C. — Abaques a échelles non parallèles

73. Échelles concourantes, — 11 est bon toutefois de remarquer qu'il peut, dans certains cas, y avoir avantage à recourir à d'autres dispositions, homographiquement équivalentes aux précédentes, mais dont la théorie peut se faire directement par une voie tout élémentaire.

Voyons, par exemple, quel genre d'équation on peut représenter par Talignement de trois points A, B, C, respectivement pris

sur des échelles (a,), («2), (aj) portées par deux axes Ox et Oy et la bissectrice O5 de leur angle (Jifr* 7»^)-

(') Pour le cas de trois cchelics linéaires on trouvera plus loin (Ch. VI, II, B) une théorie détaillée des équations correspondantes.

L'équation de la droite AB rapportée aux axes Ox et Oy est, en appelant /, et /a les modules des échelles (a,) et (ota),

Les coordonnées du point C, en appelant /j le module de Téchelle (2^3), w l'angle des axes, sont

2 cos — et comme ce point se trouve sur la droite AB^ on a

.^ \lxfx Itjt)

Si donc ou prend

il vient

•>. cos —

h = Ui ^3 = ?-^ cos - 9

Telle est la forme de Téqualion représentée. Il suffit de poser

pour retomber sur le type d'équation du n" 66, ce qui devait être, puisque les dispositions d^abaque correspondantes sont transformées homographiques l'une de Fautre.

On peut d'ailleurs ramener d'une infinité de manières à la forme actuelle toute équation de la forme

En effet, après avoir multiplié les deux membres de celle-ci par A' et leur avoir ajouté 2/1, on peut l'écrire

/i-hk^i /j-T-X:cpj 2/1 -h ko^

Donc, en posant

on est ramené à la forme ci-dessus.

Cela permet, lorsque, entre les limites considérées, les fonctions cpi, cpa et (fz varient de o à oo, de substituer à Tabaque de dimensions infinies que donnerait Temploi d'échelles parallèles un abaque de dimensions finies.