TT I

cos - = -

On peut donc, par une marche inverse, partir de ce théorème tout élémentaire pourétabh'r le principe des abaques hexagonaui[. C'est d'ailleurs ainsi qu'a procédé M. Lallemand pour établir hi théorie de ce genre d'abaque (* ).

La voie par laquelle nous y sommes parvenus, un peu moins élémentaire sans doute, a toutefois l'avantage de rattacher plus intimement cette théorie au corps même de la doctrine exposée dans cet Ouvrage et qui embrasse la généralité des abaques.

34. Déplacement des échelles (-). — Si l'on se donne les limites des variables ai et a2 auxquelles correspondent respectivement les points « et B| d'une part, Aj et B^ de l'autre, les limites de a» en résultent attendu que lorsque les index 1| et I^ passent respectivement par A| et A2, l'index I3 détermine sur la première échelle le point As; de même pour Es- On voit, en outre, en vertu du théorème énoncé ci-dessus, que l'on a

A3B3= AjBi-+-A,Bj.

Les points cotés sur A| B| servent à déterminer la position do l'index 1| dont la direction, perpendiculaire à A|B|, est fixe. Il résulte de là que si l'on déplace l'échelle A| B| dans cette direction pour la reporter en A', B'^, chaque point coté continuera à définir la même position pour l'index I| {Jig. 36).

La même remarque s'appliquant aux deux autres échelles, on voit que chaque échelle peut être déplacée d^une quantité quelconque normalement à sa direction.

On pourra donc prendre pour supports des échelles (ai), (a2)

(' ) En dehors de la Note insérée, en i88(), dans les Comptes rendus, par laquelle M. Lallemand a porté sa méthode à la connaissance du public, il en a sous forme de feuilles autographiées, datées de i885, donné un exposé complet qu'il a bien voulu mettre à notre disposition et d'où nous avons ti^ tous les renseignements relatifs à ses travaux personnels, qui ont trouvé leur place dans cet Ouvrage.

(') Les remarques contenues dans les n*" 34 et 35, faites par M. Lallemand à propos des abaques hexagonaux, s'appliqueraient aussi bien aux abaques du 0*^31.

et (as) trois droites quelconques X, Y, Z parallèles aux axes Ox^ Oy et 0^ précédemment définis. 11 faudra toutefois rigoureusement observer la condition que les origines A|, A2 et A3 des trois graduations se correspondent, c'est-à-dire qu'elles se trouvent simultanément sous les index I|, I2 et I3.

Fig. 36.

Nous sommes ainsi amenés au mode de construction suivant des abaques hexagonaux :

Ayant choisi trois droites X, Y et Z formant un triangle équilatéral, et ayant pris sur X un certain sens positif, nous définissons les sens positifs sur Y et sur Z par la condition qu'ils fassent avec le premier des angles {comptés dans le sens

trigonométrique positif ) respectivement égaux à— et à -•

Si a% et è| sont les valeurs limites de a,, a^ et 63 celles de a2, nous construisons sur X et Y, avec un même module l d'ailleurs quelconque, les échelles des fonctions f^{^\) et f2{^2) entre ces limites, en faisant correspondre à a^ et à a^ des points A, et As quelconques.

Les perpendiculaires élevées àlLetàY en Ai et A2 se coupent en un point dont la projection sur Z est A3. Nous construisons alors sur Z, toujours avec le module /, l'échelle de la fonction

76 CHÀPITRB II.

./:i(*s) ^'* faisant correspondre le point A, à la valeur a^ telle que

et nous la prolongeons jusqu^au point qui est la projection sur Z du point de rencontre des perpendiculaires élevées à X et à Y par les points 61^^62 qui répondent aux valeurs limites bt et b^ des variables a, et cl^.

Remarque, — Rien n^empéchera, le cas échéant, s'il en résulte une meilleure disposition de Tabaque, de prendre, pour le support de Tune des échelles, une première droite jusqu'à une certaine valeur, puis une autre, parallèle à la première, à partir de cette valeur [voir les fig. ^\ et 142 ).

35. Fractionnement des échelles, — Entre les limites ai et è| d'une part, a^ et 62 ^^ l'autre, prenons des valeurs intermédiaires quelconques C| et C2.

Quatre cas peuvent alors se présenter :

I ai est compris entre ai et Ci at entre a^ et €%

II ai » Cl et bi QC] » ai et c%

III ai » ai et Cj oLf » c% et bf

IV ai •* Cl et bi aj » Cj et bt

Nous pouvons dès lors, sur une même feuille de papier, construire, d'après la règle qui a été donnée au numéro précédent, les abaques correspondant à ces quatre cas, indépendamment les uns des autres, mais en conservant de l'un à l'autre la même direction pour les axes.

Si l'on aligne sous une même position de l'index 1| les limites inférieures ai et Ci des deux tronçons de la graduation (ai), et sous une même position de l'index I2 les limites inférieures as et 6*2 des deux tronçons de la graduation (^2), il en résulte que les limites inférieures des quatre tronçons de la graduation (a^) sont aussi alignées sous une même position de l'index I3 {Jig> 37).

Il faut bien remarquer, d'ailleurs, que chacune des graduations (aj) des cas 11 et III est formée de parties empruntées aux graduations (as) des cas I et IV, puisque l'ensemble de celles-ci représente la graduation complète allant de (ai, 6|) à (a2, 62)*

Equations a tbois variables, abaques ^

L'easemble de» quatre abaques, ainsi réunis sur le même U-

bleau, équivaut à l'abaque unique construit précédemment, et.

grâce à ce fractionnement, il occupe une place beaucoup moindre.

Eo outre, le travail que représente l'établissement de cft abaque fractionné n'est guère supérieur à celui que comportait l'abaque unique. En effet, les deux échelles (a,), ou les deux échelles (ctj) respectivement mises bout à bout reproduiraient les échelles (a,) et (otj) non fractionnées; de même pour les deu\ échelles (xi) construites pour les cas I et IV. Quant aux deux autres échelles («s), correspondant aux cas H et III, nous venons de voir qu'elles sont constituées par des parties empruntées aux deux précédentes. Une fois celles-ci construites, leur établissement représente donc un supplément de travail insignifiant, à savoir celui qu'entraine le report sur un axe d'une partie de graduation relevée sur un autre axe.

Ici se place, d'ailleurs, une remarque essentielle : il arrive trè^ fréquemment en pratique que les valeurs des deux variables indépendantes a, et Oit, entre leurs valeurs extrêmes a, et b,, a-. et 6ï, ne s'anocient pas d'une manière quelconque, mais que

leurs variations simultanées, quoique indépendantes, sont de même sens.

Dans ce cas, très fréquent, je Je répèle, on pourra trouver dans les intervalles de a^ à b% et de a^ à 62 ^es valeurs moyennes c% et C2 telles que ai et fx^ leur seront ensemble respectivement supérieures ou inférieures. Dès lors, n'ayant jamais à associer une valeur de ai inférieure à C| à une valeur de a^ supérieure à Cj, et inversement, les combinaisons II et III ci-dessus ne se produiront jamais et la construction des échelles (a^) correspondantes devient inutile.

La construction de Tabaque à échelles fractionnées ne représente alors pas plus de travail que celle de Tabaque à échelles non fractionnées.

En tout cas, pour éviter qu^il y ait confusion dans la manière d^associer les divers tronçons d'échelles, on placera à côté de chacun d'eux certains signes, des chiffres romains par exemple, se référant aux abaques partiels dans lesquels il intervient, de sorte qu'on n'aura pour chaque lecture qu'à associer trois tronçons portant le même chiOre romain.

On pourrait aisément généraliser ce qui précède, et supposer (|ue l'on fractionne les échelles (ai ) et (aj) respectivement en n% el /i, tronçons, ce qui conduirait à construire n^ n^ tronçons d'échelle («3), à moins que la remarque précédente ne s'appliquât; mais une telle généralisation, théoriquement sans difficulté, est pratiquement sans intérêt :. il est donc inutile d'y insister.

II arrivera, au contraire, très fréquemment, qu'il n'y aura lieu de fractionner que l'une des échelles (a,) et (aj), la seconde, par exemple.

11 suffit, pour tomber sur ce cas, de supposer dans ce qui précède C| = 6,.

'i6. Exemples : i" Cinquième type d'abaque de multiplication. — L'équation de la multiplication étant mise, comme au n° 29, sous la forme

loga, -hlogotj = logaj,

on voit que l'abaque hexagonal correspondant, emprunté à M. Lallemand, se construira immédiatement suivant le mode indiqué au n** 34, les trois échelles fonctionnelles étant ici de simples échelles logarithmiques données

EQUATIONS A nota TARIABLKS. ABAQUES A KKTRECROISEHRNT. 79

|iar un ménieétalon. C'est là un cas où se manifeste bien nettement l'avantage sigBalé dans le premier alinéa du n° 32. Surl'abaque delajï^. 38les^chellea de (ii)et de (1,) à câté desquelles

Fig. 38.

on lit la lettre A ont élé l'une et l'autre fraclionnêes au point 3, et leurs seconds tronçons B ont été disposés de telle sorte 'que, pour le tronçon de l'écbelle (a,) correspondant aux tronçons B, les points de division soient les m£mes que pour le tronçon de cette échelle (aj) correspondant aux tronçons A. Pour qu'il en soii ainsi, il a suffi, ayant pris le point 1 du premier tronçon AA de l'échelle (aj), d'en faire le point 10 du deuxième tronçon BB. Le point g de ce deuxième tronçon s'est dés lora trouvé déterminé, et il a suffi de placer les points 3 des tronçons B de (et]) et de (il) sur les parallèles aux index I, et Ii menées par ce point g.

Associant ensuite le tronçon A de l'une des échelles avec le tronçon B de l'autre, on a obtenu, vu l'identité de ces échelles, le même tronçon AB constitué par la partie 3 à 10 de AA et la partie lo à 3o de BB mises bout i bout, le point 3 se trouvant sous la position de l'index I,, quand les index It et fi passeat respectivement par les points 1 et i d'un tronçon A et d'un tronçon B conjugués.

1* Abaque dei correclioiu dynamiques de niveau. — Les corrections d'altitude ■^t et de latitude 7)t, exprimées en décimillimètres, qu'il faut faire subir à une différence brute de niveau d, exprimée en mètres, pour

8o CHAPITRE II.

obtenir ia différence correspondante de niveau dynamique, sont données

par

T^i = — o,ooi9<iH,

T^f = — -AÔ dcosiX,

H étant l'altitude moyenne exprimée en mètres, X la latitude moyenne exprimée en grades.

Remarquons que, sauf le cas très exceptionnel de régions situées en contre-bas du niveau de la mer (pour lesquelles H est négatif), la correction d'altitude 7)i est de signe contraire à celui de la différence de niveau.

En outre, la correction de latitude t)) doit être prise avec le signe de la différence de niveau ou le signe contraire suivant que la latitude X est

supérieure ou inférieure à - ou 5o^.

Nous sommes ainsi amenés à négliger les signes des seconds membres, et, par suite, à prendre la même valeur de r^^ pour deux valeurs de X supplémentaires, ce qui montre qu'il n'y aura lieu de faire varier X qu'entre

o et — •

Cela posé, pour traduire ces formules en abaques hexagonaux, il suffira

«le les écrire

logrf-T-logH -^ logo, 0019 = log|Tî, |,

loge? -h log COS2X -t- log26 = log I T^t I-

Pour la première, on aura donc à construire :

Sur l'axe X, l'échelle ;r — /loj;ûf,

•) Y, u ^r^ /(logïl-^ logo, 0019),

» Z, » z -. /log|7), |;

pour ia seconde :

Sur l'axe X, l'échelle x — llo^d^

» Y, » J' = /(logCOS2X f- log26),

/ étant un module quelconque.

On voit que de l'un à l'autre abaque les échelles portées sur X et sur Z sont les mêmes. On pourra donc les prendre en commun, et construire parallèlement l'une à l'autre les deux échelles (H) et (X) portées sur les axes Y.

En outre, on pourra fractionner réchelle {d) commune au point d = 10, en faisant coïncider le point 10 du second tronçon avec le point i du premier, ce qui entraînera de même la coïncidence de tout point 10 s du second tronçon avec le point a du premier. •

D'ailleurs, les corrections t), etTjj étant proportionnelles à rf, le tronçon

£QI:ATI0.%S a TBOIX TARIABUS. abaques a EMBEOBOISEXE-IT. I

correspondaDt de l'échelle (t„, t;,) s'obtiendra ïiimplcmcnt en multiplia par to les cotes des points du premier tronçon ( ■ ),

C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque île la Jîg. 3g emprunté ù M. I.all mand (').

KiB- 39.

(') On reconnaît li une applii pnndants (d> 31).

(•) Nivellemtnt de haute préc

■ Pour éviter toute confusion, on a souligné les cotes des seconds tronçons des échelles (d) et (r^j, r^j).

Le mode d'emploi de l'abaque, moyennant cette distinction des deux tronçons des échelles (d) et (tji, tjj), se résume donc en ceci :

Le transparent étant orienté, et son index Ij passant par le point coté d de la première échelle, on le fait glisser dans la direction de cet index de manière à amener son index Ij à passer successivement par les points cotés H etX des secondes échelles {^verticales) \ dans ces deux positions^ l* index I3 donne sur la troisième échelle d'abord r^,, puis r^j.

On trouvera plus loin (n** 109) une autre application de la méthode des abaques hexagonaux dans le cas des équations à trois variables.

37. Juxtaposition d* abaques hexagonaux. Abaques à glissement. — Le principe des abaques hexagonaux a été étendu par M. Lallemand lui-même à des équations contenant un nombre quelconque de variables, grâce à un artifice qui peut revêtir la forme analytique que voici :

Prenant un nombre quelconque de fonctions d^une variable, posons

Nous pourrons représenter ces diverses équations par des abaques hexagonaux définis par les mêmes axes Ox, Oy et Oz, en ayant soin d'écarter les unes des autres les échelles parallèles à un même axe par application de ce qui a été vu au n** 34, c'est-à-dire en alignant les origines de ces échelles sur une perpendiculaire à leur direction commune menée par l'origine O.

Nous définirons, d'ailleurs, les échelles des divers abaques par les formules (où, pour plus de simplicité, nous faisons le module / égal à 1)

(H) x-^a,,, y = - fz{^z), -5 = <yj,

(III) a? = (14, y^ M^'.)^ ---^«^6,

(IV) ^-cio, r^- /si»:.). - ^ «^5,

--/2(aj) = <r.i,

- dv -~^- «^6,

Suivant que n sera pair ou impair, les formules relatives au dernier abaque seront

<N — II) a7=<T„, y ^— //l-l(a/l-l), Zr=fJn-\

ou

On voit que les abaques des équations (A*) et (A'-f-i) ont en commun l'échelle de Oz si k est impair, celle de Ox si A* est pair. Par conséquent, pour /aire passer le transparent de sa position sur V abaque de rang (k) à sa position sur r abaque de rang (Ar-l-i), il suffit^ en maintenant son orientation, de le faire glisser perpendiculairement à Oz, c'est-à-dire dans la direction DE l'index I3, SI k EST IMPAIR, perpendiculairement à Ox, c'est-à-dire dans la direction de l'index I|, si At est pair.

Cela posé, remarquons que les équations (i) à (n — 2), additionnées ensemble, donnent

/i(ai)-+-/t(«2}-+-----+-/«-i(««-i) = ^n-

Construisons sur l'abaque les échelles (ai), (aa), ..., (oLn-i) à l'exclusion des échelles (c'a), (^•4), . . ., (o'w-i) et sur l'axe qui porterait l'échelle (o*,,), construisons celle de la fonction — /«(a,/), c'est-à-dire construisons l'échelle ^ = — fn{^n) si n est pair, l'échelle z = — fn{^n) si n est impair.

Nous aurons ainsi

(E) /i(ai)-H/i(a,)H-...-4-/«,(art,)-+-/«(a„) = o,

et nous voyons, d'après ce qui vient d'être dit, que tout système de valeurs de «i, aj, . .,, a^ satisfaisant à l'équation ( E) sera tel que, si, après avoir fait passer l'index 1| par le point (a,), on donne au transparent les glissements alternatifs qui viennent d'être définis, de manière à prendre successivement avec l'index I2 les points («2), («3), ..., (a„i), l'index l| si n est pair, I3 si n est impair, donnera, dans la dernière position du transparent, la valeur de a„ sur l'échelle correspondante.

En résumé, la représentation de l'équation (E) ci-dessus s'obtiendra comme suit {fig* 4o et 4o bis) :

En ayant soin d'aligner les origines des échelles parallèles à un même axe sur une perpendiculaire élevée enO à cet axe,

on construit parallèlement àOx l'éclielle de la fonction f,{%i), parallèlement à Oy celles des fonctions ft{<i'3), ^/a(*a)- /,(«,). —/j(a,}, ..., i~ i)''f„,{ai„,), enfin parallèlement et Ox si n est pair {fig. ko), à Os si n est impair {fig. 4o bis), celle de la fonction —fni^n)-

Fig. V-

On trace, en outre, deux flèches F' et F" perpendiculaires l'une à Oz, l'autre à Ox.

El le mode d'emploi de l'abaque est le suîvanl : Le transparent étant convenablement orienté, on fait passer .son index l, par le point (a, ), son index I^ par te point («ï). puis on le fait glisser alternativement dans le sens des flèches F' et F", de façon à amener successivement son index ï-i à passer par les points (aj), («i), («j) Quand cet index Ij passe

par le point (a;,i), Vindex^ l| ou I3, perpendiculaire à ^échelle (oin)y rencontre cette échelle en un point dont la cote est la valeur de aL„ demandée.

Nous rencontrons ainsi un premier exemple de représentalion d'une classe d'équations à un nombre quelconque de variables.

38. Exemple : Abaque des sinus et des tangentes, — Nous emprunterons à M. Lallemand l'exemple suivant : Soit à représenter les équations

ai sinx] = a4 sinaa, (Zitangas= oc^tangas,

qui sont d'un usage fréquent dans les applications de la Trigonométrie plane. Nous les écrirons

logai-h logsinaj — logsina3 — loga^— o, logai •+■ log tangsj — ^og tangas — loga4= o.

Pour représenter la première, nous n'aurons, d'après ce qui précède, qu'à construire parallèlement à Ox l'échelle des fonctions log^i et loga^ qui n'en formeront qu'une, parallèlement à Oy celle des fonctions log sînaj et log sinaa qui se confondront également.

De même pour la seconde équation, en changeant les log sin en log tang. On pourra, d'ailleurs, faire coïncider les échelles logarithmiques (ai), ou échelles des longueurs, des deux abaques. On obtient ainsi \^ fig, \\ sur laquelle Téchelle des tangentes a été fractionnée au point coté 4^*'<

Il n'y a ici à effectuer qu'un seul glissement dans la direction des parallèles équidistantes tracées sur l'abaque.

Le mode d'emploi sera donc le suivant :

Faire passer les index Ii et Ij du transparent convenablement orienté respectivement par les points (œi) de V échelle des longueurs et {if) de Véchelle des sinus {ou des tangentes)^ puis faire glisser ce transparent dans la direction des parallèles équidistantes jusqu'à ce que son index I2 passe par le point {1^) de r échelle des longueurs; son index \ y coupe alors Véchelle des sinus {ou des tangentes) au point coté («4).

Si, après avoir pris l'échelle des sinus dans la première position du transparent, on prenait, après glissement, l'échelle des tangentes, on aurait résolu l'équation

ai sina2= a^ tangaa.

39. Définition de V anamorphose graphique, — Tous les abaques envisages jusqu'ici dérivaient d'un type unique ainsi

constitué : un quadrillage coté sur lequel est dessiné un faisceau de courbes cotées.

Les cotes des verticales du quadrillage se rapportent à une des variables ai, celles des horizontales à une autre variable aj, enfin les cotes des courbes à la troisième variable aj, et les valeurs de ces trois variables se correspondent en vertu de Téquation proposée lorsque cette verticale, cette horizontale et celte courbe se croisent en un même point.

Les diverses cotes croissant par échelons égaux ^ le quadrillage pourra être régulier ou irrégulier, c'est-à-dire que les deux s;ystèmes de parallèles qui le constituent pourront être à intervalles égaux ou inégaux.

L'abaque d'une équation à trois variables, construit avec un quadrillage quelconque, pourra toujours être considéré comme transformé de celui que donne la mélhode cartésienne (n" 16), si Ton fait correspondre à chaque droite du quadrillage régulier que comporte celle-ci la droite parallèle de même cote du quadrillage irrégulier que l'on aura choisi.

Rien d'ailleurs n'est plus facile que de passer de l'abaque cartésien à son transformé. Si, enefiet, un point du premier se trouve à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale a^, son transformé sera également sur le second à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale ol^* Cette remarque, appliquée aux divers points d'une courbe tracée sur le premier abaque, permet de construire immédiatement la courbe correspondanle sur le second.

L'anamorphose, telle qu'elle a été ci-dessus envisagée, a pour but de déterminer ce quadrillage irrégulier de façon que toutes les courbes données par la méthode ordinaire sur le quadrillage régulier deviennent des droites.

On vient de voir à quel caractère analytique se reconnaît la possibilité d'une telle transformation et de quelle façon elle se réalise pour une équation de forme donnée, mais on peut aussi tenter de l'effectuer sur un abaque cartésien dont les courbes ont été obtenues empiriquement, en transformant l'une d'elles, suivant le mode indiqué au n'* 15 et voyant, avec le nouveau (|uadrillage ainsi déGni, ce que deviennent les autres.

Une telle anamorphose est dite graphique, Lalanne en a fait connaître un exemple remarquable, relatif à Tabaque qui traduit la loi de mortalité de Demonferrand pour la population française (').

M. Lallemand a utilisé l'anamorphose graphique à un autre point de vue, en se proposant non pas de substituer des droites à

(') Mémoire sur les Méthodes graphiques <, dans les Notices publiées par !«' Mioistère des Travaux publics à l'occasion de IP^xposilion de .Melbourne (Iinp. iNat.; 1880), p. 3;4 à 879.

des courbes, maïs de remplacer des courbes coupant un des systèmes d'axes du quadrillage sous un angle trop pelit par d'autres courbes ne présentant pas le même inconvénient par rapport aux axes du quadrillage transformé.

40. Exemple, — En voici un exemple emprunté à cet auteur : Ayant à représenter Téquation (')

supposons que Ton pose d'abord

/ étant un module quelconque, ce qui définit un quadrillage régulier. Nous aurons alors pour les courbes cotées («3) l'équation

X y -^- /aa

/ ~ y — /ci3

qui représente des hyperboles équilatères passant toutes par le point (x = — l^y = o) et toutes asymptotes à la verticale x — l {Jig. 4^^)-

L'angle sous lequel chacune de ces hyperboles rencontre les horizontales, très aigu au voisinage de Oy^ croît rapidement à mesure qu'on s'éloigne

de cet axe pour devenir, à la limite, égal «à - quand x — /. La précision avec

laquelle s'obtiennent les points de rencontre suit une loi inverse.

Pour remédier à cet inconvénient, M. Lallemand a eu recours à une anamorphose graphique ayant pour effet de substituer à ces hyperboles des courbes coupant les horizontales dans toute la portion utile du plan

sous des angles différant peu de ^•

Cette anamorphose graphique ne porte d'ailleurs que sur les horizontales du quadrillage, les verticales restant invariables.

Ayant pris la courbe du faisceau correspondant à la valeur moyenne de «3 (ici 23= 5), on lui mène une tangente TT' faisant avec les axes des

angles égaux à -^1 et l'on définit le uiodc de correspondance entre les nou-

vellos et les anciennes horizontales ainsi qu'il suit :

Pour une même cote les points de rencontre de la première horizontale avec Vhyperbole 5 et de la seconde horizontale avec la droite TT' sont sur une même verticale.

(' ) Pour ref)rcsenler celte équation par trois syslènios de lignes droites, il suflirait de poser x — aj, y -- a^

C'est, on le reconnaît immédiatement, la transformation de l'hyperbole 5 en la droite TT' suivant le mode envisagé au n** Ifi, le transport des points ayant seulement lieu parallèlement à Oy au lieu de Ox.

Par exemple, les premières horizontales 10, 20, 3o, 40, 5o coupant l'hyperbole 5 aux points a, p, y» ^î ^» ^^ mène par ces points des verticales qui coupent la droite TT' aux points a\ P', y', 0', z'. Les secondes horizontales 10, 20, 3o. 4o, 5o sont celles qui passent par ces points.

l'ig. 4j.

Rien de plus facile, dès lors, que d'obtenir la transformée d'une courbe de Tabaque primitif. Ayant pris ses points de rencontre avec les diverses horizontales de cet abaque on les reporte par des verticales sur les horizontales correspondantes du nouvel abaque.

C'est ainsi que sur \^ fig. 4?- les courbes i et 10 en trait gras(*) ont été déduites des courbes i et 10 en trait fin. Quant à la courbe 5, elle a pour transformée la droite TT' elle-même. On voit que les angles de ces courbes

ir

avec les horizontales s'écartent peu de -

(') Un calcul bien facile montre que ces diverses courhos ont des équations de même forme que les précédentes. Ce sont donc encore des iiyperboies.

go CHAPITRE II.