Systèmes de courbes cotées. — Soit Téquation
où a désigne un paramètre arbitraire, x ei y des coordonnées ponctuelles quelconques, généralement des coordonnées cartésiennes.
A chaque valeur de a correspond une courbe, et, lorsqu'on fait varier ce paramètre de — oo à + oo, on obtient un système simplement infini ou faisceau de courbes.
Supposons que, faisant varier a par échelons égaux entre les limites a et bj nous construisions la partie de chacune des courbes correspondantes comprise à l'intérieur d'une certaine aire A en ayant soin d'inscrire à côté de chacune d'elles la valeur correspondante du paramètre a; nous obtenons ainsi un système de courbes cotées (a) (*).
Toutes ces courbes sont tangentes à une même courbe, leur enveloppe, dont l'équation est le résultat de l'élimination de a entre les équations
Mais, outre que la partie de cette enveloppe, qui est tangente aux courbes tracées, se trouve généralement en dehors de l'aire A, il faut remarquer que, sauf dans le cas où les courbes cotées sont des droites, elle n'offre aucune utilité pratique.
Si l'on est conduit à envisager une valeur de a autre que celles qui ont servi à la construction du système, on doit se figurer entre les courbes effectivement tracées les plus voisines, celle qui répondrait à cette valeur de a, en se laissant guider par l'allure des courtes environnantes. Cette interpolation à vue est, on le voit, assez délicate et la précision qu'elle peut donner dépend bien évidemment de l'habitude qu'en peut avoir le lecteur.
(') Rappelons, ainsi que nous l'avons déjà dit au n" 16, que ces courbes ont également reçu le nom de courbes d'égal élément (Lalanne) et de courbes isoplèthes (Vogler et Lalanne). Nous nous en tenons au terme plus simple et plus expressif de courbes cotées.
Lorsque, par la suile, nous parlerons des courbes cotées d'un système, on devra entendre par là non seulement celles qui seront <î(ïectivement tracées sur le tableau, mais encore celles qu'il est possible de leur adjoindre par une interpolation à vue.
Il convient d'observer que la construction d'un système de courbes cotées ne comporte pas, en général, à beaucoup près, un travail équivalent à la somme de ceux qu'exigerait la construction (les courbes qui le constituent, prises individuellement. Il arrive, en effet, presque toujours que, une fois l'une de ces courbes obtenue, le tracé des autres s'en déduit avec une grande facilité. On peut citer, à ce point de vue, comme particulièrement caractéristique, l'exemple des systèmes de courbes qui se rencontrent plus loin aux n*** 12S et 126.
43. Disposition des cotes d'un système, — On peut placer la cote d*une courbe d'un système en un point quelconque de cette courbe. II sera même bon, si le tableau est de quelque étendue, de la répéter de distance en distance le long de cette courbe, pour que, en partant d'un point quelconque, l'œil n'ait pas à efTcctuer un trop long parcours avant de rencontrer la cote cherchée.
Pour faciliter cette recherche, il conviendra aussi d'observer une certaine continuité dans l'inscription des cotes des diverses courbes, c'està-dire de les disposer le long d'une courbe d'allure régulière, d'ailleurs quelconque. Une bonne disposition consistera à choisir à cet effet une trajectoire orthogonale du système des courbes cotées, ou du moins une courbe s'en écartant peu.
On pourra également échelonner les cotes le long d'une trajectoire dont les arcs, compris entre les diverses courbrs du système, seront tous égaux entre eux, de telle sorte que, sur celte trajectoire, les cotes seront régulièrement espacées.
On voit d'ailleurs immédiatement que, si les courbes cotées sont considérées comme les projections des courbes de niveau d'une surface, une telle trajectoire n'est autre que la projection d'une ligne d'égale pente de cette surface.
Kn vertu de la remarque qui termine le n" 31, on pourrait, pour transformer un abaque à parallèles en un abaque avec transparent à trois in- «lc\, prendre comme trajecloire des cotes de chacun des systèmes de parallèles une courbe répondant à la condition ci-dessus. La partie restante de l'abaque se composerait alors de trois courbes graduées régulièrement. Mais cela n'a qu'un intérêt purement théorique.
Dans tous les cas, on simplifiera l'inscription des cotes, en même temps qu'on rendra la lecture plus sure, par l'emploi de traits de force qui serviront au tracé des courbes prises de lo en lo, par exemple, des traits un peu
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMEM. qS
moins renforcés étant encore appliqués aux courbes médianes des iniorvalJes laissés entre les premières. C'est là une extension toute naturelle de la Remarque qui termine le n" 2.
44. Systèmes de droites, du premier degré (').-- Si Téqualion d'une droite contient algébriquement le paramètre a au degré w, elle définit un système de droites, du /i'*"* degré. De telles droites admettent en général une enveloppe de la classe w, puisque, à un couple de valeurs données pour x et j^, correspondent n valeurs de a, ce qui montre que, par tout point, on peul mener n tangentes, réelles ou imaginaires, à l'enveloppe du système.
Les cas les plus intéressants sont ceux iie n-.= \ et /î - - 2, pour lesquels l'enveloppe se réduit respectivement à un point et à une conique.
Considérons d'abord un système de droites (a) du premier degré. Son équation est de la forme
<i) U-r-aV^o,
«II U et V sont des fonctions linéaires eu x et^.
A. a = o et a:==ao correspondent respectivement les droites U =^ o et V -— o, représentées sur la Jîg, 4»^ pj^r AB et AC.
Toute autre droite (a) ou AM du système passera par le point de rencontre A de ces deux premières droites. Si l'on remplace U et V par leurs valeurs développées en .r
(') L'étude des systèmes de droites du premier cl du deuxième degré a élè faite dans le Mémoire cité de M. Massau, où les résultats rappelés ici sont établis d'une laçoo uo peu différente.
et y^ on voit que l'équation (i) renferme, sous forme homogène, six coefficients. Il faut donc cinq conditions pour définir le système. La connaissance du point  équivaut à deux conditions. Il faudra donc connaître les cotes de trois droites menées par ce point .pour que la détermination géométrique du système soit complète.
Coupons ce système par une droite BC quelconque. L'équation (i), conservant la même forme pour un changement quelconque des axes de coordonnées, nous pouvons, sans nuire à la généralité, supposer que cette droite BC se confond avec Taxe des X. Alors, pour avoir l'échelle déterminée sur cet axe par le système (a), il suffira de faire JK = o dans (i), ce qui donne l'équation d'une échelle linéaire (n® 7).
D'après ce qui a été vu en cet endroit, on peut construire géométriquement une telle échelle lorsqu'on en connaît trois points. En particulier, on peut se servir des points B (a = o) et C(a =00), auxquels on adjoindra le point de rencontre M d'une droite quelconque (a) du système avec la droite BC.
Rappelons quelle est la construction donnée au n** 7 : si, par le point M, on mène la parallèle MB' à AC, l'échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (a) en M, projetée à partir de A sur BC, donne, sur cette droite, l'échelle demandée. On peut donc dire que ie faisceau cherché détermine sur toute droite parallèle à AC une échelle régulière,
45. Systèmes de droites, du second degré. — Un tel système est défini par une équation de la forme
(i) U-i-aV>+-a«Wr-o,
où U, V, W sont des fonctions linéaires en x et y,
A a = o et a=^oo correspondent respectivement les droites
U = o et W = o, représentées sur h Jig. 44 par AB et AC.
Soit, en outre, BC la droite V :- o.
L'enveloppe du système a pour équation
C'est donc une conique F tangente à AB et à AC en B et en C. L'équation (1) renferme, sous forme homogène, neuf coeflfi-
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. qS
cients. Il faut donc huit conditions pour définir le s^'Stème. La connaissance de la conique F équivaut à cinq conditions. Il faudra donc, si elle est donnée, connaître, en outre, les cotes de trois de ses tangentes pour que la détermination géométrique du système soit complète. La conique F sera d'ailleurs définie si on a ses points de contact avec trois des tangentes cotées données.
Fig. 44. ■
En particulier, lorsque les droites AB, AG et BC ont été construites, on connaît, par le fait, deux tangentes cotées AB(a = o) et AC(a = oo) avec leurs points de contact B et G. 11 suffit alors de construire une autre droite quelconque MN de cote a, pour que le système soit géométriquement défini.
Quatre droites quelconques du système, prises avec leurs cotes, équivalant à huit conditions, permettront également de construire le système.
Cette construction repose, dans tous les cas sur le théorème suivant : F^s points de rencontre, pris avec les cotes correspondantes y de toutes les droites du système avec l'une quelconque d* entre elles forment une échelle linéaire.
En effet, les points de rencontre des droites du système défini parFéquation (i) avec la droite dont Féquation est
(2) U-haoVH-aîW=^o
se trouvent sur les droites du système
(3) V-i-(a-T-cto)W = o,
dont Féquation s'obtient par soustraction de (i) et (2), et comme
ce système esl du premier degré, l'échelle qu'il engendre sur la droite (2) est linéaire. Le point coté a© sur cette échelle est évidemment son point de contact avec la conique F.
En particulier, les échelles situées sur AB et sur AC sont données l'une par
(4) U— o avec V-i-aW = o, l'autre par
(5) W = o avec U-î-aVr:^o.
Si l'on connaît quatre droites cotées du système, on a, sur chacune d'elles, par sa rencontre avec les trois autres, trois points de l'échelle linéaire correspondante. On peut donc construire cette échelle (n" 7). Après en avoir ainsi obtenu deux, il suffit de tirer des droites entre leurs points de même cote pour avoir le système demandé.
Revenons au cas où l'on a tracé les droites AB, AC, BC et une droite MJN de cote quelconque a dans le système.
L'échelle linéaire sur AB est définie par les points B(o), M(a) et A(oo); celle sur AC par les points A(o), N(a) et C(oo).
Si nous menons par M la parallèle MB' à AC et que nous construisions sur cette droite l'échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (a) en M, il nous suffira de projeter cette échelle à partir de C sur AB pour avoir l'échelle située sur cette droite. De même l'échelle située sur AC s'obtiendra par projection à partir de B de l'échelle régulière construite sur la parallèle NA' à BC et SLyanl son point (o) en A' et son point (a) en N.
Le point E où la droite (a) touche son enveloppe F est défini par l'équation (1) et sa dérivée par rapport à a,
(6) V-+-2aW = o.
Celle dernière équation, multipliée par - et retranchée de (1), donne
Le point E se trouve donc à Tintersection des droites définies par (6) et (7). Or, la comparaison de ces équations avec (4) et (5) montre que la première représente la droite qui joint le point C
ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISE.MKNT. 97
au point coté 2a sur l'échelle de AB, et la seconde la droite qui
joint le point B au point coté - sur Téchelle de AC. De là une
facile consti'uction du point E lorsque ces deux échelles ont été obtenues.
Remarque. -- Pour qu'une échelle linéaire soit régulière, il faut que son point coté (oo) soit à l'infini. 11 n'y aura donc, en général, qu'une droite d'un système du second degré sur laquelle les autres détermineront une échelle régulière, à savoir celle qui sera parallèle à la droite cotée (oo), c'est-à-dire la tangente à la conique r parallèle à AC. Toutefois, si la droite (oo) est tout entière transportée à l'infini, ce qui a lieu lorsque W se réduit à une constante, auquel cas la conique F est une parabole, les échelles de toutes les droites du système sont régulières. La conique F peut d'ailleurs être une parabole sans que sa tangente cotée (oo) soit précisément celle qui est située à l'infini.
46. Abaque général à trois systèmes de courbes cotées. — Considérons les trois systèmes de courbes cotées définis respectivement par les équations
(aj) FsCx,^, aj)=:T o,
«atj) F3(a:, ^, a3)=:o.
Si trois courbes prises respectivement dans ces systèmes concourent en un même point, leurs cotes sont liées par l'équation
(E) *(ai,aî,a3)=o,
obtenue en éliminante: et y entre les trois équations précédentes, et cela, bien entendu, quelle que soit l'espèce (cartésiennes, polaires, etc..) des coordonnées x et y.
L'ensemble des trois systèmes («4), (a2) et {ol^) constitue donc un abaque de Féquation (E), dont le mode d'emploi tient dans ce simple énoncé :
La valeur de la variable prise pour inconnue est donnée par la cote de la courbe du système correspondant, qui passe par le point de rencontre des courbes cotées au moyen des va-
leurs des deux autres variables dans les systèmes correspondants.
On voit que si l'étjuation (E) esl donnée, on pourra choisir arbitrairement deux des trois équations de courbes cotées, les deux premières, par exemple, la troisième s'obtenant par l'éliminalion de a, ela^ entre celles-ci et l'équation (E).
JVIais, et c'est là un point essentiel, il faudra à la fois que les équations (a.,) et (x^) qu'on se sera données et l'équation (fXj), obtenue comme on vient de le dire, représentent des courbes réelles.
Lorsque, sous cette condition, on formera les équations (n,), (ai) et (aj), qui, par élimination de X el y, devront redonner l'équation (E). on pourra dire que l'on opère la disjonction des variables.
Il faut, en outre, remarquer qu'en pratique les variables a, et xj prises comme variables indépendantes auront des limites a, et b, pour l'une, a^ et b^ pour l'autre. On commencera donc par construire les courbes correspondantes (<i|) el{b,) du premier système, (oj) et (ôï) du second (^fig- 4^)- Ces courbes détermi-
neront un quadrilatère curviligne, et il ne sera, bien entendu, nécessaire de construire les diverses courbes («i), («a) et (a,) qu'à l'intérieur de ce quadrilatère. Toutefois, si ces courbes sont
des droites ou des cercles, dont le tracé ne coûte pas plus de peine quand on Tétend davantage, on pourra, en vue par exemple d^une plus grande netteté dans l'inscription des cotes, les prolonger au delà des limites qui viennent d'être définies.
Remarquons enfin qu'il pourra y avoir Heu de pratiquer l'interpolation dont il a été question au n^ 42 pour une, pour deux des variables, ou même pour les trois à la fois. L'opération mentale, qui consiste à se figurer, au milieu des courbes effectivement tracées, les trois courbes correspondant aux deux données et à Finconnue, exige alors quelque attention et fournit des résultats dont la précision dépend évidemment de la plus ou moins grande habitude du lecteur et de la justesse de son coup d'œil.
On voit immédiatement comment les méthodes déjà exposées résultent du principe général ci-dessus.
Il suffit de prendre pour équations (ai) el (ol^)
pour obtenir comme équation (as)
C'est la méthode cartésienne (n" 16).
Si Téquation (E) est de la forme
on n'a qu'à prendre pour équations (ai ) et (a2)
pour avoir comme équation (ag)
On retrouve ainsi la méthode de V anamorphose (n®2i) telle qu'elle a été donnée par Lalanne.
Voyons maintenant quelle nouvelle extension de l'anamorphose peut résulter du principe général qui vient d'être indiqué.
lOO CHAPITRE II.
47. Abaques à trois systèmes de droites entrecroisés, — L^anamorphose de Lalanne avait pour objet, en substituant à un quadrillage régulier un quadrillage irrégulier, de transformer un système de courbes cotées dessiné sur le premier en un système de droites sur le second.
Supposons maintenant qu^au lieu d^un quadrillage nous construisions un réseau formé de deux systèmes de droites quelconques et que, dans ces conditions, les courbes cotées correspondant à la troisième variable soient aussi des droites quelconques.
Si, pour abréger l'écriture, nous écrivons /,-, «p/, ifi au lieu de /i{oLi)^ cp/(a/), ^i(tt|), pour e=:i, 2, 3, nous voyons que nous aurons pour les systèmes (ai ), (a2) et (as) les équations
(aj) a7/,-+-^ç,-ht;^, = o,
(as) a^/3-^^?3-i- 4^3 = 0.
Uélimination de x ei y entre ces trois équations nous donne Téquation représentée qui peut s'écrire
Si donc une équation peut être mise sous cette forme, on pourra immédiatement effectuer la disjonction des variables par les équations (ai), (a2) et (as) ci-dessus, et, en construisant les trois systèmes de droites définis respectivement par ces équations, on aura constitué un abaque à droites entrecroisées pour l'équation (E).
C'est en cela que consiste le principe de l'anamorphose généralisée, énoncé pour la première fois par M. Massau (*).
Pour reconnaître si ce principe est applicable à une équation donnée, il faudra d'abord essayer de la mettre sous la forme (E) ci-dessus. Si l'on n'a pas recours pour cela à une méthode analytique rigoureuse (^) on se livrera à quelques tâtonnements. Ceux-ci seront d'ailleurs facilités si l'on a déterminé a priori certains
(') Intégration graphique, Liv. III, Cli. III, g 2. (-) Voir le n» 151.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. lOI
tjpes d'équations susceptibles de revêtir la forme (E) ci-dessus ('). Il est intéressant à cet égard de s'arrêter au type ci-dessous qui a été rencontré par M. Massau (^).
48. Type adéquations rentrant dans la classe précédente. — Ces équations sont celles de la forme
(i) (7Wiai-+-ni)(mia,H-/i,)/,-4-(/?ia,-h7i)(/?,ai-f-7,)?3
H-(riai-+-5, (r,aj-+-5t)<^3=«
ov/^j Ç3 et A3 représentent des fonctions quelconques de a.,.
Puisque nous sommes libres de choisir les équations (a<) et («2) (n° 46) prenons celles qui résultent de l'élimination de 0.2 d'une part, de ai de l'autre, entre les équations
(r,a,H-^,)(r,xj-+-5,) ' -^ "(r,a,-l- 5, )(r,aj-i- 5,) '
L'équation (as) sera alors
Formons les équations (a, ) et (a2) ainsi qu'il vient d'être dit. Par un calcul qui exige quelques écritures mais n'offre aucune difficulté, puisque chacune des équations (2) est du premier degré par rapport soit à ai, soit à a^, nous obtenons
lai) ^-^-^ =-^arH — -^ ^-^ Y -\ ^^^=— -±i-i — o,
/Hiai-H/it PiOt-i^qi r^oLi-^ Sx
Ces deux dernières équations définissent des systèmes de droites du second degré.
L^ équation ( i ) ci-dessus est donc représentable par trois systèmes de droites dont deux nécessairement du second degré.
Mais il y a plus : Ces deux systèmes du second degré ctdmettent la même conique enveloppe.
( ' ) Voir plus loin (Ch. VI, II B) rétudc des équations obtenues en supposant toutes les fonctions /, cp, 4^ linéaires.
(^) Loc, cit. Les démonstrations ici données sont entièrement différentes de celles de M. Massau.
Pour le démontrer il suffit de faire voir que les droites (ai) et (aa) coïncident deux à deux, c'est-à-dire que, quel que soit a,, on peut déterminer aj de façon que les droites (a,) et (a2) coïncident. La vérification directe de ce fait exigerait des calculs très compliqués; elle devient fort aisée grâce à Tartifice suivant :
Rien n'empêche, pour la construction de Tabaque, de substituer aux variables ai et 7.2 les variables a'^ et a', définies par
Il suffira seulement, lorsqu'on se sera servi d'une valeur soit de a',, soit de a'j, pour construire une droite, de coter cette droite k l'aide non pas de cette valeur de a'^ où de a'j, mais de la valeur correspondante de ai ou de aj.
Un calcul facile montre que
^4l±f =^-,,'.-^y', avec
/ijr,
niiSi
/ii/?i —
miÇi
-mi Si
q^rt-
'PlSt
n^ri-
/WjSj
fiiPi
-mtSt
' ^=Pjaj-+-7t avec
Dès lors les équations (a,) et (aj) ci-dessus deviennent
«1 Px^x-^q\
Ces équations représenteront une même droite si Ton peut avoir
a la fois
Or, ces deux égalités se réduisent évidemment à une seule
Il suffira donc que a'^ et a'j satisfassent à cette équation pour que les droites (a'j) et (a'j) coïncident. Autrement dit :
Si 0L^ et «2 sont liés par la relation
les droites (a,)et(a2) coïncident.
Ainsi donc les systèmes (ai) et (ao) seront constitués parles mêmes droites (tangentes à une certaine conique) affectées de cotes différentes. Il n'y aura évidemment, pour éviter toute contusion, qu'à distinguer les cotes se référant à Tun ou à l'autre sjslème au moyen d'un signe quelconque (indice, accent, tiret, ...). V\ arrivera d'ailleurs souvent que la portion utile de chaque système ne comprendra pas les mômes droites. On aura des lors affaire à deux groupes distincts de tangentes à une même conique el il sera superflu d'affecter leurs cotes de signes particuliers.
49. Transformation ho nio graphique d\in abaque à droites entrecroisées, — Les lignes, droites ou courbes, qui, par leur entrecroisement, constituent un abaque, peuvent évidemment être soumises à une transformation ponctuelle quelconque pounni que leurs cotes se conservent.
En particulier, la transformation homographique la plus générale, avec laquelle toute droite donne une droite, sera applicable à tout abaque à droites entrecroisées, puisque à trois droites concourantes du premier abaque correspondront trois droites concourantes du second.
Pour obtenir l'expression analytique de cette transformation, il suffit de multiplier l'équation mise sous la forme
par le déterminant
Il V 1
cil les lettres X, (jl, v, )/, [jl', ... désignent des nombres quelconques, mais tels que D soit différent de zéro.
loi CHAPITRE II.
La règle bien connue de la multiplication des déterminants montre que Téquation s'écrira alors
Elle sera par suite représentable par les trois systèmes de droites
(a,) j:-(X/,^K?î — ^4'»)— r(^'/i-^î^'?ï— ^'4'î)^^'/ï— î^'?î— '^'4'« = o^ (di) x{\/i -r- |ji03 — y^i) -^(X'/j— :Ji'oa— v'6,) — X'/j-^ fA'fi— v'4^a = o.
Ainsi les nombres X, [x, . . ., y" étant astreints à la seule condition que leur déterminant D soit différent de zéro, les trois dernières équations écrites définissent l^ abaque à droites entrecroisées le plus général pouvant servir à représenter Inéquation (E) ci-dessus.
On peut d'ailleurs prendre pour fonctions /"i, o, , . . ., tj/j celles qui correspondent à un quelconque des abaques à droites entrecroisées de Téquation proposée. Lors donc qu'on aura réussi à former Tun de ceux-ci, on aura du même coup obtenu tous les autres, pouvant s'en déduire homographiquement, avec conservation des mêmes axes de coordonnées.
Exemples : i° La première variante du second type d'abaque de multiplication {Jig. 2*5) est constituée par les droites
aix — loy ^ o.
loy — a, -- o,
qui conduisent, pour Téquation de la multiplication, à la forme
ai - lo o
Remplaçons la seconde colonne par la somme des deux premières.
Cela nous donne
lOO
d'où les équations
ai «t — lo o
I I — aj I — o,
o 10 - aj I
