Exemples, — i° Si nous prenons

fi(^i) = 0Li (e = i,2,3), nous obtenons ainsi une représentation fort simple de Téquation

«1 aj as

qui se rencontre fréquemment, notamment en Physique dans la théorie des miroirs et lentilles sphériques. C'est aussi Téquation qui lie les modules de trois échelles à supports parallèles (n° 66).

2ir

Si Ton prend w = — i/lg. 76), on a

2C0S - = 2 COS -x =1,

Fig. 76.

Ainsi donc, si Von coupe par une transversale quelconque trois échelles régulières (aj), (aj), (aa) de même module portées sur les côtés d'un angle de 120** et sur sa bissectrice {le point coté o de

chacune de ces échelles se trouvant au sommet de l'angle)^ on a, entre les cotes des trois points alignés, la relation

Avec cette disposition des axes la transversale les coupe en général sous

TT

des angles trop petits. II est préférable de prendre ta = --• Dans ce cas

•2C0S— = acos- = 1^3.

D'ailleurs, quel que soit l'angle a>, la graduation de la bissectrice s'obtient, en projetant celle de l'un des côtés de l'angle parallèlement à l'autre.

A titre de curiosité on peut se rendre compte de la façon dont cette disposition d'abaque peut se déduire de celle que nous avait, au début, donné l'emploi des coordonnées parallèles (n** 66).

Pour plus de simplicité nous prendrons le cas où eu = -^'- La marche

serait la même dans le cas général.

Les formules définissant le premier abaque montrent que l'équation peut se mettre sous la forme

Mulliplions-la par le déterminant

v/j -Va

Cela nous donne

d on les équations

/,/3)H-i'(2--/,v/3)-Vt

qui définissent respectivement les points

Ces points reproduisent la seconde disposition de l'abaque lorsqu'on fait coïncider la bissectrice de l'angle des supports, qui font entre eu\

Tanglc -^f avec O^.

2** Soit encore Téquation

sinai sina2= sinas

qui se rencontre dans la théorie de la polarisation elliptique. Écrivons-la

log sinoti -+■ log sins] == log sinss.

Lorsqu'un angle varie de o" à 90° son logsin varie de — 00 à o. Nous «sommes ici dans le cas d'appliquer la remarque qui termine le n^' 75. Ecrivons donc cette équation

h — /i logsin ai h — Xlogsina2 2/1 — Xlogsinaj

Posant, en appelant /un module quelconque,

h — /•• log sinai

h — k log sinaj

nous aurons sur Ox et Oy deux échelles (si) et (aj) pareilles.

l8o CHAPITRE III.

Pour avoir l'échelle (as) il sufût de remarquer que pour ai = 90®, Téquation donne «3= a». Cela montre que l'échelle (aj) s'obtient en projetant, à partir du point (ai) coté 90", l'échelle (aj) sur la bissectrice de xOy.

Avec les données numériques a: 0^ = 60", / = 6*", A = i, A: = 10, l'abaque obtenu est celui de la Jig, 77, réduction de celui qui a été construit par le capitaine d'Artillerie Lafay en vue de ses recherches sur la polarisation elliptique (*).

77. Echelles non concourantes, — Soient, main tenant, trois ^ échelles (a,), (a2), (as) portées par trois droites non concourantes, c'est-à-dire formant un triangle V^TW {/ig. 78). Voyons

Fig. 78.

quel est le type d'équation représenté par l'alignement de trois points pris respectivement sur chacune de ces échelles. Le théorème des transversales donne

AV.BW.CU

AW.BU.GV

ou

AV BW CV

aW BU ~ eu'

Puisque la position de chaque point sur l'échelle correspondante dépend de sa cote, on peut poser

On voit ainsi que l'équation représentée est

On retombe ainsi sur la forme du n® 72, ce qui devait être.

(') Journal de Physique, 3* série, t. IV, p. 178; 1895.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l8l

puisque les dispositions d^abaque correspondantes sont transformées homographiques Tune de Tautre.

En réduisant les fonctions //(oci) simplement à ûc/, on aurait un abaque de multiplication transformé liomographique du huitième tjpe ci-dessus (n° 74, 2°). Il est très digne de remarque que ce type d'abaque a été proposé jadis par Mobius (*).

Si la fonction /j varie de o à i , le point G se déplace à partir de V jusqu'à l'infini sur le prolongement du côté UV. Un artifice bien simple permet de ramener à distance finie la position limite du point G. Il suffit, en effet, d'écrire l'équation

et de poser

"" âW ^•^*' "" "BV = ^•^*' CU = '^ '^' h étant une constante quelconque inférieure à i.

C'est d'après ce principe qu'a été construit par le capitaine Lafay, tou-

Fig. 79-