GA
^^^ GB a'
Il est, en outre, bien clair que la condition pour que trois points, donnés par leurs équations, soient en ligne droite, est la même
(') Nous avons étudié en détail re système de coordonnées dans un Mémoire (A". A., 3« série, t. III, p. jio, 45G, 5i6; 1884 ), Mémoire qui se trouve reproduit dans notre brochure : Coordonnées parallèles et axiales (Gauthier-Villars, i885).
En même temps que notre étude paraissait dans les Nouvelles Annales, M. K. Schwering publiait une brochure sur le même sujet sous le titre : Théorie und Anwendung der Liniencoordinaten (Leipzig; i88'|).
Nous sommes revenu à diverses reprises sur ce sujet, notamment dans les N, A, (3* série, t. VI, p. ^93; t. IX, p. 44^ î t. XI, p. 70).
que celle qui exprime que les trois droites obtenues en remplaçant u et V par x et y dans ces équations passent par un même point.
Si a, 6, c sont des fonctions d'un paramètre variable 9, l'équation en u et v du lieu des points correspondants s'obtient en élifflioant 0 entre l'équation de ce point et sa dérivée prise par rapport à Q.
C'est ici le lieu de répéter ce qui a été dit au n® S4 à propos des abaques construits en coordonnées ponctuelles : on peut évidemment faire la théorie d'un abaque à points alignés au moyen d'un système quelconque de coordonnées tangentielles, mais l'emploi des coordonnées parallèles est préférable en ce sens que, dans la plupart des cas, il conduit d'une façon plus directe à l'abaque offrant la meilleure disposition.
On pourrait même, si on le voulait, faire toute la théorie des abaques à points alignés au moyen des coordonnées ponctuelles cartésiennes, ainsi que nous le montrerons plus loin. Mais, d'une pari, la théorie y perdrait en unité, puisque avec la première manière il n'y a simplement qu'à donner, dans les mêmes équations, une signification géométrique différente aux coordonnées courantes; de l'autre, l'emploi des coordonnées tangentielles permet, dans les cas usuels, d'opérer sans tâtonnements ce que nous avons appelé la disjonction des variables (n" 41), quitte à interpréter ensuite les résultats obtenus dans le système des coordonnées cartésiennes pour la plus grande facilité de la construction.
58. Abaques tangentiels généraux, — Il n'a été question dans ce qui précède que de la transformation des abaques à droites entrecroisées en abaques à points alignés. Qu'obtiendrait-ôn en faisant subir la même transformation à tout autre abaque à entrecroisement?
Considérons d'abord l'abaque le plus général constitué par trois systèmes de courbes quelconques (n** W), Chacun de ces systèmes donnera corrélativement sur le nouvel abaque un autre système de courbes, mais alors que sur le premier abaque trois courbes correspondantes, prises chacune dans un des systèmes, devaient se couper en un même point, sur le second, trois courbes correspondantes devront être tangentes à une même droite que (sous
forme de Tindex d'un transparent ou d^un (il tendu) Ton appli- (|uera sur Tabaque.
Au surplus, toute équation entre trois variables étant susceptible «l'une représentation ponctuelle comportant deux sj^stèmes de droites et un système de courbes, savoir celle que donne la méthode cartésienne (n® 16), elle pourra, de même, être représentée tangentiellement au mojen de deux systèmes de points et d'un système de courbes. Il suffira, pour cela, si l/équation donnée est
(E) *(3ti,a„aj) = o,
de poser, en appelant /| et /.^ des modules quelconques,
(a,) i; = /ja,,
d'où
Les deux premières équations définissent des échelles régulières sup|)ortées respectivement par Taxe des u et Taxe des Vj la troisième un système de courbes quelconques. Toute équation à trois variables pourra donc être ainsi représentée, et le mode d'emploi de l'abaque sera le suivant :
Lire la cote t.^ de la courbe touchant la droite qui unit les points cotés respectis^ement a, et a^ sur les deux axes.
La substitution d'un tel abaque à l'abaque ponctuel correspondant ne présenterait quelque avantage que si elle permettait de remplacer les courbes de cet abaque ponctuel par d'autres courbes d'un tracé beaucoup plus simple.
Si, par exemple, l'équation est de la forme
il suffira, après avoir pris deux axes parallèles distants de Ik et ayant leurs origines sur une même perpendiculaire à leur direction commune, de poser
pour avoir
ÉQUATIONS A TROIS TARIABLES. ABAQCES A ALIGNEMENT.
équation d'un cercle (*) de rayon y ayant pour centre le
point
OU, en choisissant des axes cartésiens, comme au n° 57,
S9. Transformation géométrique (Vun abaque à droites entrecroisées en un abaque à points alignés. — Avant d'étu- <lîer la construction directe des abaques à points alignés, faisons voir comment on peut très aisément, si Ton possède un abaque à droites entrecroisées, le transformer en un abaque à points alignés.
Chaque droite PQ {fig* 53) de l'abaque donné peut être définie par deux de ses points. Prenant les coordonnées x Qiy de chacun
Fig. 53.
P JC
de ces points et les reportant, comme coordonnées u et i^, sur les axes parallèles du second abaque, on obtient les deux, droites corrélatives dont le point de rencontre C est le point transformé de la droite PQ.
De préférence, il conviendra évidemment de prendre pour les deux, points précédents les points P et Q, où la droite considérée rencontre les axes O^r et Oy.
Au point P(j: = OP, y == o) correspondra la droite
(•) Voir Coordonnées parallèles et axiales, formule (i^ ), p. 14. M. d'O. 9
l3o CUAPITILR III.
iui point Q (^ :^ •>, y r OQ) correspondra la droite
A\{H=-o, i-=BN=OQ).
La construction se rcsumera donc en ceci : Porter sur Au et Bf les segments AM — OP, lîN = OQ, et tirer les droites AN el BM dont le point de rencontre C est le transformé de la droite PQ(')-
(' ) Ici SI' jijjcfnt deux remarques importantes : i° Pour que (ce qui est pré~
Au et Bc, il faut qui: ces druius l'Q nient un coefricicnl angulaire négatif; or □Il peut toujours futre en «nrtc qu'il en soit ainsi en clinisissanl convenablement \f. sens positif ïur l'un dos axes Ox <iu 0 t'> celui de l'autre élant quelconque^ ï° riCD n'empêche, en passant de IVctielle de Or à celle de Au. et de celle de O^ fi celle de \iv, de changer de module s'il doit eu résulter une meilleure disposition, ces dr-ux rliangemcnts de module étant d'ailleurs indépendants l'on de l'autre {voir à ce propos les (ig. 'A cl 5^ bu).
Voici un exemple (*) d'une telle transformation bien propre à mettre en relief les avantages de la méthode des points alignés.
La Jig. 54 représente un fragment d'une Table graphique pour V arpentage des coupeSy dressée par M. Théry, professeur à l'École forestière.
Pour s'en servir, on prend le point de rencontre de la verticale cotée Œj et de rhorizontale cotée aj. La cote de l'oblique passant par ce point de rencontre fait connaître as, et cette cote est précisément égale à celle du point où l'oblique rencontre l'axe O^.
La transformation qui vient d'être décrite, appliquée à cet abaque, donne celui de la Jig. 54 bis. Les cotes des points (aj) sont d'ailleurs obte-
Fig. 54 bis.
azo-
o.is
B.tO-
-aïo
aos
o.on
nues par la remarque que voici : puisque sur le premier abaque une obliqtic et une horizontale de même cote se coupent sur l'axe Oy^ un point de réchclle curviligne du second abaque et le point de même cote de l'axe Br
sont alignés avec Torigine A de l'axe Aw.
Il suffît de jeter un coup d'œil sur les deux figures ( ^ ) pour que les a van-
(*) On trouvera un autre exemple d'une telle transformation dans un article de M. Quiquet : Sur trois modes de réduction graphique des assurances mixte* aux assurances en cas de décès, paru dans le Ihdietin de i institut des actuaires français (juillet 1897). Voir aussi ir 87.
(*) Encore convient-il de remarquer que les modules des axes de la /ig. 54 ««ont supérieurs à ceux de la Jig. 54 bis. S'ils avaient été les mêmes, la i<rcmiére de ces figures serait devenue à peu près illisible.
l32 CHAPITRE Ilf.
tages de la seconde par rapport à la première sautent aux yeux, en ce qui concerne les desiderata formulés au n** 30.
On peut faire, en outre, les deux remarques suivantes : i"* Sur la Jig, 54 les obliques («3) se distinguent mal des horizontales («s). On a même dû renoncer à les tracer pour les valeurs de aj inférieures à 0,04, tandis que sur \^ fig, 54 his les points («3) sont nettement séparés des points (a^^) et ont pu être marques jusqu'à «3= o.
21° Sur H Jig, 54 l'enveloppe des droites («3) n'apparait pas. Le seul aspect de la figure ne permettrait même pas d'affirmer si cette enveloppe se réduit ou non à un point. Sur la fig, 54 bis, au contraire, ainsi que sur tout abaque à points alignes, la construction même de ces points fait connaître le tracé de la courbe qui leur sert de support. On verra par la suite (n** 87) que cette circonstance est loin d'être négligeable.
60. Construction directe des abaques à points alignés. — Supposons qu^une équation ait été mise sous la forme
/, <Pî ^t = o.
D'après ce qui a été vu au n° 57, nous n'aurons, pour obtenir un abaque à points alignés de cette équation, qu'à prendre les équations qui définiraient pour elle un abaque à droites entrecroisées et à y remplacer les coordonnées courantes cartésiennes x cl y par des coordonnées parallèles u el v.
Nous avons ainsi les équations
(a,) w/i-+- t^<piH-iJ^, r^O,
(«3) W/3-+- ^'Çs-^ ^^3 — o.
Pour construire chacun de ces systèmes de points cotés nous n'avons qu'à nous rapj)eler que, si nous prenons comme axes cartésiens Oo: el Or, la droite joignant les origines A et B des axes parallèles Ku et Bç' et la parallèle équidistante de ces axes, le sens positif sur O^ étant celui de A vers B, et si nous prenons comme unité de longueur la moitié de la longueur AB, le point
a pour coordonnées (n^ 57)
ÉQUATIONS A TROIS IfARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l33
Rien d'ailleurs n'oblige à supposer les axes Oj* et Oy rectangulaires, c'est-à-dire la droite AB perpendiculaire à la direction des axes Au et Bi^; c'est même, en général, le contraire qui aura lieu.
Si P| et Qi, Pj etQa sont les points correspondant respectivementaux valeurs limites at et b^ dq ai, «2 et 62 ^^ ^2^ on tirera lesdroiles P, P2, P| Q2, PaQi, Qi Q2 qui? sur le support du système (aj), détermineront quatre points, dont deux extrêmes et deux intermédiaires. En aucun cas on n'aura à construire de points (as) en dehors de ces points extrêmes.
Ici encore la transformation homographique, qui conserve Talignement des points, pourra être utilisée. Comme au n" 49, on obtiendra ainsi les trois systèmes de points
/ii)i u{X/i -^ jjiçi -^ v^,) -f- v(\'/i -T- jx'cp, -^- v'ij^i) -h X'/i -+• fx'?i-+- v' ^i = o,
les paramètres X, jjl, ..., v" étant quelconques et astreints à la seule condition que leur déterminant
Drrr
X' {JL
soit différent de zéro.
Les équations (ai )|, (a2)i, («3)1 font alors connaître tous les abaques à points alignés correspondant à l'équation proposée. On fixera les valeurs des paramètres X, a, ... , v" en vue d'obtenir la meilleure disposition de l'abaque. Nous reviendrons plus loin (n**62) sur ce point.
Remarque. — Il arrivera souvent que, lorsque deux des sys- ^mes de points cotés, (a,) et (a2) par exemple, auront été construits, le troisième (ol^) s'en déduira immédiatement. Cette circonstance se produira lorsque, pour chaque valeur attribuée à as, on poarra sans calcul, ou du moins par un calcul très simple, déterminer deux couples correspondants de valeurs pour a, et a2. Chacun de ces couples définira une position de l'index que l'on marquera au crayon. La rencontre des deux droites ainsi tracées donn^a le point coté au moyen de la valeur de 7.2 considérée.
l3f\ CHAPITRE III.
Si même le support du système (as) est une droite connue d^avance, une seule position de Tindex, et, par suite, un seul couple de valeurs de ai eta2, suffira pour obtenir le point coté aj.
61. Emploi des coordonnées cartésiennes, — Les coordonnées parallèles nous ont permis de faire dériver corrélativcmenl les abaques à points alignés du même principe que les abaques à droites entrecroisées; elles nous seront, en outre, d'un grand secours, pour définir immédiatement les points cotés correspondant aux divers tjpes d'équations se rencontrant fréquemment dans la pratique (sections II et III). Mais nous devons faire remarquer que la théorie des abaques à points alignés peut se faire très simplement en coordonnées cartésiennes.
Il suffit de remarquer, en effet, que l'équation
?î ti
n'est autre que celle qui exprime l'alignement dés trois points
/et /' étant deux modules quelconques, ou, en coordonnées homogènes.
Tous les abaques qui se déduiront homographiquement de celui-ci seront dès lors donnés par les formules
>-o/i-^ |^0?|H-Vo<^i ^0 /i -^ t^i) ?i -^ Vq ^\
ÊQUAT10?IS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALK.NEMENT. l3r»
le déterminant
Xo {lo ''o I
XI f I '
. K {^: vj I
étant supposé différent de zéro.
On voit que l'abaque correspondant à un système de valeurs de Ao, jAo, . . . , vj sera identique à celui que donnent les formules (a,),, (312)1, (^3)1 du numéro précédent avec un certain système de valeurs de A, jx, . . . , V\ lorsque l'on aura
Aq :^= A — A,
Aq -- A ,
Aq = A -7- A,
En particulier, on retrouvera l'abaque donné par les formules (a,), (aa), (^3) du numéro précédent, en prenant
Vu — v'— V,
Vo -- ''•»
\^l='l^'-^li.
vj V -h V.
Ao = — I,
Vo = 0,
Xq — 0.
rt=i»
62. Transformation Iwmograpliique des abaques à points alignés. — Quadrangle limite. — La transformation homographique conservant l'alignement des points peut être d'un grand secours pour donner à un abaque du genre ici étudié la meilleure disposition.
En particulier, si l'on considère le quadrangle P| Qj P2Q2 formé par les points qui correspondent aux valeurs limites a^ et b^y ^o et 62 des variables a, et a^ prises comme indépendantes, quadrangle qui forme le cadre de la partie utile de l'abaque, on peut le faire coïncider avec un rectangle dont les sommets seront définis, par exemple, par
i ai) Il — o,
4 Of) l' — O,
{ bi) u = h,
Le problème est analytiquement le même que celui qui a été Iraité au n*^ 50, et, par suite, les valeurs à adopter pour X, [jl, . . . , •/ dans les équations (ai)i, («2)1 et (a3)i du n*" 60 sont celles qui
CnAPITRE III.
sont données par les équations (i) à (4) du n° oO, où l'on n'aura <{u'à faire h -- k. On trouvera plus loin (n" 84) un eiemple délaillé d'un tel calcul.
Si l'on se propose de substituer à un abaque déjà construit, dont le quadrangle limite PiQiP^Qa est quelconque, un autre abaque ayant pour quadrangle limite un rectangle P'iQ'iPiQj donné {Jig' 55)? il suffira de recourir à la construction géométrique suivante :
Soit M un point quelconque du premier abaque ayant pour transformé M' sur le second. Tirons les droites P| M et P'^M' qui coupent P2Q2 et P^Q'a en S et en S'.
Ig. DO.
La conservation des rapports anharmoniques dans la transformation homographiquc montre que
Si la parallèle au côté P, Qi menée par le sommet P2 coupe la diagonale P, Q2 a" point r/2 et la droite P« S au point 5, on a
Donc
on
(JP..SQ2) - (y^Visqi).
(ocP'jS'Qii-t.ocPasy,)
P'jS' P. 5
S'Q'j "^ sqt
tQDATlOHS A TROIS VARIABLES. ABAQtES A A^I(;^E]IE^T. li~
De même, si la droite P, ç, est parallèle à l'^Q^,
P; T' P^ TQ ■ /?,"
On voit donc qiie la ponctuelle formée par les points du premier abaque projetés à partir de P,s«r Pi^ï W la ponctuelle formée par les points du second abaque projetés à partir de P; sur P^Qi sont semblables.
De même pour les pooctuelles P, ç, et P', Q', .
Mais la transformation homographicgue peut encore cire utilisée à d'autres points de vue, par exemple, pour remédier au défaut consistant en ce que les intervalles correspondant à des échelons égaux se resserrent trop dans une partie d'échelle, alors qu'an contraire ils se dilatent notahirment dans une autre. Pour définir la transformation homographique qui convient en pareil cas, le capitaine Lafay a eu l'idée de recourir à un procédé, en quelque sorte expérimental, qui mérite d'être signalé (').
Imaginons qu'on ail dessiné sur deux transparents portant chacun un ase, A| ou Aj, deux faisceaux de droites identiques aj'ant leurs centres C) et C» sur ces axes et déterminant sur chaque pa-
Fig. 56.
rallt^le à ces axes des segments égaux entre eux, puis plaçons ces transparents sur l'abaque construit en mettant en coïncidence leurs axes A, ou Aj qui se réduisent alors à un seul A. Eu faisant varier la position, de la droite A sur le transparent, et celle des
I ' I C'Mt au mo^FD de ce procéda que le capitaine Lafuy a obtenu notamment n abaque dei formule* de Freine!, Hnnt il est question plus loin (n* 100, i*).
CHAPITBI
cenires C,clCi sur la droite A, on engendre une infinité de réseaux auxquels on peut supposer l'abaque rapporté, et l'on arrive, par tiUonneinent, à placer les divisions les plus dilatées de l'échelle que l'on veut transformer dans les mailles les plus dilatées de ce réseau, les divisions les plus resserrées dans les mailles les plus resserrées { /(g-. 56). Si donc, par une transformation homographiquc rejetant la droite i. à l'infini, on substitue à ce réseau, forme de deux faisceaux convergents, uu quadrillage régulierformé par deux systèmes de droites à angle droit {./f^. 56 bis), toutes
les mailles devenant identiques, les parties, qui tout à l'heure étaient trop dilatées, se seronl contractées, et réciproquement. Celte idée théorique est ingénieuse, mais il s'agissait de la rendre pratique; voici comment M. Lafay y est parvenu :
Il a considéré l'abaqcie déjà construit % comme une perspective de l'ahaque 31' qu'on veut lui substituer, en prenant les points O, iH Ca comme points principatix de distance. Dans ces conditions, les faisceaux de centres C, et C^ de la perspective devienneol des systèmes de droites parallèles inclinées à 45", tes unes dans un sens, les autres dans l'autre, sur la ligne de terre, ou, ce qui revient au même, sur la ligne A prise comme ligne d'horizon. 11 suffit alors de se donner la ligne de terre A'B' parallèlement à A ou AB, pour pouvoir effectuer la restitution perspective {Jig. S^),
Si, parC, cl Cï, on mène les droites C|V etCaV à 45° sur C,Ca, on a le rabattement V du point de vue sur le Tableau. Par suite, la transformée de toute droite sera parallèle à la droite joignant le point V au point de rencontre de cette droite et de A. En particulier, aux axes Ox et Oy correspondront les axes O'x' et O'y
menés respectivement par les points A' et B' parallèlement aux droites VA et VB.
De même, si la bissectrice 01 de l'angle des axes O^ et Oy coupe AB en I et A'B' en F, la droite O'I' qui correspond à 01 est parallèle à VI.
Si l'on rapporte Tabaque 3^ aux axes Ox et Oj% et l'abaque 51' aux axes O'j?' et Oy , puisque, d'une part, Ox correspond à O'x', et Oj^ à Oy, que, d'autre part, la droite AB correspond à la
Fig. 57.
droite de l'infini sur O' x'y\ on voit que les formules de transformation seront
bx -k- ay — ab
bx -f- ay — ab
en posant 0A=: a, OB = 6.
Pour déterminer les paramètres X et [x, ou plutôt leur rapport, il suffit de remarquer que l'équation de la droite OT, qui correspond, ainsi qu'il vient d'être dit, à 01, ou x = JS est
Or, nous venons de voir que O'j;', Oy et OT sont respecli-
l4o CHAPITRE III.
vemenl parallèles à VA, VB et VI. SI donc nous menons par I les parallèles IL et IM à VB et VA, nous avons
X VL li ^ VM'
En résumé, une fois placés sur Tabaque les points C| et Cj, d'où se déduit immédiatement V, la transformation voulue est définie par les formules ci-dessus, lorsqu'on prend deux axes O'^' et O'y comprenant entre eux un angle égal à AVB et que Ton fait a := OA, b = OB,l=: 6.VL, a -.= e.VM, 6 étant un module dont on dispose en vue de l'échelle qu'on veut adopter.
63. Fractionnement des abaques à points alignés. — Le dessin d'un abaque à points alignés ne comportant que trois échelles curvilignes, on pourra sur une même feuille placer côte à côte plusieurs abaques de cette espèce. De là la possibilité de fractionner un tel abaque, ses diverses fractions étant groupées sur un même tableau. Pour nous placer à un point de vue tout à fait général, supposons l'échelle (a,) fractionnée entre ses limites rti et bt en /ij tronçons, et l'échelle (a2) fractionnée entre ses limites rto et 62 en n^ tronçons. Associant chacun des premiers à chacun des seconds, on voit qu'on aura ainsi à construire /?! AI2 abaques partiels.
Mais, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n® 35, il arrivera souvent en pratique que l'on n'aura pas besoin d'associer toutes les valeurs de ai comprises entre «j et />| à toutes les valeurs de a2 comprises entre «2 et 62* Cela permettra, dans bien des cas, de réduire le nombre des abaques partiels à substituer à l'abaque total qu'on aura fractionné. Si, par exemple, il existe respectivement dans les intervalles de «« à 6| et de a^ à 62, des valeurs C| et C2 telles que les variables a, et «2 soient ensemble supérieures ou inférieures respectivement à C| et à C2, on n'aura besoin que d'associer le tronçon de Oi à C| au tronçon de a^ à C2 et le tronçon de Ci à bi au tronçon de Cu à ^21 ee qui ne fera que deux au lieu de quatre abaques partiels à construire à la place de l'abaque total qui associerait l'intervalle de a\ k bt à 1 intervalle de a2 à 62-
Il arrivera, en outre, que plusieurs des tronçons des échelles fractionnées seront supcrposables, sinon comme graduation, du
ÉQUATIONS À TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l4l
moins comme support, ce qui introduira encore une simplification notable dans le dessin.
64. Systèmes algébriques de points cotés. — Avant d'examiner quelques types particuliers d'équations représentables par la méthode des points alignés, nous dirons quelques mots de la construction de certains systèmes de points cotés qui se renconlrenl fréquemment dans les applications.
Si l'équation d'un système de points cotés (a), linéaire en // et <^, est algébrique et de degré n en a, on dit que le système (a) est algébrique et de degré n. Dans ce cas, le support du système est en général une courbe d'ordre n. Puisque, en effet, à un couple quelconque de valeurs données pour u et v l'équation fait correspondre, en général, n valeurs pour a, c'est que sur une droite donnée quelconque, il se trouve n points du système considéré, ce qui établit la proposition.
Parmi ces systèmes algébriques, les plus intéressants à envisajçer, au point de vue des applications, sont ceux du premier et du deuxième degré.
Un système (a) du premier degré est défini par une équation
telle que
U4-aV..30,
où U et V sont des fonctions linéaires en u et t'.
Le support de ce système est la droite qui joint les points U = o et V= o, et puisque la position du point (a) sur celte droite dépend linéairement du paramètre a, on voit que ces points (a^ forment une échelle linéaire. Ainsi donc tout système de points du premier degré se confond avec une échelle linéaire, et, par suite, d'après ce qui a été vu au n° 7, un tel système peut être aisément construit lorsqu'on a déterminé trois de ses points.
Un système du second degré est défini par une équation telle
que
U-+-aV-hanV=o,
oùU, V et W sont encore des fonctions linéaires en u et i^.
Le support de ce système est une conique F dont l'équation en coordonnées parallèles est
l42 CHAPITRE m.
Mais il sera généralement plus commode de former son équation cartésienne par l'élimination de a entre les formules donnant les coordonnées x eiy du point défini par Téquation ci-dessus.
Nous pourrions reprendre corrélativement ici tout ce qui a été dit à propos des systèmes de droites du deuxième degré (n° 45). Nous aboutirions ainsi au résultat corrélatif que voici :
Les droites qui joignent tous les points du système à Vun quelconque d^ entre eux forment un faisceau linéaire.
Un tel faisceau déterminant sur une droite quelconque une échelle linéaire, on peut dire que les projections de tous les points du système (a) à partir de l'un d^eux sur une droite quelconque forment une échelle linéaire,
11 suffira de prendre celte droite parallèle à celle joignant le centre du faisceau au point coté (ao) pour que cette échelle soit régulière (* ).
De même aussi que dans le cas d^un système de droites, on
aura (//>. 58)
pour a — o, le point U — o ou M, pour a — X, le point W — o ou N
Fig. 58.
et le point de rencontre des langentcs en ces points à la conique F
sera
