I. — Echelles de fonctions

1. Echelle normale d'une fonction. — Soit /(a) une fonction de la variable a, prise dans un intervalle où elle est uniforme, c'est-à-dire n'a pour chaque valeur de a qu'une seule valeur bien déterminée.

Portons sur un axe Ox, à partir de l'origine O {fig- i ), les longueurs

/ étant une longueur arbitrairement choisie, et inscrivons, à côté

Fig. i.

0 cl a, a? a 3 h

des points qui limitent ces segments, points qui seront marqués d'un trait, aussi fin que possible, perpendiculaire à l'axe, les valeurs correspondantes a,, ou, a3, ... de la variable (' ).

(') La première idée d'une échelle de ce genre, construite dans un cas particulier, semble due à Gunter, au début du xvne siècle ( voir la note au bas de la page io).

L'ensemble des points cotés ainsi obtenus constitue Véchelle de la fonction f (a). La longueur / est dite le module de cette échelle.

Cette échelle sera limitée à deux valeurs particulières a et b de la variable a.

Partant de la limite inférieure a, on pourra construire l'échelle sans faire intervenir l'origine O. Il suffira, en effet, pour obtenir les points a,, a2, a3, ... et b de porter sur l'axe, à partir du point coté «, choisi arbitrairement, les segments

L est la longueur de l'échelle; a et 6 sont ses limites.

Si, pour la construction de l'échelle, on fait croître la variable a par échelons égaux à un nombre rond (i, 2, 5, 10, . . .) d'unités d'un certain ordre décimal, on obtient une échelle normale de la fonction. C'est le cas de beaucoup le plus fréquent. Dans le choix de l'échelon il faut avoir soin que les points les plus rapprochés sur l'échelle considérée laissent entre eux un intervalle voisin d'une certaine limite fixée par l'expérience et que nous appellerons le minimum d' intervalle graphique de l'échelle.

Dans la plupart des cas ce minimum d'intervalle graphique sera fixé au millimètre ('). Tl pourra parfois être abaissé audessous. On reviendra plus loin sur ce point (n° A).

Remarque. — Si la fonction /(a), après avoir crû dans un certain sens, se met, à partir d'une certaine valeur de a, à croître dans l'autre sens, il sera nécessaire de reporter, à partir de cette valeur de a, l'échelle de la fonction sur un second axe parallèle au premier.

(') Disons une fois pour toutes que, si sur certaines figures de cet Ouvrage on rencontre des divisions beaucoup plus petites, cela tient à ce que ces figures-ont été obtenues au moyen d'originaux que les nécessités du format ont conduit à réduire par la Photographie.

2. Analyse de la graduation. — On réalisera, en général, par tâtonnements la condition relative au minimum d'intervalle. Il est facile néanmoins d'indiquer une marche rationnelle pour que la graduation obtenue satisfasse à cette condition.

Nous supposons a < b. Admettons, en outre, pour fixer les idées, que de aà b, les accroissements de la fonction, correspondant à des accroissements égaux de la variable, aillent constamment en diminuant en valeur absolue. C'est, par exemple, le cas pour la fonction y a, de o à <x>.

S'ils allaient constamment en augmentant en valeur absolue, comme pour la fonction a2, de o à oo, il faudrait, dans la marche qui va être indiquée, partir de b au lieu de partir de a.

Si, enfin, ils allaient alternativement en diminuant et en augmentant, on fractionnerait l'intervalle total en intervalles partiels pour lesquels le sens de leur variation resterait le même.

Plaçons-nous donc dans la première hypothèse, et, prenant, par exemple, le millimètre comme unité de longueur, posons (1)

la longueur L étant environ celle que nous voulons donner à l'échelle. De là nous tirons le module / correspondant, puis nous arrondissons la valeur trouvée, de façon à avoir pour ce module une valeur commode, ce qui conduit à une valeur de L voisine de celle que nous avions prise d'abord. Soit, pour fixer les idées, la fonction y ce à représenter de a = i à a = ioo. Adoptons pour notre échelle une longueur voisine de 2oomin. Pour cela posons

l(\/ÏÔÔ — v/T) = 200mm,

d'où

Nous prendrons évidemment ici / = 25mm, d'où résultera pour L la valeur

L = 25 x 9 = 225mm.

La valeur de / étant ainsi déterminée, si nous désignons, en outre, par m le minimum d'intervalle graphique, nous poserons

De là, par les procédés de l'Algèbre, soit directement, soit par approximations successives, suivant la nature de la fonction /(a), nous tirerons

la valeur de i. Cette valeur tombera entre et

l0«-t-i io"

( ' ) La notation | X | indique la valeur absolue de X. On prendra donc la différence f(a) — f(a — s) ou f(a — s) — / (a) suivant que de a — z à a la fonction est croissante ou décroissante.

Considérant les trois intervalles définis par

> „ , *"> __„^> tt^'

IO"+1 IO^1 IO/i+1 10"

nous verrons dans lequel de ces intervalles sera comprise la valeur de i. Nous commencerons dès lors à faire croître a par échelons successifs égaux à la limite supérieure de cet intervalle; si donc i tombe dans le premier

intervalle nous commencerons par faire croître a, à partir de a, de — — en • Si i tombe dans le deuxième intervalle, nous ferons croître a de

n-hl

en • Si i tombe dans le troisième intervalle, nous ferons

io'2+1 io"+1

croître a de — - en — -• io'* 10"

De cette façon, nous sommes assurés que, jusqu'en un point qui sera déterminé plus loin, les premiers intervalles de l'échelle seront supérieurs à m.

Revenons à notre exemple de la fonction \fâ. Ici, puisque / = 25, nous avons, en prenant m = i'

mm

d'où

Gomme on a

fc=(-£) et i =0,0784 •

nous commencerons à faire croître a de 0,1 en 0,1.

Si nous représentons par Ox la valeur de l'échelon adopté, nous pourrons continuer à nous servir de cet échelon jusqu'à la valeur a^ de a telle

1 LA *i )-/(«i- ?i)l > ™ > l LA«i+ Oi)-/(«i) I-

Pour la régularité, nous ferons coïncider le changement d'échelon avec une valeur ronde de a. Il nous suffira donc de prendre la valeur ronde immédiatement inférieure à la valeur ai définie par la double inégalité cidessus.

Si la valeur ai est un peu inférieure à une valeur ronde dont elle est très voisine, on pourra tout aussi bien effectuer le changement d'échelon à cette valeur ronde parce qu'en somme la détermination du minimum d'intervalle graphique n'a rien d'absolu et qu'on peut, sans inconvénient, descendre légèrement au-dessous (1).

(') C'est pour cette raison qu'au n° 1 nous avons dit que l'intervalle entre les points les plus rapprochés devait rester voisin de ce minimum et non lui rester supérieur, d'une façon absolue.

Si nous revenons encore à notre exemple de y/a avec / = 25mm, nous voyons que l'échelon de o, t, que nous avons adopté à partir de la valeur i, ne devrait être théoriquement conservé que jusqu'à la valeur a, telle que

•25 (/«î — /ai — o, l) > I > 25 (/«i-h 0,1 — \/rti),

ce qui donne at = i , 6, car on a

a5(y/i,6 — y/i,5) = i,oo5, 25(v/i,7 — V/ï,6) = 0,972.

Mais ici on conservera évidemment l'échelon de o, 1 jusqu'à a = 2, pour prendre à partir de cette valeur l'échelon de 0,2.

On voit que l'écartement entre les points 1,9 et 2 sera égal à

25 (y/ 2 — y/i 59) ou omm,895,

dimension très admissible.

En résumé, considérant la suite

2 5 10 20 5o too

' — ~t~a ' T7> t~a> rr> — ttt*

[Q«-Hl JQ/i-Hl JQ/H-1 JQ/i + 1 JQ«+1 ] Q«+l

appelons ftl l'échelon initial déterminé ci-dessus, qui est une des trois premières fractions écrites, et représentons par

ce que devient la suite précédente lorsqu'on la fait commencer à ce terme.

Nous nous servirons, à partir de a, de l'échelon ^1 jusqu'à la valeur ronde «i pour laquelle le produit

'l/(*i)-/(«i-et)i

est le plus voisin de m, ce que nous exprimerons par la notation

l\f(ai) — /(«i— 6i)|= rndzs.

Nous emploierons ensuite l'échelon 02 jusqu'à la valeur <z2 pour laquelle, avec la notation précédente, on aura

et ainsi de suite.

Sous une forme encore plus condensée, nous pourrons énoncer la règle à laquelle nous avons abouti sous la forme suivante :

Données :

Fonction /(a); Limites a et b ;

Longueur approchée de l'échelle L0 ; Minimum de l'intervalle graphique m.

Opérations :

i° Donner à l la valeur arrondie satisfaisant à l'équation

2° Déterminer 0i en prenant celle des trois quantités

•i 5 io

io/i+1 ' io'^1 ' 10"+'

qui est immédiatement supérieure à la valeur i définie par

Soit

la portion de la suite

i 5 io io 5o

o i l »i i l ' »>i 1 * . -nJ-l !

ÏO'/i+l I0'J+1 Ï0"+1 I0'i+1 I0'i+1

qui commence à Oj.

3° Déterminer ax, a2, «3, . . . par les équations

l\f(ai)-f(al-Ol)\=m±z,

l\f{aï) — f( ai — 02)1 = mdz £, l\f(a3)-f(ad-^)\=m±s,

Des lors, la graduation procédera par échelons 0! de a à a{, par échelons 62 de ai à a2> par échelons 03 de a% à a3, ..., et ainsi de suite jusqu'à b. Rien d'ailleurs n'empêche, si les nombres at-\ et ai semblent trop rapprochés, de sauter 0; et de passer immédiatement à 0/+1.

Remarque. — En raison de l'égalité des échelons successifs dans chaque section de la graduation, il est inutile d'inscrire les cotes de tous les points constituant cette graduation. Il suffira d'inscrire ces cotes de distance en distance, de telle façon qu'il n'y ait point d'hésitation à déterminer mentalement les cotes des points intermédiaires. C'est ainsi que, sur un double-décimètre,

la chifFraison en centimètres suffît, la lecture étant d'ailleurs rendue plus facile par rallongement des traits correspondant aux demi-centimètres. Un artifice analogue pourra toujours être mis en œuvre avec toute autre graduation.

3. Construction géométrique d'une échelle. — Pour construire l'échelle de la fonction /'(a), on peut avoir recours à la courbe G dont l'équation est

v = if(y)-

Il suffît de prendre sur la courbe le point dont l'ordonnée est a pour que l'extrémité de son abscisse donne sur Ox le point coté a de l'échelle demandée.

Si la courbe G peut être obtenue point par point au moyen d'une construction géométrique simple, son tracé dispense de tout calcul.

Supposons, par exemple, que la fonction dont on désire

l'échelle soit y/a2 — a2, a étant une constante; dans ce cas, le module / étant égal à i , la courbe G, définie par l'équation

sera un cercle de rayon ci ayant son centre à l'origine; son tracé est immédiat.

Sans que la construction soit toujours d'une aussi grande simplicité, on conçoit, par cet exemple, le parti que l'on pourra, le cas échéant, retirer de l'emploi d'une construction géométrique.

Le plus souvent, on procédera de la façon suivante : ayant déterminé directement un certain nombre de points de cote ronde, on élèvera en ces points, perpendiculairement à l'axe portant l'échelle, des ordonnées proportionnelles à leurs cotes. Les extrémités de ces ordonnées sont autant de points de la courbe G. On tracera dès lors cette courbe et l'on s'en servira ainsi qu'il vient d'être dit pour obtenir les points de l'échelle, intermédiaires entre ceux qui ont été obtenus directement.

La détermination des échelons successifs se fera ici avec une grande facilité. On donnera à l'ordonnée y des accroissements successifs égaux à un certain échelon jusqu'à ce que l'accroisse-

ment correspondant de l'abscisse x tombe au-dessous du minimum d'intervalle graphique choisi. On adoptera alors un échelon supérieur au précédent et on le conservera jusqu'à ce que la même circonstance se reproduise; et ainsi de suite.

Remarque. -— Le procédé géométrique ci-dessus permettra de construire l'échelle d'une fonction définie par une courbe G obtenue expérimentalement.

4. Interpolation à vue. — Un point étant pris sur l'axe de l'échelle, en dehors des points qui constituent sa graduation, on pourra se proposer d'évaluer approximativement la valeur correspondante de la variable a. Cette évaluation porte le nom iï interpolation à vue.

Les deux points de la graduation qui comprennent le point considéré fournissent des valeurs approchées par excès et par défaut de la valeur cherchée, au degré d'approximation défini par l'échelon correspondant.

La question qui se pose consiste à apprécier l'appoint à ajouter à la valeur approchée par défaut pour avoir la valeur cherchée.

Cet appoint s'estime au jugé d'après l'allure de la graduation aux environs du point considéré.

Soit, par exemple, à lire la cote du point M sur l'échelle de la fig. i. On aura sensiblement pour cette cote la valeur 3,47-

Sur l'échelle de lajig. 2 bis, on aurait 3,45.

Fig. 2. Fig. 2 bis.

i -ri3 i . f

On voit que le degré de précision de ce genre d'interpolation dépend du plus ou moins d'habitude du lecteur.

Toutefois l'expérience prouve qu'un lecteur tant soit peu exercé arrive à ne pas se tromper du ± de l'échelon lorsque l'intervalle graphique n'est pas sensiblement inférieur à imm.

Avec un intervalle de omm,5 l'approximation n'est pas sensiblement supérieure au -i.

Cela montre qu'il n'y a pas de sérieux avantage à employer des intervalles inférieurs à imm.

ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. g

Il y aurait sur ce point particulier à faire une étude qui relève de la Physiologie. Il est probable que le degré d'approximation r ,latif est à peu près constant pour des divisions supérieures à imm environ et qu'il décroît, à partir de là, avec une assez grande rapidité.

Remarque. — Les échelles construites dans la pratique, sous les dimensions qui ont été reconnues commodes, ne donnent généralement que trois chiffres significatifs (exceptionnellement quatre); encore le dernier chiffre n'est-il fourni que par l'interpolation à vue, ainsi que cela a lieu avec les graduations du doubledécimètre et de la règle à calcul. Ce degré d'approximation suffit d'ailleurs dans une foule d'applications, et notamment dans celles qui relèvent de l'art de l'ingénieur.

5. Échelles usuelles. — Les échelles les plus fréquemment employées dans les applications (1) sont les suivantes :

i° Échelle régulière. — On a une telle échelle quand la fonction/*^) se réduit à a, parce qu'ici les points obtenus en faisant croître a par échelons égaux sont régulièrement espacés sur la droite portant cette échelle.

Le type de cette échelle est fourni parla graduation du doubledécimètre (fig. 3); il est inutile d'y insister.

Fig 3.

lilliliiiiliiiiliiii liiiihi iiliiii li i iiliinli in IiiiiIiiii 1 m iiln iiliiiiliii il m iiliiiiliiiiliiiil

La distance constante entre points dont la cote diffère d'une unité donne dans ce cas le module de l'échelle.

2° Échelle logarithmique. — C'est l'échelle de la fonction

(') La construction de ces échelles s'effectue très rapidement lorsqu'on dispose de Tables numériques, qui se rencontrent aujourd'hui dans un grand nombre de manuels, telles que : Tables des carrés, des cubes, des racines carrés et cubiques, des inverses et des logarithmes des nombres; Tables des lignes trigonométriques naturelles et de leurs logarithmes.

lO CHAPITRE I.

log oc. Un exemple très courant en est fourni par la graduation de la règle à calcul ordinaire (') (ftg> 4)-

Fig. 4.

Iiiiiiiiiililiiilililiiiiiiiiiliiiiiiiiiliiiiiiiiil 1 1 1 1 1 m iililiiiliiililiiiiilililililililililililililililililiiiiliiiiliiiiliiiiliiiiiiiiiliiiiliiil

Sur cette graduation l'intervalle entre les points 1 et 10 est de i25mm, et les échelons sont de 0,02 de 1 à 2, de o,o5 de 2 à 5, enfin de o , i de 5 à 10.

Voici au surplus comment l'analyse de cette graduation peut être faite conformément au procédé qui se trouve résumé à la fin du n° 2. Prenons

L = i25mn\ m = omm.5.

Le module est donné par

/(log 10 — log 1) — I25mm.

d'où

Pour déterminer $i nous avons l'équation

j 25 [log 1 — log(i — i)] = o,5,

d'où

log(i — i) =— 0,004 = ^,995 et

Comparant cette quantité aux trois suivantes

0,02, o,o5, o, [, nous voyons qu'ici il faut prendre

et, par suite,

(l) La première échelle logarithmique semble avoir été construite par Gunter (1581-1626). Voir notre brochure 0.8, p. 56.

ÉQUATIONS A DEUX VAKIABLES. I I

Les valeurs au «2, «3 sont alors données par les équations

i25[log<?i — log(«! — 0,02)] — 0,5, i25[loga2 — log(rt2— o,o5)] = o,5, i25[log«3— log(a3 — 0,1 )] = o,5, ou

log = log — = log — — =0,004,

ax — 002 a=> — o,o5 «3 — o,i

ou encore

ou enfin

ai a2 a3

cl\ — 0,02 a2 — o,oo a3 — 0,1 «1 «2 #3 t ,01

d'où, en arrondissant comme il a été dit,

fl->= 5 ,

rt3=I0.

Un autre modèle usuel de règle à calcul (*) porte une échelle logarithmique pour laquelle l'intervalle de 1 à 10 (fractionné en deux tronçons superposés sur la règle) a une longueur de im. Sur cette règle l'échelon est de 0,002 de 1 à 2, de o,oo5 de 2 à 5, et de 0,01 de 5 à 10.

Il est essentiel de remarquer que, si l'on prolonge l'échelle logarithmique au delà de 10, elle se reproduira de 10 à 100 avec la même longueur et les mêmes intervalles, mais ceux-ci correspondant à des échelons dix fois plus grands; de même de 100 à 1000 avec des échelons encore dix fois plus grands, et ainsi de suite. En d'autres termes, sur l'échelle de 1 à 10, d'abord construite, les unités peuvent être prises comme se rapportant à un ordre décimal quelconque, c'est-à-dire que le degré d'approximation relatif est constant.

La justification de cette remarque résulte de ce que

/ log(io"a) = l(n -+- loga), en sorte que, de io"-1 à 10" l'échelle est la même que de 1 à 10.

(') Construit par la maison Tavernier-Gravet, à Paris.

11 suffit seulement de supposer l'origine rejetée à la distance ni de l'origine primitive dans le sens négatif.

3° Échelle segmentaire. — Cette échelle, d'un emploi très