X = 1 , \J- ~ O, V = I , TZ

La condition \ = i entraîne les égalités (7), qui, à leur tour, donnent

(11) miPz — m2pi = o.

La condition pi = o entraîne, d'une part, l'égalité précédente, déjà réalisée, de l'autre,

(12) m-iÇs— 722/?i=0,

Remplaçant, dans (i3), m2 elp2 par les valeurs proportionnelles mK et pi tirées de (7), on a

■ De (12) et (i 4)» on tire

mi ni i%\

et, si l'on remplace, dans (i3), n{ et qt par les valeurs proportionnelles tirées de là, on a

Les égalités (i4) et (16) peuvent être substituées à (12) et (i3). Elles expriment que les centres de convergence des faisceaux (<x<) et (a2) sont l'un et l'autre rejetés à l'infini.

Mais, de (i5), on tire

ni</2 — ^2^1 = o.

Il en résulte que

identiquement, et comme, dans l'équation proposée, la variable a3 n'entre que dans le déterminant qui est multiplié par ce facteur, cette variable disparaîtrait de l'équation.

Pour satisfaire aux égalités (1 1), (i4) et (16), sans que cette circonstance se produise, il faut prendre

Comme, en outre, les coefficients rK et r2 sont nécessairement différents de zéro, puisque, s'il n'en était pas ainsi, ol{ et a2 disparaîtraient des équations (a, ) et (a2), on pourra les prendre égaux à 1 .

En résumé, V équation représentée sera quadratique lorsque à oii et a2 correspondront les systèmes de droites parallèles

(a^ nxx H- qty -h st -+- zl = o,

et à a 3 le système de cercles

(a3) {x^-^-y^)-]r{tnzci.z-^ nz)x ^-{pza.z-^- qz)y -+- £3af 4- r3 a3 h- s3 = o.

Remarquons que les centres de ces cercles, dont les coordonnées sont données par les équations

ix 4- 7ft3a34- /i3 = o, •2j/-+-/>3 a3 4-#3 = o,

se trouvent sur la droite

i(pzx — m3y)-\- iiip-i— /n-ifjz=z o.

L'enveloppe de ces cercles est la conique

à laquelle ils sont bitangents, ce qui montre que la droite précédente est un axe de cette conique.

168. Formation des fonctions composantes pour une équation quadratique donnée. — On peut se demander si inversement toute équation quadratique en a,, a2, a3, telle que

( Aiaf -h A2a| -h A3a§ -h 2Bia2a3 -h 2B2a3ai ~h 2B3aia2

[ -h 2Giarr 2C2a2+ •2G3a3-f- D = o

est susceptible d'être ainsi représentée.

Pour nous en rendre compte, éliminons a, et a2 entre les équations (a,), (a2) et Q, et cherchons s'il est possible de déterminer pour les coefficients des deux premières des valeurs réelles, telles que l'équation quadratique en x et y résultante représente un cercle.

Si l'on tire a, et a2 des équations (a,) et (a2) ci-dessus pour les porter dans l'équation (Q), on obtient en égalant entre eux les coefficients des ternies en x'2 et y2 de l'équation obtenue, et annulant celui du terme en xy, les équations

Ai/if -+- A2/z| -+- iB^niii^— Aj^f -h A2^| -f- 2.B3q1q2, Ai nlql-+- k%n2q2 ■+• B3(tti<72-f- n2qi) == o.

De la seconde, on tire

Ai ni -+- B3n2 *2 " ?1 À2/22-HB3n1*

Partant, dans la précédente, on trouve, après réduction,

2 (A2n2-t-B3tti)2 qi~~ AiA2— B§

Le numérateur de cette fraction étant positif, on voit que la réalité de qt exige

(17) AiA,-B.2>o.

Comme on peut permuter entre eux les indices affectés aux trois variables, on voit que la condition de réalité peut s'exprimer ainsi :

Si, dans l'équation (Q), les variables a,, a2 et a3 sont considérées comme les coordonnées courantes d'un point de l'espace, il faut que la section, par l'un des plans de coordonnées, de la quadrique définie par cette équation soit du genre elliptique (i).

Supposant la condition remplie, on a

et, par suite,

y/AiA2 Airti + B3rc2

BI

Le choix de nK et n2 est libre, à cette seule réserve près qu'on ne saurait prendre à la fois nK = n2= o, parce qu'alors, q\ et q2 étant nuls aussi, les deux faisceaux de droites (a,) et (a2) seraient tout entiers rejetés à l'infini.

Quant à Si et s2, qui n'entrent pas dans les équations de condition, on peut les choisir arbitrairement. Nous prendrons

Sj = 52 = O.

Dès lors, /i, et n2 étant quelconques mais non nuls à la fois, qK elq2 ayant les valeurs (18) et (19), et l'inégalité de condition (17) étant satisfaite, on pourra représenter l'équation (Q) au moyen d'un abaque constitué par les systèmes de droites

(l) Ce résultat comporte l'interprétation géométrique fort simple que voici, et qui nous a été communiquée par M. Duporcq : si, par exemple, le plan z = o donne une section elliptique, considérons le cylindre ayant cette section pour base et ses génératrices parallèles à Oj:. Soit P un plan de section circulaire de ce cylindre. L'abaque n'est autre que la projection c}iindrique, parallèlement à Os, de la quadrique sur le plan P. La conique enveloppe est le contour apparent de la quadrique.

et le système de cercles

(sc*-hy2)(kin\ -+- A2/if -h 2B3 n^,)

— •î[(Blri2-h B2/ii)a3 -h C[ n{ -+- 02/12]^

— 2[(Bi0t+ B2(7i)a3-i-Gi^i-f- C2£2 |/

Remarque. — Puisque les cercles (a3) ont leurs centres en ligne droite, on doit pouvoir, en prenant cette droite comme axe des y, faire en sorte que l'équation de ces cercles ne contienne pas de terme en x. Or il semble ne pas pouvoir en être ainsi dans le cas général, puisque nous venons de voir que nK et n2 ne sauraient être nuls à la fois. Mais cette contradiction n'est qu'apparente; il ne faut pas oublier, en effet, que nous avons pris s{ = s2= o. En rétablissant pour l'un de ces coefficients une valeur quelconque, on verrait que l'on peut en disposer de façon à annuler le coefficient du terme en x.