Abaques généraux à points alignés i

56. Principe des points alignés. — Nous avons déjà exposr au n'' 30 les raisons pour lesquelles il est désirable, chaque fois que la chose est possible, de ne faire intervenir comme éléments cotés, dans la représentation d'une équation, que des points.

(') C'est dans notre Mémoire O.l paru en novembre i884 que le principe de cette méthode a été donné pour la première fois.

Nous y sommes revenu dans la Note 0. 2 avant de Texposer plus en détail dans notre brochure 0.4, Ch. IV.

Nous avons à cet endroit donné à la méthode le nom de méthode des points isopléthes pour rappeler que les systèmes de points qui y interviennent sont corrélatifs des systèmes de droites isopléthes qui figurent sur les abaques construits par la méthode de Lalanne. Or, nous avons déjà dit (n** 16) pourquoi nous nous élions décidé à abandonner le terme à'isopléthe pour nous en tenir à celui de coté. D'autre part, on verra par la suite qu'on peut construire des abaques où n'interviennent que des points cotés, mais où la relation de position établie entre ceux-ci est autre que l'alignement. II nous a donc semblé que la meilleure manière de caractériser la présente méthode consistait à rappeler qu'elle reposait sur l'emploi de points alignés,

11 n'est pas indispensable, lorsqu'on n'a en vue que les applications les plus courantes de la méthode, de l'envisager avec toute la généralité que nous lui donnons ici et qui s'impose évidemment dans un exposé d'ensemble. Le lecteur sortout désireux de s'initier au côté pratique du sujet pourra se reporter immédiatement à la Section II.

Nous ajouterons que la plupart des exemples d'application donnés dans ce Chapitre sont empruntés soit à notre brochure 0.4, soit aux travaux énumérés dans notre article 0.24. Depuis l'achèvement du manuscrit de cet Ouvrage, nous avons eu connaissance d'une intéressante Note de M. Mchmke (Z. S., t. XLIV, p. 5(i ; 1899) où sont signalés d'autres exemples d'application dus à MM. Adicr, Maurer et à M. Mehmke lui-même.

124 CHAPITRE Iff.

Nous avons vu, en outre, comment l'emploi d'un transparent à trois index permettait de réaliser ce desideratum en ce qui con- <;erne les équations représentables par trois systèmes de droites parallèles (n® 26), c'est-à-dire de celles qui sont de la forme

Nous allons maintenant exposer une autre méthode qui permet (l'atteindre le même but pour la catégorie beaucoup plus générale (les équations représentables par trois systèmes de droites quelconques, comprenant, par conséquent, les précédentes à titre de cas particulier, c'est-à-dire de celles qui sont de la forme

f\ ?i '^x Si ?î ^'î /s <p3 ^'s

L'idée de principe qui permet, a priori, de se rendre compte (le la possibilité d'un tel résultat se confond avec celle de la dualilé, fondamentale aujourd'hui dans le domaine de la Géométrie pure.

On sait qu'on peut, d'une infinité de manières, faire correspondre à une figure composée de droites une figure composée de points, telle qu'à trois droites concourantes quelconques de la première figure correspondent trois points en ligne droite, ou trois |)oints alignés, sur la seconde. Toute transformation jouissant d'une telle propriété, dont le type est la transformation par polaires réciproques, est dite dualistiqne.

Supposons donc que nous appliquions une telle transformation à un abaque constitué par trois systèmes de droites quelconques, en conservant, bien entendu, dans le passage d'une figure à l'autre, la cote de chaque élément.

Nous obtiendrons ainsi un nouveau diagramme {fig' Sa) sur lequel, à chacune des variables ai, a2 et ag, correspondra un système de points cotés distribués sur une courbe, dite leur support, (|ui sera, dans la transformation effectuée, la corrélative de l'enveloppe des droites du système correspondant sur le premier abaque.

Ces trois systèmes de points cotés constitueront des échelles curvilignes.

ÊQUATJONS A TROIS VARIABLES. ABAQURS A ALIGNEMENT.

De même que sur le premier abaque, les trois droites cotées au moyen d'un système de valeurs de a,, a2, ol^ satisfaisant à Téquation représentée étaient concourantes, ici les trois points correspondants seront alignés.

Fig. 52.

De là le mode d'emploi de Tabaque : la droite joignant /rs points cotés ai et ol^ sur tes deux premières échelles curvilignes rencontre la troisième échelle au point coté ag.

Pour n'avoir pas à dessiner cette droite, on pourra se servir d'un transparent à un index ou encore d'un fil fin que l'on tendra entre les points (ai) et (a2) (*).

57. Emploi des coordonnées parallèles. — Il s'agit maintenant de réaliser sous une forme pratique la transformation dualistique dont l'effet vient d'être analysé.

(') Ce dernier procédé, outre l'avantage d'une plus grande rapidilc, offre celai, plus précieux encore, de ne pas exiger que la feuille sur laquelle l'abaque est dessiné soit rigoureusement plane, pourvu toutefois qu'elle reste convexe, comme les feuillets, par exemple, d'un livre ouvert. Si, en effet, on tend nn fil sur une telle surface, il se dispose suivant une ligne géodésique, transformée d'une ligne droite du plan, et les points qu'il recouvre sont bien des points ili^nés.

Quant aux variations du papier dont nous avons signalé les conséquences en ce qui concerne les abaques avec transparent à trois index dans la note (')au bas de la p. 69, elles n'ont ici aucun inconvénient lorsqu'on suppose, comme à l'endroit cité, le papier suffisamment homogène pour que les variations dans chaque sens soient uniformes, puisque dans ces conditions des points situés sur une droite quelconque ne cessent, à aucun moment, de se trouver en ligne droite.

Le moyen qui se présente tout naturellement à Tesprit consiste à regarder les coordonnées courantes dans les équations définissant les divers éléments cotés de Tabaque non plus comme des coordonnées ponctuelles, mais comme des coordonnées tangentielles donnant pour le point une équation du premier degré.

Parmi de telles coordonnées, celles dont l'emploi, pour ce genre «l'application, est le plus avantageux sont les coordonnées parallèles Aoni nous allons, en quelques mots, rappeler la définition.

Les coordonnées parallèles (') w et c'. d'une droite sont les distances AM et BN, prises avec leur signe, des points M et N où celte droite coupe deux axes parallèles Aw et Bt^, aux origines A et B respectivement choisies sur ces axes {voir la fig. 60 du n» 66).

Dans ce système de coordonnées, toute équation du premier

<legré

au H- 6p -+- c = o

défmit un point P qui peut être ainsi déterminé : Prenons pour

origine O le milieu de AB, pour axe Ox la droite OB, pour axe

Oy la parallèle à Aw et Bç' menée par O; si l'on pose OB = 8,

les coordonnées du point P rapporté aux axes qu'on vient de

<léfinir sont

Ou peut encore dire que si la parallèle à Aa et Br, menée par P, coupe AB en C, on a