a été vu au n° 37, se réduit à ceci : ayant d'abord fait passer les index \x et J2 du transparent respectivement par tes points (L, 0) et (B, D), on fait glisser ce transparent dans la direction de l'index f3 Jusqu'à ce que l'index I2 passe par le point (x, x"). L'index \± coupe alors V échelle (z) en un point dont la cote est l'erreur demandée.

Par exemple, pour

B = om,;G, D. -2m,22, L^i5om, 9 — i°,6, x = o°,75, x' = o°,35,

l'abaque donne

et, comme ici le rapport — =r— est négatif, il faut prendre

e= -omm,6.

B. — Points a deux cotes (').

121. Points alignés à deux cotes. — Un système de points à deux cotes peut être défini par les coordonnées de chacun de ses

(') Ce sont les points qui étaient désignés dans notre brochure 0.4 sous le nom de points doublement isoplèthes. Devant nécessairement nous restreindre ici à un nombre assez limité d'applications, nous signalerons, en outre, comme particulièrement intéressantes celles, relatives à divers problèmes de l'art naval, qui sont dues à M. G. Pesci, professeur à l'Académie navale de Livourne, et dont voici la liste :

Sulla costruzione delta curva di ricerca ( Rivista marittima, décembre 1896); Sui metodi per cambiare il rileva/nento (Ibid., mars 1897}; Sul calcolo délie distanze in mare (Ibid., juillet 1897); Quarto contributo alla cinematica navale (Ibid., mars 1898); Abbaco per il calcolo délia latitudine (Ibid., octobre 1898).

Nous citerons également notre Note 0.15.

M. R. Mehmkc nous a signalé un graphique de l'écoulement de l'eau dans les

poinls, fonctions des deux cotes a, et Sn

»=/i(«i,Pi), JK = <Pi(a,, 3,).

Pour obtenir les équations des deux systèmes de courbes cotées (a,) et ((3,) constituant le réseau, il n'y a qu'à éliminer successivement chacun des deux paramètres entre les équations précédentes, ce qui donne

fO, y, a,) = o, *(*,./> Pi) = o.

On peut aussi définir le système (a,,Jj,) par l'équation en coordonnées parallèles de chacun de ses points

"/i(ai, p,)4" Pcpi(ai5 Si) + ^i(a,, pt) = o.

Si Ton prend, ainsi qu'au n° 60, comme origine O le milieu de la distance AB des origines des axes Au et Be, comme axe Oy la parallèle à ces axes menée par O, comme axe Ox la droite OB, et si l'on pose OB — o, les coordonnées cartésiennes du point défini par l'équation ci-dessus sont

x = g?i(«i> Pi)—'/i(«ii Pi)

<fiOi, pi)H-/i(ai, pi ) «?i(aj, Pi) H-/i(a!, pO*

et l'élimination successive de (3, et de a, entre ces deux dernières équations donne les équations cartésiennes des systèmes (a,) et ([3, ) constituant par leur ensemble le réseau (afl, (3,).

Un système de points à deux cotes étant ainsi défini, il n'y a qu'à reprendre tout ce qui a été dit dans les nos 60 et suivants, en substituant à un, à deux, ou aux trois systèmes de points à une cote, des systèmes de points à deux cotes, pour avoir des abaques à points alignés représentant des équations à quatre, cinq ou six variables.

Si l'on se reporte au n° 60, on voit donc que l'équation la plus

canaux et rivières, publié en 1869 par MM. E. Ganguillct et W.-R. Kulter (Zeitschrift des OEstr. Ing. und Arch. Vereins, t. XXI, p. 5o), que ses auteurs ont obtenu par un procédé géométrique direct, mais qui peut être considéré comme une application du principe général étudié ici.

générale représentable par un abaque à trois systèmes de points à deux cotes est de la forme

/1O1, Pi) <pi(ai,Pi) <W(aiify) | /2(a2,p2) ^2(^25^2) ^2(^2,^2) = o.

/3(«3, ?3) «P3("*S, Ps) ^3(a35 p3> I

L'abaque correspondant à la disposition indiquée par la fig. 1 44-

Fig. 144

fa,)

Son emploi se réduit à ceci :

Si, par exemple, on prend fispour inconnue, on fait passer V index par les points de rencontre d ^ une part des lignes a, et Pi, de Vautre des lignes ou et p2; cet index coupe alors la ligne a:$ en un point par lequel passe une ligne p3 dont la cote est la valeur de V inconnue demandée .

Ainsi, surlay?£. 1 44 ? pour

«1 = 2, Pi =3, a2=M, P2 = 6, a3=5,

'abaque donne p3=: 8.

Tout ce qui a été dit relativement à la transformation homographique et au fractionnement des abaques à points alignés à une cote pourrait être répété ici.

M va sans dire que l'emploi des points à deux cotes peut être immédiatement étendu aux abaques à transversale quelconque

(n° 96) qui fournissent alors la représentation d'équations à huit variables ( ' ).

Parmi les abaques à points alignés comportant des points à deux cotes, ceux qui, de beaucoup, se rencontrent le plus fréquemment dans la pratique, sont constitués au moyen d'un seul système de cette sorte et de deux systèmes de points à une seule cote, distribués sur deux axes parallèles. Ils généralisent par conséquent les abaques envisagés aux §§ Il (A et B) et III (A) du Chapitre III, et, en ce qui concerne leur disposition, on n'aura qu'à se reporter à ce qui a été dit là.

Les équations représentables par des abaques de ce type sont celles de la forme

(E) /i(a1.)/3(a3, pa) H- /»(«») T«(«»,p8) + +•(«., P.) = o.

Pour obtenir l'abaque correspondant, il suffit, en représentant par /, et l2 deux modules quelconques, de poser

(ai) u = l1fi(a1),

L'équation du point (a3, J33) est alors (a3, p3) ul2fs(x3, p,)-+- vli ?3(«3> Ps) -+■ hk ^(«3, Ps) = o, et ses coordonnées cartésiennes par rapport aux axes ci-dessus défi-

(') Dans son Mémoire sur les abaques à transversales quelconques cité plus haut (n° 94), M. Goedseels a même poussé la généralisation plus loin. Puisque trois points déterminent la position d'une transversale tl de forme donnée, en prenant chacun de ces points muni de deux cotes, on voit que l'on fait dépendre la position de la transversale de 6 variables. Une autre transversale t2 pourra de même dépendre de 6 variables. Le point de rencontre (£,, t2) de ces deux transversales dépendra donc de 12 variables. On pourra de même définir les points (i3, tk) et Uô> O- Ces trois points permettront à leur tour de définir la position d'une transversale t^ qui dépendra dès lors de 36 variables. Si cette transversale t^ passe par un point à deux cotes, il en résultera la représentation d'une équation à 38 variables. Mais cette transversale t1 pourra à son tour être combinée d'une manière analogue avec d'autres transversales correspondant elles-mêmes à plusieurs variables. De là le moyen, théoriquement au moins, d'étendre indéfiniment le nombre des variables. On verra d'ailleurs plus" loin ( Chap. VI, § I) que ce mode d'extension rentre dans la théorie générale.

nis, si l'on représente toujours par o la moitié de ia longueur AB,

= g h ?3(«3, Pa) — hfz(*s, Pa) *i ?3(a3; Ps) + h/zi**, P3)

' /1 ?3(a3, pa^^/aC^a, Pa)"

L'élimination successive de j33 et de a3 entre ces deux équations donne les équations des deux systèmes de lignes du réseau

(Pi)

FO, JK, a3) = o, *(•*> 7> Pa) =0.

Remarque. — Il se peut que les points à deux cotes, entre lesquels on prend des alignements, se réduisent à des points condensés (n" 115). Soit, par exemple, une équation de ia forme

/!•(«„ pr) ■+/,(«*, p,) =*/,(«„ p,).

La méthode qui vient d'être exposée conduil, pour la représenter, à poser

w = hfl(<*l, Pi),

t> = /2/2(à2, PO> ce qui donne

Z2w + /!<' = JiJ*/s(*s, Ps).

On voit que, bien que dépendant de deux paramètres, les points