III. — Abaques à échelles curvilignes

A. — Abaques a deux échelles rectilignes parallèles

ET UWE échelle CURVILIGNE.

78. Type des équations correspondantes, — Ces équations sont celles de la forme

où ^3, CD3 et dij ne sont pas à la fois linéaires, sans quoi Ton serait ramené au cas précédent.

Il suffit, pour les représenter, de poser

(xs) ^ — Il fil

ce qui donne

Les points définis par cette équation sont distribués sur une certaine courbe dont Téquation en u ti v s'obtiendrait en éliminant as entre l'équation (a3)o et sa dérivée prise par rapport à aj ; mais il est tout aussi facile de former l'équation cartésienne de ce support. En effet, en appelant toujours 0 la demi-distance des origines A et B, on a

(«3) x — ti-j-^ -r^9 y=i f-y*

et l'équation cartésienne du support de (ol^) s'obtient par l'élimination de as entre ces deux dernières équations.

On n'aura d'ailleurs généralement pas besoin de connaître la nature géométrique de ce support curviligne, chaque point (as) étant construit individuellement. On aura souvent avantage à effectuer cette construction suivant le mode signalé dans la Remarque du n° 60 en se servant des échelles (a,) et (a2) préalablement construites.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l83

Il sera toujours bon de faire en sorte que les points (as) se trouvent entre les axes parallèles, ce qui exige que dans Téquation(aj)o les coefficients de w et ç' soient de même signe.

Si cette circonstance ne subsistait pas dans tout Tintervalle considéré on aurait recours à un fractionnement avec changement de signe sur l'un des axes. On en trouvera plus loin un exemple (n«83).

L'élude de la variation de l'angle sous lequel l'index rencontre Téchelle (aj) ne saurait se faire avec la même simplicité que dans le cas où le support de cette échelle élait rectiligne (n** 73).

Mais il arrive souvent dans les applications que l'arc de courbe sur lequel est distribuée l'échelle (as) diffère peu de sa corde. On peut alors appliquer la règle donnée à l'endroit cité comme si le support curviligne se confondait avec cette corde.

79. Premier exemple : Abaque de l'équation du second degré ('). — La présente méthode est de celles dont les applications sont le plus fréquentes dans la pratique. Nous croyons donc utile de nous étendre avec quelque détail sur plusieurs de celles-ci.

Soit, en premier lieu, l'équation du second degré

Pour obtenir son abaque, posons

(/>) u = lxp,

(9) i^ = liq,

ce qui donne pour (z)

^^)o liliZ^-h liZU-h liV = o

0°) en appelant toujours 2Z la distance AB des origines,

iz\ ^ :? Ix — ljZ —lil^z^ ' 07 = 0- — . j y= . j-^'

Les échelles (/>) et (q) étant régulières, il n'y a pas lieu de s'y arrêter. Pour l'échelle (z), remarquons d'abord que, d'après l'expression de ar, celte échelle projetée sur AB parallèlement aux axes Ai^ et Bp donne une

(') C'est précisément à l'occasioa de celte application et de la suivante (équation Irinome du troisième degré) que nous avons, dans notre Mémoire O.l, fait connaître le principe de la méthode des points alignés.

l84 CHAPITRE III.

échelle linéaire ayant son point coté o en B et son point coté oo en A. Il est très facile de construire celte échelle soit comme transformée d'une échelle régulière (n** 7), soit comme dérivée d'un étalon segmentaire, si l'on a pris pour AB la longueur de cet étalon {Remarque finale du n* 7).

Si d'ailleurs /f = /j, cette échelle se confond avec l'étalon segmentaire même.

Pour achever de déterminer les points (z)y il suffit de remarquer que, pour V = o, l'équation (^)o donne

ce qui montre que la droite joignant le point B au point («) coupe l'axe Xu au point de r échelle (p) dont la cote est égale à^ — -J^

Donc, en coupant le faisceau des droites qui unissent le point B aux points (p) par les parallèles aux axes menées par les points de l'échelle linéaire construite sur AB, on obtient l'échelle curviligne {z) (^), dont le support est une hyperbole facile à déterminer.

Transportons, en effet, l'origine des axes cartésiens du milieu O de AB au point B. Les coordonnées du point (z) deviennent

— 9. L ÙZ — /i /• 5*

Elles montrent immédiatement : i** qu'à l'origine B la tangente est l'axe des x, c'est-à-dire AB; 2° que l'axe Att(a: = — S) est asymptote, pour

II suffit d'ailleurs de construire la portion de l'hyperbole correspondant aux valeurs positives de z, et qui est tout entière comprise entre les axes A M et Bt». Cela revient à ne construire l'abaque que pour les racines positives de l'équation (K). Ses racines négatives sont données, en valeur absolue, par les racines positives de la transformée en — z qui se déduit de la précédente par le simple changement de p en — />.

On n'a d'ailleurs besoin le plus souvent, dans les applications, que des racines positives.

En prenant /, = /, ^ 6"", 5, on obtient ainsi la courbe Cj dela^î^. 8o(*).

(') On a déjà indiqué, au n» 65, une construction de cette échelle {fig- 59), dans le cas où /, — l^.

(2) Les relations fondamentales entre les racines z^ et z^ de Téquatioa et ses coefficients p et 7, savoir

montrent que l'abaque constitué par les axes A m et B t^ et la courbe Cj peut servir d'abaque d'addition et de multiplication, la droite joignant les points cotés -z, et Z2 de la courbe Cj coupant l'axe \u au point coté p et l'axe Bv au point coté g. De môme, la droite, joignant le point {z) coté z^ au point (/>) coté —as,, passe par le point {q) cote z].

80. Cas particuliers divers, — Pour les applications où interviennent des équations du second degré, ou dispose de l\ et de /], de façon à donner aux échelles parallèles, entre leurs limites respectives^ des longueurs égales

ou à peu près.

Fig. 80.