SO
L<tO
(po
(a2)io.
oXo
(Sa)
M I I M M M II i i I
10 1S Vf/M
OJ
On pourra, sur les trois supports parallèles, supposer les échelles (a) et (p) respectivement confondues. La forme correspondante de l'équation sera la précédente dans laquelle les lettres ©,, 5p2, f ; seraient remplacées par fs^Ji, jz-
On pourra aussi attribuer à plusieurs des variables des valeurs constantes. Supposons, par exemple, le point a3 constamment confondu avec l'origine et le point a2 variable sur une échelle fixe. La forme correspondante de l'équation sera
/i(«i)-/i(Pi) ti(Y0 l /2(a2) h 1
ou
^[/i(ai)-/i(Pi)]-/2(a2)+i(ïi)==°3 h étant une constante.
En particulier, prenons pour/! et f2 la fonction logarithmique, et pour <]/! la fonction h-^. Nous aurons
logaj — log^! — Yi log«2= o
ou
Si l'on remplace les lettres txu p,, yi et a2 respectivement par s, m, jx et -s, on peut décrire l'abaque correspondant de la manière suivante :
L'axe Ox portant une échelle régulière quelconque, on lui élève au point coté i une perpendiculaire sur laquelle on porte une échelle logarithmique fixe E dont le point i se trouve sur Ox; puis on amène une échelle logarithmique mobile Em, de même module que la précédente et qui lui reste parallèle, à passer par le point coté \x de Ox, son point coté m se trouvant sur Ox. Si alors une droite, tendue à partir du point O, coupe les échelles E et Em aux points respectivement
cotés z et s, on a
s — mzV-.
Prenons une seconde échelle mobile En pour laquelle nous remplacerons s, m, [i. respectivement par t, n, v. Nous aurons de même
t = nzv.
De là l'ingénieux procédé de M. L. Torres pour la résolution des équations trinômes d'ordre quelconque (1). Une telle équation peut toujours être
mise sous la forme
tnzVzh. nzy = t.
Disposons nos deux échelles Em et E„ comme il vient d'être dit (Jig. 164). Si nous tendons à partir du point O une droite qui coupe ces échelles en des points dont les cotes s et t soient telles que l'on ait
szt t = 1.
la valeur de z lue sur l'échelle E, à son intersection avec cette droite, est une racine de l'équation ci-dessus.
(1) Ce procédé graphique constitue le schéma d'une curieuse machine conçue par M. Torres en vue de cette résolution. Les remarquables machines inventées par ce savant ingénieur pour résoudre diverses équations peuvent d'ailleurs toutes être regardées comme des sortes d'abaques mécaniques. Rappelons à ce propos que M. Torres est parvenu, par un véritable prodige d'ingéniosité, à donner une solution absolument générale et complète du problème qui consiste à obtenir mécaniquement les racines non seulement réelles mais imaginaires des équations algébriques de degré quelconque. [ Voir, à ce sujet, l'article que nous avons fait paraître dans le Génie civil (t. XXVIII, p. 179; 1896).]
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3()-j
Là disposition des échelles de la fig. iGj répond au cas où l'on a
On voit que la position de l'index marquée en pointillé au-dessus de Ox
Fig. i(i|.
(^rwr
'l'i'iM'i'i'i'i'j'i i i ■ | ■ i > i ■ i • r
10 vx
En
coupe les échelles Em et E^ en des points dont les cotes o, 1 1 et 0,89 ont
une somme égale à t. Par suite la cote
du point où cet index rencontre l'échelle E est racine de l'équation
2 , ï x'* -+- 6 , ") xz — 1 .
De même, la position de l'index marquée en pointillé au-dessous de Ox coupe les échelles E,n et En en des points dont les cotes 200 et 199 diffèrenl de 1 (i ). Par suite la cote
(') L'ahaque dont on s'est réellement servi était muni d'échelles logarithmiques ordinaires dont celles de la fig. i56 sont la réduction dans le rapport de 1 à 6, (5.
du point où cet index rencontre l'échelle E est racine de l'équation
2 , i xk — 6 , 5 xz = i
On trouvera d'autres exemples de systèmes à translation dans les abaques à images logarithmiques auxquels une section spéciale (B) est consacrée plus loin.
136. Systèmes à rotation. Échelles tournantes. — Après les systèmes à translation, les systèmes mobiles les plus usuels sont ceux à rotation.
Pour commencer par l'exemple le plus simple, prenons une échelle (a) pivotant autour d'un de ses points sur le système supposé fixe des droites parallèles menées perpendiculairement à sa direction primitive Ox (') (jig. 1 65).
Lo
Si l'échelle (a) est définie par
at=lf{*\ la perpendiculaire à Ox passant par le point a a pour équation
x = lf(a) cosw,
iù étant l'angle que Ox' fait avec Ox.
Supposons tracée sur le plan de l'abaque une courbe portant une graduation quelconque (|3). L'angle oj est évidemment fonction de la cote p du point par lequel passe le support Ox' de
(l) Une telle échelle peut être considérée comme dérivant du type général des abaques polaires (n° 55) lorsque les courbes cotées de celui-ci deviennent des droites perpendiculaires à l'axe Ox.
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 36û,
l'échelle (a), ou un index quelconque invariablement lié à ce support. On peut donc poser
cosco = <p([3) et, par suite,
L'ensemble de l'échelle mobile (a) et de l'échelle fixe (£), qui peut être dite échelle de repérage, équivaut donc à une échelle binaire représentative de la fonction /(a) <p( (3) le long de Ox.
Nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature du support de l'échelle curviligne ( (3). Il va de soi que, dans la plupart des cas, le mieux sera d'adopter un cercle de centre O. Quel que soit d'ailleurs ce support, la graduation s'en fera bien aisément au moyen de la relation écrite ci-dessus, qui lie (3 à to. Dans le cas d'un support circulaire, la graduation ((3) est bien évidemment telle que sa projection sur Ox soit l'échelle même de la fonction 'f (P), construite avec un module égal au rayon du cercle.
En vue de représenter au moyen d'une échelle tournante les fonctions de la forme /(a)cp((3) + <p(a), M. Lallemand, à propos de l'application donnée ci-dessous, a eu l'idée de décrire, sur le plan de l'échelle mobile (a), de chaque point a de cette échelle comme centre, un cercle de rayon /<]>(a). La perpendiculaire à Ox1 tangente à ce cercle coté a, est alors
*=/[/(«MP)±<Ka)],
le signe entre parenthèses étant -j- ou — suivant qu'il s'agit de la tangente à la partie du cercle concave ou convexe vers Oy.
En accolant à l'axe Ox deux échelles telles que celle-ci, on voit qu'on aura la représentation d'une équation de la forme
pour laquelle une autre méthode a été exposée au n° 92.
Remarque. — Il suffit de remplacer l'échelle (a) par une échelle binaire (a, a,), et l'échelle ((3) par un réseau de points à deux cotes ((3, p{), pour avoir, par les perpendiculaires à O./ . l'échelle de la fonction/(a, a,)cp([3, J3,).
137. Exemple d'application : Abaque de la confection des mires. — La correction E d'une hauteur de mire est donnée par la formule
où H représente la hauteur lue, exprimée en décimètres, jjl l'indice de compensation au moment de la lecture, jjl^ l'indice de compensation au départ, c'est-à-dire une constante, f{ H) une fonction définie graphiquement par la traduction en diagramme des résultats de l'étalonnage.
L'équation précédente définit donc la correction E en fonction de H et de jjl.
Une correction analogue étant afférente à chacune des deux mires, la différence de niveau H" — H' devra être corrigée de la quantité
^^)Hff+/2(H'0-[(^^)H'+/1(H')].
Cette équation rentre dans le type envisagé à la fin du n° 133. On peut donc la représenter au moyen d'une échelle simple à translation (e) glissant le long de deux échelles binaires fixes (jjl', H') et (jjl", H").
Le o de l'échelle (s) étant amené en face du point (jjl', H'), le point de l'échelle (s) qui se trouvera en face du point ( jjl", H") fera connaître la correction cherchée.
Or, les fonctions représentées par les échelles binaires (jjl', H') et (jjl", H") sont du type considéré en second lieu au numéro précédent lorsqu'on fait correspondre respectivement les lettres H et jjl aux lettres a et (3 et que l'on définit les fonctions y, <p, <\t par
