I -+- tang*o 3(i -H tang*<p

ou

A*(i-f- tang*<p) -4-/>( A- tang<p — - J = o.

On voit, en prenant cp, A: et /? respectivement pour «i, «s et «j, qu'elle rentre dans le dernier type écrit ci-dessus lorsque l'on fait

/i= tangç,

l étant un module quelconque.

L'équation est donc représcntable par les trois systèmes cotés que définissent les équations

(<p) artangœ— j^ = o,

(/) - ^^ky-^lk^-o,

(p) x^-^y^ — Ipa: — o.

On retrouve ainsi un abaque auquel nous avions été conduit naguère par une autre voie (*).

Les droites ((p) sont faciles à construire puisque ce sont précisément les droites passant par l'origine et faisant l'angle ©avec Ox, Pratiquement il suffit de faire varier cp de ao" à 5o".

In

De même, les cercles (/?) sont les cercles de rayon —, tangents en O

à Oy. On fera varier/? de 0,4 ù i.

Les droites (A) forment un système du second degré dans lequel la droite cotée (00) est rejetée à l'infini puisque le coefficient de A* est une constante. Donc, ainsi qu'on l'a vu (Rem. finale du n" 4^), ces droites déterminent sur l'une quelconque d'entre elles une échelle régulière.

(') CoLLiGXON, licsistance des matériaux, 3' éd., p. 669. (-) 0.4, p. 28. La PI. IV Ag celte hrochuro est fautive en ce sens que les cotes ip) y devraient ôlre doublées.

tQtlATIONS A TROIS VIHIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ChoisissoDS deux d'entre elles, par exemple celles qui corresponder Jt =; o et i = — -I dont les équations sont

Sur ces deux droites les autres donneront des échelles régulières, ce i permettra de les construire très aisément lorsqu'on aura trace celles correspondent aux valeurs limites de k résultant de celles qui ont admises pour ^ et ^ et qui sont A = o, ■* et i' = o , t.

En limitant l'abaque à sa partie utile, et prenant / = lo'", on obtient la /î^. jg f '). A litre d'exemple, on voit sur celte figure que, pour ç = 3o% f =o,;;,on.* = o.î.

On peut, comme cela a été indique au bas de la p 55 [note (*)] pour les abaques à radiantes, se dispenser de tracer les droites (o) en conservant seulement l'écKelle quelles déterminent <iur te cercle extérieur auquel OD les a limitées sur la fig. 4g <*)-

54. Emploi des coordonnées polaires. — Nous avons jusqu'ici supposé que nous faisions usage de coordonnées cartésiennes rectangulaires, mais il est bien évident que le principe général énoncé au n" 46 sera également applicable avec un système quel-

(■) La partie utile de l'abaque a Été disposée dans k cadre de la lîKiirc, dcTaçon que la droite 9 = ao< soit parallèle au bord inrèrieur de ce cadre. L'axe Ox, dont l'origine est d'ailleurs confondue avec le i>oînt de convergence de» droites (7), ferait donc un angle de 30> avec ce bord inférieur et en dessous de lui.

(') On trouvera un autre exemple d'abaque à cercles cotes dans un Mémoire sur tet mina militaires, du capitaine RIcour, inséré dans le Mémorial de l Officier du GénU (n- %\, ç 3î3i 187Î)

Il8 CHAPITRE II.

conque de coordonnées. On pourra donc, dans certains cas, recourir à d'autres systèmes, à celui notamment des coordonnées polaires lorsque Tune des variables entrera dans l'équation sous forme trigonomélrique.

11 faut bien remarquer que les abaques ainsi obtenus ne seront pas essentiellement distincts de ceux que l'on définirait en coordonnées cartésiennes, attendu qu'une fois construit l'abaque en coordonnées polaires, il n'y a qu'à écrire en coordonnées cartésiennes les équations des lignes cotées qui ont été déterminées pour retrouver, par élimination dexet y^ l'équation en ai, 7.^ et as d'où l'on est parti.

Cet emploi de coordonnée's différentes ne peut donc avoir d'autre objet que de mettre plus aisément en évidence certaines formes simples des lignes cotées, au moyen desquelles on peut constituer l'abaque d'une équation donnée.

Pour en donner immédiatement un exemple, reprenons l'équation du n° 53

A:'-l- kp sinçp coscp — ^cos'o = o.

Si l'on appelle p et u> les coordonnées polaires courantes, il suffit de jeter les yeux sur l'équation pour remarquer qu'en posant

(/?) /?costo = p,

on a

(A) Ar-H-A:psinw — — - — — o,

et ces trois équations définissent précisément en coordonnées polaires les trois systèmes de lignes cotées obtenus au n® 53. On peut préciser ce qui précède de la manière suivante : Soient, conformément à ce qui a été vu au n** 16,

(as) ^t{x, jTy a2) = o,

(«a) FsC^, r)a3) = o

les équations des trois lignes cotées constituant un abaque. Pour

avoir les équations de ces mêmes ligaes en coordonnées polaires, il suffit, dans les précédentes, de remplacer x et y par p costo et 3 sinco, ce qui donne

(«1)1 Gi(p, 10, a,) = 0,

(atj), G,(p, (D, a,) = o,

(aj)i GaCp, w, a,) — o.

On peut, dès lors, indifféremment éliminer x et y entre les

trois premières équations, ou p et w entre les trois dernières, pour

retrouver Téquation

4>(a,. aj, a,) = o.

représentée par Tabaque.

La même observation s'appliquerait à un système quelconque de coordonnées ponctuelles. Pour faire la théorie de tel abaque, tel système de coordonnées sera d'un emploi plus commode el exigera moins de calculs, mais tout autre système de coordonnées pourrait être utilisé.

06. Abaques polaires. — Étant bien entendu, d'après ce (|ui précède, qu'un abaque obtenu à Taide d'un système quelconque de coordonnées ponctuelles pourrait l'être au moyen de tout autre, et qu'il n'y a là qu'une question de plus ou moins d<î commodité, on pourra, comme l'a proposé M. G. Pesci, appeler abaques polaires ceux qui seront définis en prenant

de même qu'on a appelé plus haut abaques cartésiens ceux qui ont été définis en prenant

Soit donc une équation

que l'on représente, en posant

(ai) p — /,a,,

(a,) w = /jaj,

llflAPITRE 11.

ce qui donne

Les lignes colëes (ai) et (aj) sont respectivement des cercles ayant leiir cenlre A l'origine et des droites passant par cette origine.

Supposons que sur une droite D pivotant sans glisser autour de celte origine nous portions l'échelle définie par l'équation (a,) (Ji^- ^'o) et que sur une ligne quelconque, de préférence un

cercle ayant son cenlre à l'origine, nous marquions ses points de rencontre avec les droites («î), munis des cotes correspondantes. Dès lors, lorsque nous amènerons la droite D à passer par le point («a) de la ligne L, celte droile D se confondra avec la droite («a)- Comme, d'autre part, dans le mouvement de pivotement de cette droite, son point (a,) décrit le cercle (^i), on voit (|ue ce point (ix, ) sera venu à la renconlie de la droite («j) et du cercle (a, ), c'est-à-dire au point même par où passe la courbe («t) dont on doit prendre la cote.

De là ce mode d'emploi de l'abaque : La droite Hélant amenée à passer par le point (aj) de la /igné L, on lit fa cote a^ de la courbe sur laquelle tombe le point (a,) de cette droite D.

L'abaque permet évidemment tout aussi bien d'obtenir ot, lors- <|u'on se donne ag et aj, ou «a lorsqu'on se donne ccj et a.,.

Com

Ktrinplu d'un irl •

? d'abaque, proposé par M. G. Pesct,

tQDATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A EN'

Soit à représenter l'équalion [uï se rencontre dans un problêriie de Navigaiion (' ). Si l'on pose

équation qui représente une droite coupant 1 de l'origine et faisant

La ligne I, est ici le cercle ABC. La droite pivotante c CD OP, la graduation des droites issues du point O' de l'i ÎDScrile à leur rencontre avec un cercle DEF de centre 0.

On a figuré en poinlîllé la position de la droite pivotante et 31 = ^ ; l'abaque donne a, = -li'.

Remarque. — Il va sans dire que le même artifice sera

(■) ti. PESCt, Sui metodi per cambiare il riteoamenlo , iluns \t Ilivisia

marittima (mars 1897). La formule ici envisagée est lu formule (7} <Jc ce