X -h y — «j — o, loj' — aj = o

q,ui déGnissent précisément la seconde variante (./î^. 'ïibis).

Une simple permutation des colonnes du premier déterminant le transforme en

I — lo o a, I

o - aj I ", — o,

lo — «3 o I

— lOar -r- OLi r- O, -«Sj-T-I — o,

ioj: — a3j = o,

d'où les équations

qui définissent un abaque du troisième type {Jijfr. ?8 ). t2** Un abaque de l'équation

/i -^/î = /s étant constitué par les systèmes de droites dont les équations sont

OD voit que Téquation peut se mettre sous la forme

Multipliant ce déterminant par

nous obtenons, par la règle ci-dessus rappelée,

qui nous donne les systèmes de droites

Nous retombons ainsi sur les abaques hexagonaux. Les trois droites dont les équations sont ici écrites, qui font avec Oxrespec-

tivement les angles -» - et -^f sont, en effet, à des distances de l'origine égales à/1,/2 et/3.

SO. Quadrilatère limite. — On vient de voir comment, lorsqu'on conserve les mêmes axes de coordonnées, l'application du principe de l'homographie permet d'engendrer tous les abaques à droites entrecroisées d'une équation donnée.

On peut, en particulier, se proposer de faire en sorte, par ce moyen, que le quadrilatère limitant la partie utile d'un tel abaque coïncide avec un rectangle qu'on se sera donné d'avance.

Ce quadrilatère ABCD est formé par les droites correspondant aux valeurs limites at et fe^, a^ et b^ des variables considérées comme indépendantes ai et 7.2 (*).

Pour remplacer ce quadrilatère déjà construit par le rectangle A'B'C'D' il suffit d'effectuer géométriquement la transformation homographique de la figure en faisant respectivement correspondre aux points A, B, C, D les points A', B', C, D'. Celte construction peut être réalisée ainsi qu'il suit :

( ' ) Il arrive fréquemment, en pratique, que les valeurs utiles a^ et 63 entre lesquelles reste comprise la variable a^ tombent entre les valeurs limites théoriques définies par les cotes des courbes extrêmes du système passant à Tintérieur du quadrilatère ABCD.

Prenons une droite quelconque MN du premier abaque {Jig- 4^) et cherchons à obtenir géométriquement sa transformée M'N' sur le second.

Fi g. /|6.

On sait que la transformation homographique conserve les rapports enharmoniques; on a donc, en se servant de la notation entre parenthèses pour désigner de tels rapports,

(AMDJ) = (A'M'D'cc).

Par le point D, menons la parallèle DAo à BC et tirons la droite

BM qui coupe DAo au point Mo. Les points A, M, D et J projetés

du point B sur DA© donnent les points Ao, Mq, D, et le point à

rinfini. On a donc

(AMDJ) = (AoMoD«)

et, par suite,

(A'M'D'oo) = (AoMoDoo),

ou

M'A' MoAo

MoD

Donc, r échelle des points M' est semblable à V échelle obtenue en projetant de B V échelle des points M sur DAq.

Un résultat analogue pourrait évidemment être établi pour les trois autres côtés du quadrilatère, ce qui conduit à Ténoncé général que voici :

Pour reporter du premier abaque sur le second V échelle E déterminée par les droites cotées sur Vun des côtés C du quadrilatère limitCy il suffît de mener par l'un des sommets S qui

Io8 CHAPITRE II.

limitent le côté C, une parallèle P au côté opposé, et de projeter du sommet diamétralement opposé à S ^échelle E sur la droite P. L^ échelle E' à construire sur le côté correspondant du rectangle limite du second abaque est semblable à V échelle ainsi obtenue.

En appliquant ce théorème aux quatre côtés du quadrilatère limite, on reporte toutes les droites qu'il contient à l'intérieur du rectangle limite qu'on veut lui substituer.

Mais, en général, la question ne se posera pas ainsi. Il s'agira (le déterminer a priori^ par voie analytique, les coefficients des systèmes de droites de Tabaque à construire, de façon à réaliser la condition requise. On procédera dès lors de la manière suivante :

Soient /|, /w^, n^ et f,, m',, n\ les valeurs prises respectivement par les fonctions y<, çi, <1< pour ai = «i eta<-— 6|. De même pour a2.

Pour faire en sorte que le quadrilatère limite de l'abaque soit formé d'une part par les droites

37 r^ O, X =-- hj

de l'autre par les droites

7 = Ot r = ^"»

il faut disposer des paramètres X, [jl, ..., v", de façon que, pour a, = ai et a, = fei , l'équation (ai ) du n° 49 donne les deux premières, et que, pour 0L2 - - «2 et aj = 6.,» Péquation (aa) donne les deux dernières.

Cela conduit aux équations de condition

ri)

( X/j -f- [JL/Wj -i-V/lî =^0,

/ X/'j -H [jimi — v/ij =-0,

X'/'i - [^'/'ii -- v'/i'i ~ o,

X*/, -I- [i^nii -- v*/ii == o, X'/j -H ix" nii -+- v^/ij -= o,

De ces huit équations homogènes, il faut tirer des valeurs proportionnelles pour les neuf paramètres X, [jl, . . ., v".

Des groupes (i), (2) et (3), on peut tirer respectivement des valeurs telles que