DE DROITES ET DE CERCLES ENTRECROISÉS
167. Conditions requises. — Une étude comme celle qui vient d'être développée, outre qu'elle se compliquerait rapidement, serait sans utilité si elle s'appliquait à des équations d'un type
moins courant que le type (III) du n° 151. Il y a toutefois intérêt à examiner dans quelles conditions certains types d'abaques s'appliquent à des catégories particulières d'équations. Nous allons en donner un exemple en recherchant comment les abaques composés d'un système de cercles et de deux systèmes de droites (n° 52) peuvent s'adapter à la représentation des équations quadratiques à trois variables.
Revenant donc à l'avant-dernière équation écrite au n° 52, cherchons comment, en prenant pour les fonctions /, <p, ty des polynômes du premier et du second degré, nous pourrons arriver à rendre cette équation quadratique, c'est-à-dire du second degré par rapport à l'ensemble des variables al5 ou, a3.
Pour cela, représentons par :
X le degré des polynômes
<fl^2-
fii
On voit que la partie entre crochets de l'équation en question sera du degré 2X, et que le reste du premier membre de cette équation comprendra un polynôme du degré 2 fi. -+- tc et un autre du degré X -f- \x -+- tc. Pour que l'équation soit quadratique, il faut donc que l'on ait
2X^2, 2 [A -t- TZS 2, X + (JL + V^2,
v et tc ne pouvant d'ailleurs être nuls à la fois, puisque alors a3 disparaîtrait de l'équation. Ces conditions ne peuvent être réalisées que dans les trois hypothèses
li= 1,
Tt = 0,
fx = o,
qui donnent respectivement
2X = 2, 2 [l -t- TC = 2, X -+- fi. -h V = 2
ou
2X=0, 2[i. + TC = 2, X 4" {* "H V = 2.
Nous allons faire voir que les deux dernières hypothèses doivent être écartées. Prenant, en effet, pour les polynômes fK , ep^ tyi,f2, <p2, ^2 ^e degré le moindre, c'est-à-dire le premier (car avec le degré zéro les variables ol{ et a2 disparaîtraient de l'équation), cherchons à faire en sorte que les polynômes o{ <b2 — ^2^1 et àtf2 — ^2/1 soient du degré "k = o, c'est-à-dire se réduisent à des constantes. Si nous posons, d'une manière générale,
fi
= mt
«p/ = />; ai -+- <7/> <W = /'/ »/ + */
nous
voy
ons
1 que
la con
dition requise exige que l'on ait
ni\ ?\ — m2/*i = 0,
Plr2~ Plr\ = 0,
m152 — iiiV\ = 0,
/i!r2 — m^Sy = 0,
PiSi— q%rx — 0,
De
et
on tire
p désignant la valeur commune quelconque de ces rapports.
Les équations (4) et (6) deviennent dès lors, lorsqu'on y remplace m2, p2, r2 par leurs valeurs tirées de là et que l'on supprime
le facteur - ,
(4') ntr1—m1s1 = oi
(6') q\rx— ptSi = o.
Les équations (3) et (4') donnent alors
(5) et (6')
d'où
(3) et
Si '
£l — îl
rv s2
Si
Il — Il
mj p{
" Si
Rapprochant (9) de (7) et de (8), on voit qu'on a de même (10) — =-t- = — .
Les égalités (7) et (8) établissent que les systèmes du premier degré (a,) et (a2) ont même point de convergence, les égalités (9) et (10) que ce point est à l'infini. Quelles que soient les valeurs attribuées à a, et à a2, les droites cotées correspondantes donneraient ce point à l'infini.
L'emploi de Tabaque deviendrait illusoire.
Le raisonnement précédent suppose d'ailleurs les divers coefficients différents de zéro. Pourrait-on, au moyen de valeurs nulles, satisfaire à l'ensemble des égalités (7), (9) et (10) équivalent à celui des égalités (1) à (6)?
On voit immédiatement que non, car si mK =p\ = i\ = o ou m2 = p-2= ^2= o, la variable a, ou la variable ou disparaît de l'équation.
Si mA = o et /?Zo=o, on doit avoir ni — o et /z2=o, et les systèmes de droites (a,) et (a2) sont parallèles, hypothèse également inadmissible comme on vient de le voir.
Les deux hypothèses pour lesquelles "k= o doivent donc être écartées. Reste celle pour laquelle on a
