EU
Pour trouver l'échelle des points de rencontre du système (/) avec AB, nenons, suivant la construction indiquée au n° të, la parallèle OB' à AC, ;t construisons une échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point i) en 0, puisque la droite O2' est ici la droite(i). Divisons, par exemple. DB' en 10 parties égales. En projetant les points ainsi obtenus à partir de : sur OB, nous avons les points de rencontre de celte droite rcspecli%enent avec les droites (o, i), (0,2) (o, g)du système (/).
t celle d
Mémoire
<') Celte Tigure, aui nolaiions près, reproduit i de M- Massau {Jig. t4i) qui, d'après la déclaration même <tc l'auteur, ne doii être considérée que comme propre à (aire comprendre la construction de l'abaque qui devrait être établi sous de plus grandes dimensions-
Pour achever de déterminer les droites (/), on pourrait prendre réchelle qu'elles déterminent sur AC en projetant à partir de B, comme cela a été indiqué au n** 45, une échelle régulière marquée sur Oar, ayant son point (o) en 0 et son point (i) à la rencontre de Ox et de AC.
L'auteur de Tabaquea préféré, pour plus de précision, prendre Téchelle qu'elles déterminent sur la droite EH qui fait partie du système comme on vient de le voir, pour / = — i. Pour obtenir cette échelle, il suffit de mener par le point E une parallèle EF à la droite AC(/ = oo). L'échelle de EH, projetée à partir de G sur EF, donnera une échelle régulière. Or les points (o) ou E et (i) ou H de cette échelle se projettent en E et F. Divisant donc le seggnent EF en lo parties égales et joignant les points ainsi obtenus au point G par des droites, on obtient sur EH les points (o, i), (o, 2), . . ., (o, 9) du système (/), qu'il suffit dès lors de joindre aux points de même cote de l'échelle déjà construite sur OB.
Système {p). — La forme (/?') de l'équation do ce système montre, en
vertu de la Remarque qui termine le n° 43, que les échelles déterminées
par les droites du système sur l'une quelconque d'entre elles sont toutes
régulières.
Or
pour /? = o, on a la droite ix -t- Zy — i — o ou AC,
» ^=r I, 0 x-r-y — I — o ou EH,
»/>—--!, 9 a: — oou Oy^
» /; = > M y -- o o\jL Ox.
Donc, après avoir pris les points de rencontre des deux premières avec les deux dernières, on n'aura qu'à diviser les segments obtenus sur celles-ci en lo parties égales et à joindre les points correspondants pour avoir les droites (o, i), (o, a), .... (o, 9) du système (/?).
Système {h), — L'équation (/<) montre immédiatement que la même remarque s'applique au système correspondant. Ici
pour A = o, on a la droite ^ — o ou Oa?,
» A — I , » ^ -^ y — I — o ou EH,
» // - — I , » X — j -t- I — o ou EG.
Donc, on divisant en 10 parties égales le segment de E(i) à G(o), on obtient des points des droites (o. 1), (0,2), ...,(0,9). Pour achever de déterminer celles-ci, il suffit de remarquer que la droite (A) coupe Ox au point X =^ h.
On voit sur la Jig, ffi que les droites (/*), tracées en traits interrompus, font avec les droites (/?) des angles très petits. Celte disposition est défectueuse et l'on pourrait chercher à y remédier par l'emploi de l'homographie, mais on verra plus loin (Chap. III, I) qu'il y a avantage à combiner celleci avec un autre genre de transformation. Nous reviendrons donc sur la question en temps voulu (n° 8i).
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ExNTRECROISESlENT. Il3
52. Abaques à cercles entrecroisés, — Puisque, d'après ce qui a élé vu au n" 46, on est libre de choisir, pour définir Fabaquc d'une équation (E) donnée, deux sur trois des équations (ai ), (a2) et (23)1 on pourra, dans certains cas où l'équation (E) ne rentrera pas dans le type des équations représentables par trois systèmes de droites (n" 47), avoir recours à des cercles cotés.
Cherchons Téquation la plus générale représeu table par trois systèmes de cercles cotés. Il faut, pour cela, éliminer x eiy entre les équations de trois tels systèmes, supposés rapportés à des axes rectangulaires, équations qui peuvent s'écrire
(ai)
rt, ( ;r« -^ ^ï ; -^ a:/, -h ^ <ï>, -T- <j/i =-= o,
01,02, ^3 étant des constantes qu'on pourrait, dans le cas général, prendre égales à 1, mais qu'il vaut mieux conserver quelconques pour être libre, en les annulant, de réduire le système de cercles correspondant à un système de droites.
Si l'on élimine x^-^y- entre ces trois équations prises deux à deux, on obtient
ai I «3 I
1/1 «il
1 at a.
ai "1
Si l'on additionne ces équations après les avoir multipliées respectivement une première fois par '^i, cp2, 'fa, et une seconde par fi^fttfiïi on obtient les deux suivantes :
X — «î Çpj
ft ?t «t
fi «î
I l4 CHAPITRE II.
Si, après avoir posé
nous convenons de représenter par Dy, D^, D^ ce que devient ce déterminant lorsqu'on y remplace les //, les ©/ ou les ^j^ipar lésais nous voyons que les équations précédentes peuvent s'écrire
D^x — Df = o,
Dç= o.
Portant les valeurs tirées de là dans l'équation (ai), nous avons
a, ( D) -h Dj) -f- D,^,(/, D/ 4- oi Dç -4- tj^i D^) r= o.
/iD/=/i
?iDç= ?i
a, (fi <^i
«Pi
ûfS ?8 'i'S
/l ?l ûi
o cp,
o Cp3
d'où, en additionnant en colonne,
/, D/ H- fiDç-^ ij^, D^ =
«i/i «i?i «i'Vi
/s ?3 = ax D.
/i ?i 4^1 i«i/i «î?i «î'Vi , U ?3 'i's
L'équation ci-dessus devient donc
o (pi
o (pt
ou
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEIENT. Il5
Telle esl, sous forme symétrique, l'équation la plus générale représentable par trois systèmes de cercles entrecroisés.
Si l'un dés systèmes de cercles se réduit à un système de droites, il sufKt d'égaler à zéro la constante a correspondante, d'où l'utilité de l'introduction de ces constantes.
Dans le cas, notamment, où deux des systèmes de cercles, les deux premiers par exemple, deviennent des systèmes de droites ( ' ), on a, en faisant a^ = «2= o, l'équation
et si le troisième système devient à son tour rectiligne, auquel cas «3= o,
ainsi qu'on l'a déjà vu au n° 47.
53. Exemple : Abaque des murs de soutènement pour des terres profilées suivant leur talus naturel. — On peut faire des hypothèses particulières sur les systèmes de droites et de cercles constituant Tabaque considéré, par exemple, dans le cas de deu\ systèmes de droites et d'un système de cercles, supposer que les cercles sont tangents entre eux en un même point. Prenant ce point comme otigine et la normale commune comme axe des ar, on voit que celte hypothèse entraîne 03=<}/3=o et l'avant-dernière équation du numéro prcccdenl, où l'on peut d'ailleurs faire a) = i, devient
On peut aussi supposer que toutes les droites du système (ori) passent par rorigine, ce qui revient à faire çi = — i, <Vi = o,/| représentant alors le coefficient angulaire de la droite (ai). L'équation précédente devient alors
<^«('-+-/î)— /3(/I?î-+-/t) = o• Comme exemple d'application nous prendrons l'équation
A«H- A/>sincpcoscp — ^cos*cp = o,
(M Sur Tapplication de ce mode de représentation aux équations quadratiques, voir plus loin (Ch. VI, II, C).
Il6 CHAPITRE II.
qui fait connaître le rapport k de la base à la hauteur d'un mur à section rectangulaire soutenant une terre profilée suivant son angle naturel f , le rapport du poids spécifîque de cette terre à celui de la maçonnerie étant égal à />(»).
Remplaçant sin^ et coscp par leurs valeurs en fonction de tango, on met cette équation sous la forme
/.^ ^V tangy p ^ ^
