IO
Chacune de ces fonctions pourra donc être représentée par une échelle tournante portant des cercles de rayon //(H) pour H, et une échelle de repérage pour jjl.
Il suffira de disposer ces deux échelles sur un même plan, de façon que leurs origines O' et O" soient sur une même perpendiculaire à la direction de la translation de l'échelle (s) pour constituer l'abaque demandé.
C'est ainsi que M. Lallemand a construit celui que représente la Jig. 166, et qui est en usage au Service du Nivellement général de la France.
Chacune des échelles (H') et (H") est dessinée sur un secteur mobile respectivement autour de O' ou de O", et qui tourne devant l'échelle (jjl') ou (jjl") correspondante.
L'index V ou i" de ce secteur mobile est amené en face de la valeur de jjl' ou jjl" se rapportant à l'opération dont on veut corriger le résultat,
valeur qui est donnée en ccntimillimètres. Gomme cette valeur ne varie pas sensiblement dans le courant d'une journée, pour effectuer la correc-
Fie. 166.
tion des lectures faites dans cette journée, on fixe d'une manière invariable les secteurs, s r la planchette qui porte l'abaque, au moyen punaises P' et P".
L'échelle de la correction (s), graduée en décimillimèlres et gravée sur
une plaque de celluloïd, est indiquée en pointillé sur la figure (1). Ses déplacements sont guidés par une règle le long de laquelle s'applique un bord du transparent.
La disposition de la fig. 166 correspond aux données
{jt'=io6cn\ [Ji"=i26cm,
H'= udm,9, H" = 24dm.
Les indices i' et i" ayant été placés aux points cotés to6 et 126 des échelles (\x') et ([x") et l'horizontale o de l'échelle transparente étant amenée tangentiellement au cercle coté 11 de l'échelle (H'), on voit que la tangente horizontale au cercle coté 24 de l'échelle (H") correspond à la division 4o de l'échelle transparente. On a donc ici
e = 4odm.
138. Abaque de la lumière diffusée. — Nous avons vu au n° 135 comment, lorsqu'une équation peut revêtir la forme de déterminant requise pour l'application de la méthode des points alignés, on peut utiliser les systèmes à translation pour augmenter le nombre des variables correspondant à chaque point aligné. Voici un exemple où c'est un système à rotation qui remplit le même office. Cet exemple est emprunté à la Thèse du capitaine Lafay pour le doctorat es Sciences physiques (2).
cAo désignant un angle qui définit la vibration rectiligne incidente, ^ un angle qui définit la direction du grand axe de la vibration elliptique diffusée, les mêmes lettres affectées des indices 1 et 2 les mêmes angles pour le cas où la vibration diffusée devient rectiligne, a et b des variables liées aux directions des rayons incidents et diffusés et dépendant de la nature de la surface, l'équation à mettre en abaque est
sin2(<£ — ffi2) sina^ — J^) sin2((ff — ffi, ) sin2( X — A*) a b
= 2 s i n ( <£ — ([\)sin(<î — <£ 2 ) s i n ( 2 X — X 1 — <Â>2). Posant
CAO l d\£>2 == ^ J
2 CAO CAD l CAD 2 == P J
(') Cette échelle prête à l'observation que voici : Comme on n'a besoin que des valeurs arrondies de s, au lieu d'élever, au support de l'échelle, des perpendiculaires par les points de cote ronde, on les mène par les points moyens entre ceux-ci, en constituant de cette façon des cases à tout l'intérieur de chacune desquelles s'applique la cote ronde qui s'y trouve comprise.
(2) Annales de Chimie et de Physique, 7e série, t. XVI, p. 5o3 : 1899.
M. Lafay a remarqué que l'équation précédente pouvait être mise sous la forme
sina
tangp tang (3' — tanga'
tanga'
tangp' tang[3'-t- tanga'
cosa
tangP' — tanga' tangp'-
^tangp'-
tanga' tanga'
tang (3' — tanga' tang (3' — tanga'
Elle exprime donc l'alignement des trois points
sina
tang(3'
y = l cosa,
— la
x = Ib
tang(3' — tanga'
tang (3' tang^'-f-
tanga'
y = la
tanga
tang(3' — tanga' tang(3'-f- tanga'
tang(3'-h tanga'
tang (3' — tanga'
Y — lb & r
J tangp'--tan
iga
/ étant le module à la fois de Ox et de Oy.
Le point X, qui dépend des deux cotes a et (3, est à la rencontre de la droite
y = l cosa -a?Uang*p = ^2-
avec l'ellipse
Les droites et les ellipses correspondantes, cotées sur la fig. 167 respectivement au moyen des valeurs de
- =' — (eiloj — dv>2 ) 2 2
et de
— = oJis — ( CA£>|
sont faciles à tracer.
Le point U est, on le voit immédiatement, à la rencontre de la seconde bissectrice des axes avec la droite menée, par le point A {x =— a, y ——a) de la première, parallèlement à la direction OS dont le coefficient angulaire est
tang [J'
1 tanga
De même, le point V est à la rencontre de la première bissectrice avec la droite menée, par le point B (ar =^b, y = — b) de la seconde, parallèlement à la même direction OS.
Les points A et B donnent naissance sur les bissectrices à des échelles régulières (a) et (b) faciles à marquer.
Pour définir la direction OS on peut tracer sur l'abaque le réseau (a', (3'), défini par
x— — l cot P', y = — /cota',
ainsi que cela a été fait sur la fig. 167. La direction OS est alors celle qu va du point O au point (a', $'), et il suffit alors de mener par les'points
Fig. 167.
250 260 210 2SO 290 300 310 320 330 3W 350 0 10 20 30 W S0 60 10 80 90 100 110 120
Ech. de (2ff-<r,-ff2).
cotés a et b des parallèles à cette direction pour obtenir les points U et V dont l'alignement donne X. Pour n'avoir pas à tracer ces parallèles, on aura évidemment recours à un transparent portant des traits parallèles équidistants suffisamment rapprochés.
Mais il est plus simple, ainsi que l'a remarqué M. Lafay lui-même, de recourir à une échelle (a', (3') tournante.
Supposons construit sur un transparent dont l'origine O' reste en coïncidence avec O, et dont les axes O'x' et O' y' sont d'abord en coïncidence avec Ox et Oy, le réseau défini par
x'=lcot$', y = — /cota',
symétrique du premier par rapport à Oy. Lorsqu'on fera tourner ce transparent autour du point O, de manière à amener le point (a', p') à se trouver sur Oy, il est bien clair que son axe Oy' se confondra alors avec la direction OS précédemment définie. Par suite, les droites mêmes de ce
transparent parallèles à Oy', qui passeront par les points coté- a fil h. détermineront les points U et V.
Remarquons que, si la direction OS passe par le point (a', [&'), la direction OS', qui lui est perpendiculaire, passe par le point
a?' = / tangp', y' — — l tanga'.
On obtient ainsi un nouveau réseau, que nous désignerons par (a', $'){ ; il ne diffère du précédent que par ses cotes, qui pourront être inscrites côté des premières, mais en chiffres penchés, afin de l'en distinguer nettement.
Gela permet de ne faire usage que des points situés à l'intérieur de l'angle AOB. Si, en effet, la direction OS est extérieure à cet angle, la direction OS' lui est intérieure. On prend alors les droites AU et BV perpendiculaires à cette direction.
Si l'on a recours au transparent mobile, le réseau (a', (3')i, symétrique du précédent par rapport à Oy, est défini par
x' = — /tang(3', y' — — l tanga'.
Puisqu'ici les droites AU et BV sont perpendiculaires à OS', ce seront les parallèles à Ox' , au lieu des parallèles à Oy', qui donneront la direction de ces droites.
L/emploi de l'abaque se résumera donc comme suit :
On amène le point d'intersection des droites cotées 2*3? — (Ê^ — (J.\ et ^i — $2 du transparent sur l'axe Oy. Si, pour que ce point soit à l'intérieur de AOB, on a du lire ses cotes dans le premier système, on prend les points de rencontre U^V des bissectrices OA et OB avec les droites du transparent parallèles à Oy' , qui passent respectivement par les points cotés a et b. Si, au contraire, les cotes 2CI* — *$\ — ^T2 et d?i — ^2 ont été lues dans le second système, on prend les points U et V au moyen des droites du transparent passant par a et b, mais parallèles à Ox'.
Une droite tendue entre les points U et V coupe alors l'horizontale
, <JUi <A>2 77 • 7,7 , jf -, u (1 Jloi -H ello?
cotée — sur une ellipse dont la cote tait connaître^ *
d'où l'on déduit immédiatement A>, <A>1 et X2 étant donnés.
Sur \ajig. 167, construite clans l'hypothèse d'un système (a, (3) fixe, on a, en traits pointillés, tracé les droites AU et BV correspondant aux exemples numériques suivants :
i° Direction OS.
Les données sont :
^ <£2 = 95°, -\ (JU, - X.2) = 4o° ;
2<£ <$x <£2 = 2oo°, K*i + ^)= 5o°-
On tire de l'abaque
d'où
20 Direction OS'.
Données :
a = i,5, b = o,4; #!— <£2 = 95°, {(Xi— JU2) = 4o°;
2 $ — $t — ^2 = 340°, I (ciloi + X2) = 50°.
On tire de l'abaque
CAD % ( CAO 1 + eAo 2 ) = O y ,
On remarque aussi sur la fig. 167 des hyperboles tracées en pointillé et marquées 0. Leur signification est la suivante :
Aux variables a et b est liée la variable S, différence de phase introduite par la diffusion entre les deux composantes d'une vibration, par
l'équation
ab = cos2S.
Or, les distances OU et OV des points U et V à l'origine sont données, d'après les expressions écrites plus haut des coordonnées de ces points,
ou=«/?tangg;-tang°t;, ov=6t/;tansg;+tangg,'.
tangp -htanga tangfj — tanga
Donc
OU.OV = 2tf& = 2COS*8.
11 en résulte que la droite UV est tangente à une hyperbole ayant Ox et Oy pour asymptotes. Ce sont les hyperboles correspondant aux diverses valeurs de 0 qu'on a tracées en pointillé sur la fig. 167. Celle d'entre elles qui est tangente à la droite UV fait connaître la valeur
de l (i).
B. — Abaques a images logarithmiques.
139. Nouvel usage de V anamorphose logarithmique. — L'ingénieuse méthode due à M. R. Mehmke (2) fournit des
(x) Cette seconde partie de l'abaque rentre, comme l'on voit, dans le type des abaques tangentiels comprenant deux systèmes de points cotés (p. 128).
(2) Civilingenieur, t. XXXV, col. 617 (1889) et Z. S., t. XXXV, p. 174 (1890). Dans un Mémoire plus récent, M. Mehmke a étendu l'application de ces ingénieux principes aux grandeurs complexes (Z. S., t. XL, p. i5; 1895).
abaques qui comportent, comme on va voir, des systèmes à translation.
Etant donnée une équation entre deux variables
M. Mehmke appelle image logarithmique de celte équation la courbe obtenue par anamorphose logarithmique (n° 28) de celle qui la représenterait en coordonnées cartésiennes, c'est-à-dire celle qui est définie par
,r = /loga1, j-=^loga2,
/ étant un module quelconque.
Cela posé, le principe de la méthode peut s'énoncer ainsi :
Les images logarithmiques des équations de la forme ( ' )
dz a^ia^zt c'a^ia^ziz c"a"lïa™"± c"a<a<= o
que nous désignerons par [cf, c", cw], peuvent toutes s'obtenir par translation des images logarithmiques du système défini par
± a'fia'.^dz a^ia^rt a^ïa^zfc Ya'"îV"2" = o,
que nous désignerons par [y].
Supposons, en effet, ce système rapporté à des axes O' x' et O'y' mobiles relativement aux premiers tout en leur restant respectivement parallèles, et soient œ0,y0 les coordonnées de l'origine de ces axes mobiles, dans le premier système.
Le point (a'13 a'2) du système mobile aura donc, après la translation qui amène l'origine mobile en coïncidence avec le point (#o?JKo)5 les coordonnées
x = xQ-±-l\o%a\, y = y0-h Hoga'g,
ou, en posant
^0=^logXo, y0=l[ogY0,
les coordonnées
ar = /logX0«i, y = /logY0a'2.
(l) L'anamorphose logarithmique ne s'appliquant qu'aux valeurs absolues invariables, il est nécessaire de mettre en évidence les signes des différents termes.
378 CHAPITRE y.
Il s'ensuit que, si ce point se trouve maintenant en coïncidence avec le point (a, , ou) du système fixe, on a
Par suite, a, et a2 sont liés par l'équation
afiafî a'»ia'"2 a*rfa"*3 afïV*'" ± J L- ± J L ± J Ë + i 2 Q
et il suffit de poser
X»»iYm2 X;n'Y'n2 yXwiY/w2
Xmi Y'"2 X'w'iY'"'i Xffli Yffl2
pour que l'image [y] transportée comme il vient d'être dit coïncide avec l'image [c', c" ', cw].
Remarquons que ces trois équations de condition, lorsqu'on se reporte à la définition de X0 et Y0, peuvent s'écrire
(1) {mi— m\ )x0-Jr (^2— rn'2 )jKo = /loge',
(2) (m1 — m\)xQ-\- (m2— ml)jr0 = /loge",
(mi— m'")x0-*-(mz— m"l)yQ— /log —
Les équations (1) et (2) montrent que les droites (7 et G/;, dont les coefficients angulaires ont respectivement les valeurs fixes
— et —, -, et qui passent par 1 origine mobile (ûc0. y0)}
coupent l'a\e Oy respectivement aux points dont les ordonnées
sont
/loge' „. , /losrc" __. ..
y = ^—t- = /' loge', v = °— T = l" loge",
l'équation (3) que la droite Gw, dont le coefficient angulaire est
égal à — \, , et qui passe également par l'origine mobile (œ0lyo)i
coupe l'axe Ox au point dont l'abscisse est
v 1 ° II" 1 ^
x= -log— = / log — •
mx— m'I y y
Construisons le long de Oy les échelles logarithmiques (c') et (c'f) de modules /' et l" et le long de O^ l'échelle logarithmique (y'") de module F.
Les trois remarques ci-dessus nous permettent alors d'obtenir facilement l'image logarithmique [c', c" , c'"~\ lorsqu'on a construit sur un transparent le système des images logarithmiques [y], ainsi
Fig. 168.
que les droites G', C" et G" {fig- 168), que nous appellerons les index de ce transparent.
Il en résulte, en effet, que si le transparent, tout en conservant son orientation, est déplacé de façon que les index C et C" soient amenés à passer par les points cotés c' et c" respectivement sur les deux échelles de Oy ( ' ), et si, dans cette position, l'index G!" passe par le point coté y"f de l'échelle de Ox, l'image
[y] dont la cote y est égale à -Wl coïncide avec l'image [c1, c", c"f].
On conçoit, d'après cet énoncé, pourquoi le système (y) peut être dit fondamental pour les images [c', c", c"'].
(*) Pour fixer avec précision la position du transparent, il est bon de constituer celui-ci d'une matière rigide (celluloïd) ayant un bord B, parallèle à Oy el un bord B2 parallèle à G'. Le bord B, étant appliqué sur Oy, on le fait glisser le long d'une règle jusqu'à ce que C passe par le point (c') de Oy, puis on applique une règle le long du bord B2 et l'on fait glisser le transparent contre cette règle jusqu'à ce que G" passe par le point (c").
On peut, pour éviter le calcul de — (1), recourir à l'artifice sui vant :
Les diverses positions de l'index Cw, gui se déplace parallèlement à lui-même, donnent sur Ox, ainsi qu'on vient de le voir, les valeurs de
Nous pouvons construire le long de Ox une échelle binaire de cette fonction (n° 115) en prenant, pour définir cette échelle, un axe Oy'" parallèle à la direction fixe de Cw. Cette échelle sera,
dès lors, définie par
y = F logy et
x -+-y — l loge ,
et la détermination de y, une fois le transparent mis en place au moyen de c' et c" ', se réduira à ceci : la cote y est celle de Vhorizontale de l'échelle binaire (y, c"r) passant par le point où la droite C!" coupe V oblique cotée c'" '.
On conçoit immédiatement comment ce principe permet la résolution d'un système de deux équations simultanées telles que
± a»ia*s ± flPajia»* ± d*a»ïaj2 ± d'" ' af 'oef = o,
où les exposants sont considérés comme constants et les coefficients comme variables.
Pour résoudre ce système d'équations, il suffit de tracer sur le quadrillage logarithmique défini par
x = nog«j, jK = ^loga2
les images [V, cv, c'f/] et [d', d", d'"] des deux équations ci-dessus. Les cotes a1 et a2 des différents points de rencontre de ces images sont les systèmes de solutions cherchés. Or, ces images peuvent être obtenues par translation du système fondamental (y), qui
C1) Il est à peu près aussi simple, et cela a l'avantage de dégager le tableau, d'effectuer ce petit calcul auxiliaire, soit au moyen d'un des nombreux abaques de multiplication décrits dans cet Ouvrage, soit au moyen de la règle à calcul.
vient d'être défini ci-dessus, et du système fondamental analogue (o) pour la seconde équation.
Les cotes (a,) et (.ou) des deux systèmes de parallèles constituant le quadrillage pouvant être rejetées sur des parallèles à ces
axes, on dispose des axes Ox et Oy pour y accoler d'une pari l'échelle binaire (cw, y), de l'autre les échelles simples (c') et (c"). Si l'on a
m2 — /n2 = tu — n\, m y — m"l = - nx — n"l ,
m 2 — m% = iu — n'I,
ces diverses échelles sont identiques aux échelles (d", o), (d') et (d") relatives à la seconde équation et peuvent, par suite, servir également pour elle.
S'il n'en est pas ainsi, on fixe la position de l'image [o] coïncidant avec [d' ', d\ d"f] sur un second tableau, puis on transporte le second transparent de ce tableau sur le premier où est déjà disposée l'image [c', c", c'f/] en repérant sa position au moyen des points où ses index D' et D" coupent les axes portant les graduations (aH) et (ou) qui sont les mêmes sur les deux tableaux.
Remarque. — Si cw= o, on a X = o, quels que soient c' et c" . Par suite, toutes les images [c', c'f, o], que nous représentons plus simplement par [c'y c"] sont obtenues par translation de la seule image [o], c'est-à-dire que les images logarithmiques de toutes les équations telles que
± aï'1 a'2"- zfc c' aï'« a'2" 2 zt c" aï"' tip = o, sont obtenues par translation de l'image de la seule équation
± a^1 a'f5 zb af » af 8 ± zf'Uf* = o.
77 suffit, pou?' obtenir l'image [cf,c'] de faire passer les index C et C" respectivement par les points cotés c' et c" sur les échelles portées par Oy.
Dans ce cas, le troisième index 01" disparait donc.
140. Images logarithmiques de polynômes. — La méthode précédente se simplifie lorsqu'il s'agit des images logarithmiques
d'équations de la forme
+ t IM' i tt 77?" i /// iJV
c a i ± c a j db c a f .
Ici, en effet, on a, en se reportant aux notations du numéro précédent
IW? =
Par suite, les coefficients angulaires des index G;, C", C'1' se réduisent à m, m', m" , les modules /', Z" à /, et /es échelles (c1) et [c") coïncident avec V échelle (a2).
Pour déterminer y, on peut prendre le point de rencontre de C" non plus avec Ox, mais avec Oy, ce qui, pour (yw), donne encore V échelle (a2).
On voit donc que le diagramme se réduit en ce cas au quadrillage logarithmique (a,, a2) complété par le transparent portant : i° les index C, C" , Cw, droites de coefficients angulaires m', m", in!", menées par son origine; 2° les courbes fondamentales [y], images logarithmiques des équations
m' i in" 4 .. ..m.'"
Pour avoir l'image [V, c", cw], o/* place le transparent sur le quadrillage, de façon que les index C et C" passent respectivement par les points cotés c' et c" de l'échelle (a2) portée sur Oy, et l'on prend parmi les images [y] celle dont la cote est donnée par
yw étant la cote du point où l'index G" coupe la même échelle.
On peut, pour éviter le calcul de y, recourir, comme dans le cas général, à l'emploi d'une échelle binaire accolée cette fois à Oy.
En outre, la Remarque terminant le numéro précédent s'applique encore et montre que si l'on ne prend que deux termes dans le second membre de l'équation ci-dessus, on obtient les
diverses images logarithmiques par les translations d'une seule courbe (').
Avant d'indiquer quelques exemples d'abaques fondés sur l'emploi des images logarithmiques de polynômes, nous dirons quelques mots de la construction de ces images, d'après M. Mehmke .
Fig. 169.
Supposons que deux courbes U et V {fig. 169) soient les images logarithmiques des fonctions
et
a2 = w(oci)
«2= t>Ol),
c'est-à-dire que, sur l'ordonnée correspondant à l'abscisse a,, on ait
HK= llogu,
HL = llogv.
Soil, en outre, W l'image logarithmique de la fonction
a2 = u -h v, de telle sorte que l'on ait
On
HM = l\ogv -h/log/in \>
HM — HL = LM = llog ( 1 + -
(l) En supposant bien entendu que les signes des divers ternies restent les mêmes. Pour chaque combinaison de signes, il faut avoir recours à une courbe spéciale.
Supposons construite la courbe représentative des logarithmes d'addition de Gauss, définie par
x = l\ogt, y=l\og(i+jj,
courbe que nous appellerons Logarithmique d'addition ('), et
qui est représentée sur la fig. 170 par la courbe A lorsqu'on
prend / = 2cm.
Fig. 170.
Num.
Log.
On voit que si t = -■> l'ordonnée correspondante doit être égale à LM. Or, si t a cette valeur, on a
x = / log£ = /logw — / logp = KL.
Ainsi donc, pour déduire le point M des points K et L, il suffit de prendre KL en abscisse de la courbe A sur la fig. 170; V ordonnée correspondante est égale à LM.
( l ) La remarquable machine à résoudre les équations algébriques, de M. Torres, dont il est question dans la note au bas de la page 366, est fondée en partie sur une traduction mécanique du mode de liaison défini géométriquement par cette courbe.
S'il s'agissait de construire l'image logarithmique W de
on verrait de même que M'K serait l'abscisse de A correspondant à V ordonnée KL. Mais, afin d'éviter toute confusion, il vaut mieuxrecourir à la courbe logarithmique de soustraction définie par
a? = llogt, y = /log li — l\
et représentée par S sur \&jig. 170.
Le segment IM est alors égal à V ordonnée de la courbe S correspondant à V abscisse KL (').
Dès lors, pour construire l'image logarithmique de
nous commençons par construire les images logarithmiques de et de
a2 = af
OC9 — oc
qui sont précisément les index C et G". De ces droites, par le procédé qui vient d'être décrit, nous déduisons immédiatement l'image demandée. Cette image, à son tour, jointe à celle de
a=> = yoc
c'est-à-dire à une droite, permet d'obtenir, toujours par le même procédé, celle de
a2 = ± af ' ± af db ya%f .
141. Principe des abaques à images logarithmiques. — Le principe des abaques à images logarithmiques est le suivant : Soit une équation de la forme
(x) M. E.-A. Brauer a imaginé un curieux appareil dit compas logarithmique, muni de trois pointes en ligne droite telles que si deux de ces pointes sont placées sur les points K et L de la y?»-. 169, la troisième vient automatiquement se placer au point M. Ce compas est décrit dans le Supplément au Katalog der mathematischer Modelle de M. Waltér Dyck (p. 4o).
f et cp étant des polynômes de la forme indiquée au début du numéro précédent. Posons
Nous pourrons obtenir les images \f et I<p de ces poljnomes sur un quadrillage logarithmique par le procédé indiqué au numéro précédent si nous avons pour chacun de ces polynômes un transparent portant soit le système des images fondamentales, s'il s'agit d'un polynôme à trois termes, soit l'image fondamentale unique, s'il s'agit d'un polynôme à deux termes.
Les cotes a, des verticales du quadrillage passant par les points de rencontre des images \f et I<p sont les racines positives de l équation donnée, dont les racines négatives pourront, s'il est besoin, s'obtenir de même en valeur absolue comme racines positives de la transformée en — z.
Puisque seules les verticales du quadrillage interviennent dans le mode d'emploi de l'abaque, on pourra se dispenser de tracer les horizontales dont les seules cotes devront subsister sur Oy pour permettre, comme on l'a vu au numéro précédent, de fixer la position des index ainsi que la valeur de y lorsqu'on a affaire à un polynôme à trois termes. D'ailleurs, comme on pourrait avoir pour les deux polynômes des échelles binaires différentes pour le calcul de y, il vaudra mieux, en général, se contenter d'effectuer ce petit calcul à part ainsi qu'on l'a dit dans la note au bas de la page 38o.
Nous plaçant donc dans le cas général, nous pourrons décrire comme suit un abaque à images logarithmiques :
L'abaque se compose : i° d'un plan opaque dont les axes Ox et Oy portent des échelles logarithmiques de même module et sur lequel on a tracé une série de droites [z) parallèles à Oy et passant par les points de division de l'échelle de Ox ; i° de deux transparents portant respectivement les images logarithmiques [y] et [ô] construites comme il a été dit au n° 140 avec leurs index C', G", CI" pour l'un, D', D", Dw pour l'autre.
Quant au mode d'emploi, il se réduit à ceci : Si les polynômes f et cp ont respectivement pour coefficients c\ c'f, d" et d ', d" ', df/, on place les transparents, dont l'orientation est
maintenue constante ('), sur le plan opaque, de façon que 1rs index C et C" d'une part, D' et D" de l'autre, coupent l'échelle de Oy respectivement aux points dont les cotes sont c' et c" d1 et d" . Si, dans cette position, les index C" et D'" coupent la même échelle aux points dont les cotes sont yw et ow, on prend
III lui
sur les transparents les images de cotes —, et — ^ Les cotes
des verticales passant par les points de rencontre de ces deux images sont les racines z cherchées.
Pour distinguer les rôles joués par les divers index, C et C" d'une part, D' et D" de l'autre pourront être dits des index de position, Cw et Dw des index de résolution.
Nous allons maintenant indiquer quelques exemples de tels abaques, empruntés également à M. Mehmke.
142. Exemples. — i° Abaque des équations trinômes de degré quelconque. — Une équation trinôme de degré quelconque peut toujours se mettre sous la forme
zm = ± pznztq
m ou, en prenant pour inconnue zn et posant — = \x (2),
zV- = ± pz zh q.
Formons les images logarithmiques des deux membres, suivant ce qui a été dit au numéro précédent.
Pour le premier membre, ce sont les droites fixes Cm, passant par l'origine et ayant précisément pour coefficient angulaire \i.
(') Voir la note au bas de la page 379.
(2) Il est à remarquer qu'une telle équation peut, pour une valeur particulière de [x, être traduite en un abaque à points alignés tels que ceux qui ont été construits pour u. = 2 et [x = 3 aux nos 79 et 81. Les points (s), pour cette valeur de \i, seront distribués sur une courbe C , et l'on voit que, pour une certaine valeur de z, les divers points obtenus en faisant varier jx sont distribués sur une parallèle aux axes Au et Bv, attendu que les coordonnées de chaque point (z) sont données par
„ l, — Lz — /, /■> zv-
lx+l2z J lx+hz
Si donc z et [x sont considérés tous deux comme variables, les points («, <i) sont donnés par un réseau comprenant les courbes C^ et des droites (z) parallèles aux axes Au et Bv. Les courbes G2 et C3 d'un tel abaque, les plus importantes pour la pratique, sont tracées sur la fig. 80.
Pour le second, ce sont, en prenant toutes les combinaisons de signes utiles, les images fondamentales des polynômes (1)
dessinées sur un transparent avec leurs index D' et D" qui, rapportés aux axes mobiles de ce transparent, ont pour équations, puisque les exposants de z sont o et i,
Y — oc, et
L'abaque avec le transparent est représenté par la fig. 171 dans le cas de l'équation
déjà envisagée au n° 81.
Fig. 171.
On voit que les index D' et D" coupent l'échelle de Oy respectivement aux points cotés 2,1 et 9. Ici il faut prendre, vu les signes, l'intersection
( ' ) La première et la troisième de ces images sont évidemment les courbes A et S de \ajig. 170. La seconde est la symétrique de A par rapport à l'index D' qui leur sert d'asymptote commune. Il est inutile d'envisager l'image de — z — 1, attendu que, si les deux signes du second membre étaient négatifs, l'équation n'aurait pas de racine positive.
de l'image de z -+- i avec la radiante du plan opaque cotée 3, puisque u, = 3, On trouve bien
2° Abaques des équations complètes des degrés 3, \ et :"). — Les équa tions complètes des degrés 3, 4 et 5 peuvent s'écrire respectivement
pz-i±qz-*,
qz-*,
zb z2 ± m z zb n = rt pz~l
±zî±Iz ± m = ± nz-l±pz-*±qz-*.
On reconnaît donc, suivant ce qui a été vu au n° 141, qu'on pourra les représenter en appliquant, sur un plan portant simplement l'échelle lo: rithmique de Oy et les parallèles à cet axe menées par les points de l'échelle logarithmique de 0#, des transparents portant les images logarithmiques des polynômes
avec leurs index respectifs. Les images relatives aux polynômes de la première ligne sont celles qui sont tracées sur la fig. 171; celles relatives au\
Fig. 172.
polynômes de la seconde sont représentées par la fig. 172. Le mode d'emploi ne diffère pas de celui indiqué dans le cas général (n° 141 j.
I. — Étude générale des abaques au point de vue de leur structure (1).
143. Dut de cette étude. — L'examen des divers procédés particuliers de représentation plane, applicables à des équations entre deux, trois, ou un plus grand nombre de variables, qui viennent d'être décrits dans les Chapitres précédents, conduit nécessairement à se poser cette question : Peut-on déterminer et classer tous les modes possibles de représentation applicables à des équations à n variables?
Nous avons vu au n° 131 comment on peut définir des éléments, points ou courbes, à un nombre quelconque de cotes. Il est donc évident d'abord que, pour engendrer un mode de représentation d'équations à n variables, il faudra associer ensemble des éléments à plusieurs cotes, tels que la somme des nombres de leurs cotes soit égal à n.
Si donc un mode d'association de plusieurs éléments a été déterminé, il suffira de voir de combien de manières différentes n cotes pourront être réparties entre ces éléments pour avoir tous les procédés correspondants valables pour n variables.
On pourra d'ailleurs n'attribuer aucune cote à plusieurs de ces éléments qui seront dits sans cote.
11 y aura là à résoudre un problème de partition sur lequel nous reviendrons.
Occupons-nous d'abord de reconnaître les diverses façons dont
(') Nous avons, pour la première fois, donné les principes de cette étude dans notre Mémoire 0.30.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 3q[
plusieurs éléments, mobiles au besoin les uns par rapport aux autres, peuvent être associés en vue d'engendrer un mode de représentation.
C'est donc au seul point de vue de leur structure que nous devons tout d'abord envisager les abaques. Une telle étude peut, par une extension de mot toute naturelle, être qualifiée de morphologique.
Convenons, avant toute ebose, de quelques notations que nous emploierons uniformément dans la suite de cette étude. Un élément, point ou ligne, dont la nature restera indéterminée sera représentée par la lettre E qu'on fera, s'il y a lieu, suivre entre parenthèses des lettres désignant les cotes y afférentes :
Parfois, si le nombre seul de ces cotes intervient dans une certaine question c'est ce nombre nque nous mettrons dans la parenthèse :
11 arrivera même, lorsqu'il n'en pourra résulter aucune ambiguïté, que nous écrirons simplement (/?.), ou même n.
S'il est spécifié qu'un certain élément est une courbe, une droite, ou un point, nous remplacerons la lettre E correspondante par une des lettres C, D ou P; s'il appartient à un système de cercles concentriques ou confondus, ou à un système de droites parallèles ou confondues, nous lui attribuerons la lettre Y ou A. La nécessité de considérer à part les éléments de ce genre apparaîtra plus loin (n° 145, Rem. I).
144. La notion de contact. — Lorsqu'un point se trouve sur une courbe, ou lorsque deux courbes sont tangentes entre elles, nous disons qu'il y a contact entre ces éléments.
Pour exprimer qu'il y a contact entre les éléments E et E', nous
emploierons la notation
EmE'.
11 n'est pas nécessaire de réfléchir bien longtemps pour reconnaître que la seule relation précise de position qui puisse être jugée à vue est le contact de deux éléments, dans le sens large où ce mot vient d'être pris.
En effet, les notions de position qui nous sont données par Ja vue se ramènent aux seules distances angulaires perçues directement par l'œil, et, parmi ces distances angulaires, les seules dont l'œil puisse évaluer exactement la grandeur sont celles qui sont nulles.
Donc, tout mode de représentation graphique d'équations à plusieurs variables ne saurait consister qu'en l'établissement ou la constatation de certains contacts entre divers éléments géométriques.
Pour rendre cette idée plus claire, revenons aux exemples les plus simples qui se rencontrent au début de cet Ouvrage :
La représentation d'une équation à deux variables au moyen de deux échelles accolées (n° 9) repose sur le contact des points de Tune des échelles, éléments à une cote, avec les perpendiculaires à la direction de leur support menées par les points de l'autre, également éléments à une cote. La représentation cartésienne au moyen d'une courbe (n° 12), repose sur le contact de cette courbe, élément sans cote, avec le point du quadrillage régulier répondant aux deux variables, élément à deux cotes, etc.
Si l'on n'a recours qu'aux éléments tracés sur un même plan, on voit que les seuls modes de représentation possibles se ramènent à la constatation d'un contact entre les deux éléments dépendant respectivement de aK et n2 cotes, ce qui correspond au cas d'une équation à n{ -\- n-i variables.
C'est ainsi que la juxtaposition de deux échelles binaires (n° 117), par le contact des horizontales à deux cotes de l'une avec les points à deux cotes de l'autre, permet de représenter des équations à quatre variables.
Si l'on a recours, au contraire, à des systèmes tracés sur des plans variables les uns par rapport aux autres ('), leurs positions
t1) Il doit être bien entendu que les divers plans variables intervenant dans la question peuvent ne pas se trouver matériellement réalisés dans la construction de l'abaque. Si, par exemple, cet abaque est constitué par un fil tendu sur diverses échelles graduées (points alignés), l'index réalisé par ce fil tendu doit être considéré comme faisant corps avec un plan appliqué sur le premier. Bien que l'on n'ait là qu'une droite variable par rapport à un plan, on doit donc, pour la généralité de l'exposition, considérer cette droite comme appartenant à un plan qui glisse sur le premier.
respectives devront être définies par certains contacts entre éléments appartenant aux uns et aux autres. Il y aura, en outre, un contact à constater sur le tableau formé par les divers systèmes arrêtés dans la position voulue. La répartition des variables se fera alors entre les éléments intervenant dans ces divers contacts.
Nous appellerons les premiers des contacts de position, le dernier contact de résolution.
C'est ainsi, par exemple, que, dans l'abaque du n° 137, les contacts de l'index i' avec le point u/, de l'index i" avec le point p." el de l'horizontale cotée o du transparent avec le cercle coté II' sonl des contacts de position. Le contact du cercle coté H7' avec l'horizontale cotée s du transparent est le contact de résolution.
145. Abaques à deux plans superposés. — Si deux plans sont simplement superposés, les déplacements de l'un par rapport à l'autre sont à 3 degrés de liberté.
Pour s'en rendre compte, il suffit de rapporter chacun de ces plans tu et tu' à deux axes rectangulaires Ox et Oy d'une part, O' x' et O1 y' de l'autre. Le plan tu' sera complètement défini par rapport au plan tu si l'on connaît: i° les coordonnées x(),y0 du point O' rapporté aux axes Ox et Oy; i° l'inclinaison de l'axe O' x' sur Ox, ce qui fait bien trois conditions. Lorsqu'on les laisse arbitraires, les déplacements du plan tu' par rapport au plan tu jouissent donc de trois degrés de liberté. ■
Or, un contact établi entre un élément E appartenant au plan tu et un élément E' appartenant au plan tu' équivaut à une condition simple. Il faut donc établir trois tels contacts pour fixer la position du plan tu' par rapport au plan tu (*). Cette fixité sera par suite définie, avec la notation du numéro précédent, par les contacts de position
e^e;, e2hE'2, e3he;.
l1) Exceptionnellement, on pourra, au lieu d'imposer à un élément K, l'obligation d'être en contact avec un élément E. de cote bien déterminée, l'astreindre à être en contact avec deux éléments E(. et E;- entre les cotes desquels existera une certaine relation. Nous n'avons rencontré dans cet Ouvrage qu'un seul exemple de cette circonstance, au n° 135, où la droite pivotant autour du point O (fig. i53) a sa position fixée par la condition de rencontrer les échelles Em et E„ en des points dont la différence des cotes soit égale à i. // est
3g4 CHAPITRE VI.
Les deux plans se trouvant alors dans cette position relative parfaitement déterminée, on n'aura plus qu'à constater un contact entre un élément E4 de l'un des plans et un élément E'4 de l'autre, qui sera le contact de résolution
Le mode d'emploi d'un abaque quelconque comportant un plan mobile se résumera donc, en général, dans la suite de symboles
e^e;, e2he;, e3hhE'3, e4~e'4.
Les quatre contacts ainsi dénotés étant simultanés, on peut évidemment prendre comme contacts de position trois quelconques d'entre eux, le quatrième étant alors le contact de résolution. Mais, en général, sur un même abaque, la même variable étant toujours prise pour inconnue, le contact de résolution est aussi toujours le même, et il sera, de préférence, inscrit le dernier.
Il n'y a, théoriquement au moins, lorsque les divers éléments en présence sont définis géométriquement, aucune difficulté à former le type d'équation correspondant à l'abaque ainsi construit.
Chaque élément E; du plan fixe a, par rapport à Ox et Ojy, une équation de la forme
où Ci représente l'ensemble des cotes correspondantes. De même, chaque élément E| a par rapport à O'x' etO' y' une équation de la forme
ou en passant à O x et Oy et désignant par X, jjl et v, les paramètres servant à définir l'un des systèmes de coordonnées par rap-
essentiel de remarquer que ce mode de détermination rentre bien dans le mode général ci-dessus défini, car les positions de l'élément E; en contact avec les éléments E; et E , dont les cotes ont entre elles la relation qui vient d'être dite, ont une certaine enveloppe Ci} en sorte que la condition imposée peut se traduire par le contact
bien que l'élément Ct ne figure pas sur le tableau.
port à l'autre
o/(Xa?+ v/i— X2j-f- [x, — y/i — X2j + X)'-i- v, £',)= o,
ou encore
gi(n,y, X ^, v, c;-) = o.
Le contact entre ces deux éléments s'exprimera par une équation telle que
et l'élimination de X, u. et v entre les quatre équations correspondant de cette manière aux quatre contacts donnera l'équation, entre les cotes des huit éléments en présence, ainsi représentée.
Remarque I. — llya lieu d'examiner à part le cas où les éléments E'j , E'2 et E4 sont des cercles concentriques que nous désignerons alors par la notation r'n F'2, T'A. Ces cercles peuvent d'ailleurs, leur rayon croissant indéfiniment, devenir des droites parallèles A't , A'2, A4. Enfin cercles Y' ou droites A' peuvent se confondre entre eux. Nous considérons tous ces cas particuliers comme compris dans le cas général des trois cercles concentriques r\, F2, T'4, ce que nous allons dire de celui-ci pouvant immédiatement s'étendre à eux et sous une forme encore plus simple.
Si les cercles T\ et T'2 sont mis en contact respectivement avec les éléments E1 et E2, le seul déplacement possible du plan tJ est une rotation autour du centre O'. En effet, F< étant l'élément parallèle à l'élément E1 à une distance égale à la différence des rayons des cercles T\ et T'2 (cercle de rayon égal à cette distance et de centre E, si cet élément se réduit à un point), le cercle T'2 sera en contact avec l'élément F< . Par suite, ce cercle T'2, en contact à la fois avec les éléments E2 et F1? ne pourra que tourner autour de son centre O', ce qui démontre la proposition.
Or, dans cette rotation, le cercle T'A, concentrique aux deux premiers, tourne aussi sur lui-même, et s'il se trouve tout d'abord en contact avec l'élément E4 il ne cessera pas d'y être pendant toute cette rotation. Le contact É3mE'3 devient dès lors superflu et pourra être laissé indéterminé.
La notation de l'abaque correspondant sera, par suite, si l'on se
sert de guillemets pour indiquer le contact indéterminé,
** ou, en attribuant, dans ce cas, au contact de résolution, l'indice 3,
Eiinr,, E2nr;, E3Mr;, » -. ».
Remarque II. — La coïncidence de deux points P et P; ou de deux droites D et D', appartenant à l'un et à l'autre plans, équivaut à deux contacts, car, dans un cas, on peut considérer que deux lignes se coupant en V sont en contact avec le point P, dans l'autre, que deux points pris sur D' sont en contact avec la droite D. Pour rappeler qu'une telle coïncidence équivaut à un double contact, nous la désignerons par la notation
PSP' ou DED'.
Si donc, dans le mode d'emploi d'un abaque intervient une telle coïncidence, sa notation sera
p^p;, e2he;, e3hE'31
ou
D,HD'n E2mE;, E3hhE'3.
Remarque III. — Il se peut que les cotes afférentes à un élément du plan tJ soient prises sur le plan 71, une fois fixée la position relative de ces deux plans, par exemple, que la courbe C; du plan tt/ prenne, une fois ce plan fixé par rapport au plan ir, la cote ou les cotes d'un point P de ce plan tz par lequel elle passe. Si a, [3, . . . sont les cotes du point P, la courbe C' sera dénotée
la barre qui surmonte les cotes indiquant qu'elles proviennent du plan antérieur à celui qui contient C
Remarque IV. — Enfin, s'il s'agit d'un point, ce point peut lui-même être formé par la rencontre d'une courbe G du plan % avec une courbe G' du plan iz' fixé sur le premier. Un tel point sera désigné par la notation
ou, en mettant les cotes en évidence,
146. Abaques à plusieurs plans superposés. — Ce qui vienl d'être dit s'étend immédiatement au cas de plusieurs plans superposés. Nous pouvons arbitrairement choisir l'un d'eux tc comme plan fixe. La position d'un second rJ sera alors définie, par rapport au premier, par trois contacts entre éléments correspondants pris sur ces deux plans. Ces plans étant ainsi rendus solidaires l'un de l'autre, nous représentons leur ensemble par (ira'), et nous définirons ensuite la position du plan tc", par les contacts de trois de ses éléments avec trois éléments appartenant à l'ensemble (tctc7), c'est-à-dire pouvant indifféremment faire corps avec le plan tc ou avec le plan tc'. De même, trois nouveaux contacts fixeront la position du plan iz" par rapport à l'ensemble (tctc'tc"), et ainsi de suite jusqu'au plan tc(/7î). Ces 3m contacts de position étant ainsi établis, on constatera l'existence d'un contact de résolution entre un élément pris sur le plan Tel77*) et un élément appartenant à l'ensemble [tctcV, . . .,7i(w-,>].
Chacun des 6m -\- 2 éléments intervenant dans ces 3 m + i contacts étant muni d'un nombre quelconque de cotes, on engendre ainsi V abaque le plus général qu'il soit possible de concevoir.
Avant d'aller plus loin dans cette étude, faisons voir pour plus de clarté comment ce mode général de description des abaques s'applique à quelques-uns de ceux qui ont été précédemment rencontrés.
Prenons en premier lieu les abaques à double alignement (n° 88), et appelons F et F les deux positions successives de l'index que nous pouvons supposer marquées sur deux plans tJ et tc" superposés au premier. Les contacts définissant la position de l'index Y seront en désignant d'une manière générale par P(a/) le point coté a/, et tenant compte de la Remarque 1 du n° 145,
P1(a1)n I', P2(a2)M F, » w )), De même les contacts définissant la position de F seront, e >
3g8 CHAPITRE VI.
tenant compte de la Remarque 1IF, du n° 145, et appelant L la ligne des pivots
Le contact de résolution sera enfin
Sous forme plus condensée, la notation de l'abaque pourra
s écrire
P.(«i)hI', P4(at)Ml',
Pa^-I" P4(a4)MF.
Prenons maintenant l'abaque du n° 137 :
Désignons par 0< et 02 les points du plan fixe avec lesquels coïncident respectivement les points O' et O" autour desquels tournent les échelles (H') et (Hv), par (Ow) le trait coté o de l'indicateur transparent, par D le bord de la règle guide, le long duquel glisse le bord Dw du transparent.
Les trois contacts fixant la position du plan tz' qui porte les cercles cotés (H') sont, en remplaçant, pour plus de régularité, pi'
et [/." par u, et jju,
' OtHO', (hhW, ceux du plan tc"
