XII) (XIII

(ii« 121),

/i(»i,Pi) ?i(ai,Pi) ^'iC»!,?!) /i(aî, Pî) Ts(«î,Pî) 'l'îCaî,?!) /3(«3,Pj) ?8(a», pj) 'l'sCaj, p3)

/i(ai) H-/ï(ai) -H. . .-H /«(an) = o (n*- 37, 70, 134), /i(ai, Pi)-f-/i(a„ PO H-. • .-^/«(«„,.P«) = o (n- 120, 134).

La détermination des caractères différentiels dont il a été question plus haut a été, comme on va voir, effectuée pour les types (I) [auquel se ramène (I 6/5)] et (II), de beaucoup les plus fréquents dans la pratique.

Pour le type (III) l'élimination des fonctions arbitraires reste encore à faire, mais on verra qu'on peut former, au moyen de l'équation donnée, certaines équations fonctionnelles qui doivent être identiquement salisfaites si Tcquation donnée rentre dans le type en question.

132. Équations du type (/). — C'est le comte Paul de Saint- Robert qui a résolu le problème en ce qui concerne les équations du type (I), qu'il considérait au point de vue de leur représentation par des règles à tiroir (n** 133). Voici sa solution (*) :

L'équation étant écrile, en représentant, d'une manière générale, par// la fonction //(a/) de la seule variable a/,

on a, en posant

fx-^h-h^

ÔT-x

Pi^

(') Memorie délia /?. Accademia di TorinOy i' série, t. \\V, p. 53; iS^i

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 4l9

et dérivant TéquatioD considérée successivement par rapport à ai et à cL2j

d'où

Posant maintenant

A =Apu f%=/'tPt,

nous avons

d'où, successivement,

logr = lof/', — log/'j,

diogr /;

(3) -5ïr = 7V'

dMopr

Telle est Téquation de condition cherchée. Il est facile de la former lorsqu'on se donne une équation quelconque

(5) F(a,,a,,aa) = 0, attendu que

Si, pour la fonction r ainsi calculée l'équation (4) est identiquement vérifiée, l'équation (3) fait connaître /i , puis l'équation (a) où l'on remplacey, par la valeur qui vient d'être obtenue, donne/2-

Formant alors la somme /^ -f-Zi, on est assuré qu'en y remplaçant ai ou tta par sa valeur en fonction de ol^ tirée de (5), la seconde variable, 0.2 ou ai, disparaîtra en même temps, et on obtiendra ainsi y3.

Prenops, par exemple, pour équation (5) l'équation

(6) a3= aiai-*- /i-4-aJ /i -h a*

430 CBAPITRB TI.

qui ne semble pas, a priori, rentrer dans le t^pe (1). Ici on a

d'où

par suite,

(8) et

V l-l-aî'

diogr «1

i-haj

logr

La condition étant remplie, si on porte la valeur (8) de . °^ dans l'équation (3), on a

d'où, en intégrant une première fois,

el une seconde,

(lo) /, = Alog(at-r-v/i-t-aî) -^ B,

A et B étant des constantes dMntégration ; puis, portant les valeurs (7) et (9) de r et de /', dans (a), on a

d'où, en intégrant,

(II) yi = A log(a2-t-v/n-a«) 4- C,

C étant une nouvelle constante d'intégration. Ajoutant (lo) et (i i), on a maintenant, puisqu'on sait que l'équation prendra la forme ( i ),

/, = A log(ai-hv/i-T-aj) (a2-+-v/i -+-«?) 4- B 4- G = Alog(a3 4-aiy/i -+- aj4- a, \J v -h aj) -i- B -+- G.

Or Téquation (6) rendue rationnelle s'écrit

al — 2»! atOLi = I -f- aj -f- aj

«î — I = aj -4- aj -H aaïaïaj,

c'est-à-dire, eu égard à (6),

== aJ(i-haî)-H aî(i-i-aî) -H^aïajy/iH- a}vi-+- ^fj = (ai V i-H aî -^ «1 V I 4- a} ) .

Par suite, l'expression de/j devient

/, = A log(a3-+-v/3tî — i) -4- B 4- C, et l'on voit que l'équation (6) peut se mettre sous la forme

log(a|-^v^I-^a})-f-log(a,-^v^l-^a5) = log (a, -^ v^aj — i)-

Le calcul qui vient d'être développé a eu l'avantage de rendre plus claire la solution générale ; mais on pouvait ici, en se fondant sur la théorie des sinus et cosinus hyperboliques sh et ch, opérer plus rapidement la transformation voulue.

Si, en effet, on pose

on a

v/n-aî=chai, /i -+- a| = cbaj,

et l'équation demandée devient

a3= shaishi^s+ chi^ichai = ch(ai4- aj).

Donc

arg. ch as = M| -H ai = arg. sh «i + arg. sh crj.

— = log (a -h /a* — i) ,

arg. sha= / -t= = log(a -i-/a*-t- 1)

Conséquemment l'équation précédente devient

log (aj -4- /a* — i) = log (a, -+- \/af -f- 1) -4-log(a,-f-v/aî -r- i).

4^2 CHIPITRB VI.

153. Équations du type (//). — i® Solution de M. Massau ('). — Supposant la fonction ^^ différente de zéro et divisant par cette fonction, nou^ pouvons, en remplaçant j^ et j-^ par fi et çi, écrire Féquation

/i(ai)/j(«3)-»-/î(«î)?8(a8)-+-i==o.

Prenant les dérivées par rapport à ai et à a^ et posant comme précédemment

àoLz

nous avons

d'où

équation qui montre que ol^ est une fonction de ^^^ • On a donc, en annulant à zéro le jacobien de a» et de ^^? >

à PxA

^* doi, p,f,

OU, tous calculs fails^

si Ton pose

Ox\

= ri,

(') C'est M. Dcmoulin, cliargé de cours à l'Université de Gand, qui a eu l'obligeance de nous communiquer l'analyse ici reproduite, dont le résultat seul est mentionné dans le Mémoire déjù cité de l'auteur sur Vlntégration graphique (Liv. III, Ch. III, n" 178).

Si l'on pose maintenant

Téquation (3) devient

(5) />iU,-h/?,U, = R..

Toute solution de Téquation (i) vérifie l'équation (5) et réciproquement y car, de l'équation (5), on peut remonter aux équations (3) et (2), et, si l'on désigne par V3 une fonction de aj, celle-ci peut s'écrire

Ptfx

d'où

Px V,/, P^ /î

équation de la forme (1).

Dérivons maintenant l'équation (5) successivement par rapport à ai et à a2. Cela nous donne

Dérivant ensuite l'équation (6) par rapport à a2 on a

d%i d%x ^M OoLiOoLi

Les équations (5) à (8) donnent les valeurs de Ui, Uj, U',, U

et notamment

On en déduit

On peut voir que les équations (9), qui sont du cinquième ordre, forment un système équivalent à l'équation (5).

Soit, en eflfct, ol^ une solution commune aux équations (9).

4^4 CHAPITRE YI.

Formons les équations

(6)' nX-h 5UL -f-/?iV = T- >

(7) sA-f-r,{ji-h/>iit= -— ,

(8) -^X-t--p-tjiH-~v-T-r7r= ,

qui définissent \ [x, v, tc.

On a

et, par suite, en vertu de (9),

d\ du.

— =0, :rr- = o,

dfii doL

ce qui prouve que [x est fonction de ai seulement et X de aa seulement. Donc, toute fonction vérifiant les équations (9) est une solution de (5).

2® Solution de M. Lecornu(^). — Partant de la même équation (i), M. Lecornu forme aussi l'équation (2), puis il pose

^'"^ '•og/;=-x.-

/i> /s» 7.3 ï^'^^î^'i^ fonctions respectivement que de ai, a2, ol^. On peut alors écrire l'équation (2) sous la forme

£1 ^ d'où

(«0 log^: =Xi-+-z,^X3'

(12) loff— = 73P1P2-+- y'a^.

(') C. y?., t. cil, p. 8i5; iSSfi.

Posant encore

Pi Pi à7.i07.x px

cette dernière expression étant du troisième ordre par rapport à as, on peut écrire l'équation (12) sous la forme

Prenant les dérivées de celle-ci par rapport à ai et à a2, on a

d , „ , ^ , au dv

d'où

, I du du\ âif dv

dif dv

Posant

dv àv

expression du quatrième ordre par rapport à olj, nous pouvons écrire l'équation précédente

(•7) Xi=«^'

d'où

(•8) Xï/'.^^-' XÎ/'.= ^-

Éliminant successivement yj et y, entre (i4)> ('7) et chacune des équations (18), on a les deux équations du cinquième ordre

âw dw

Ti' " 'p^

4a6 CHAPimB Ti.

On trouve ainsi un nouveau système de deux équations du cinquième ordre, nécessairement équivalent à celui qu^avait donné la méthode de M. Massau.

Le calcul de u^ v^ w^ que définissent les équations (i3) et (iG), peut s^eflfectuer ainsi qu'il suit :

PiPt f)u ou

Pi Pi

1 I doit Or

Ces expressions différentielles étant formées, on vérifie si elles satisfont à (19). S'il en est ainsi, il reste à déterminer /j, /a, /j,

fa- La première équation (19) montre que cv est fonction de a^.

Dès lors (17) donne

L'équation (i 1) donne ensuite

Si donc nous remplaçons y^ par sa valeur en ai et a2, le second membre devient la somme d'une fonction de a, qui est y^ et d'une fonction a^ qui est y .

Dès lors, les deux dernières du groupe (10) donnent

et, par suite,

Enfin l'équation (1), jointe à la première du groupe (10), qui peut s'écrire

fait connaître /a et cpj.

Remarque, — Nous avons supposé, dans le type (II), la fonc-

lion ^z diflerente de zéro. S*il n^en était pas ainsi, Téquation pourrait se mettre sous la forme

/i-h/,/3 = o, ou

et Ton voit qu'elle rentrerait alors dans le type (I), étudié au numéro précédent.

154. Equations du type {III). — Pour les équations de ce type, Télimination des fonctions arbitraires, qui ne semble pouvoir se faire qu'au prix de calculs fort compliqués, n'a pas encore été réalisée. Toutefois, M. E. Duporcq (*) est parvenu à établir certaines équations fonctionnelles qui, si elles sont satisfaites, permettent de mettre l'équation donnée sous la forme (HI) du n^ 151. Il commence par chercher la condition pour que la fonction F(ai, CL2) puisse se mettre sous la forme

Soient aa et 62 deux valeurs arbitraires de a2. Les trois fonctions de ai, F (ai, aj), F(a|, 02) et F(ai, 62) sont de la forme

X<p,(ai)-r-{i'j'i(ai),

A et [i. étant indépendants de a|. Ces trois fonctions de a, sont donc liées par une relation linéaire et homogène. Par suite, a^ et 6| étant deux valeurs arbitraires de ai, on a l'identité

F(a|,a,) F(a,,a,) F(a,,6,) | F(ai,aj) F(a,,a,) F(a,, ^,) 1 -^ o. F(6,,a,) F(èi,a,) F(6,,èj) \

Cette condition est d'ailleurs suffisante, puisqu'on peut alors

écrire

F(a,, a,) = aF(a,, a,) -.- i^F(a,, b^),

u et i' ne dépendant que de a2.

(') C. B. (t. CXXVII, p. 265; i*' août 1898) et U. D. (a- série, t. XXII, p. 287; 1898).

On voit, de plus, que les fonctions ^ i et ài sont toutes deux de

la forme

/F(ai,a,)-4-mF(a|, 6,),

l et m étant des constantes.

Cela posé, cherchons à quelles conditions on peut avoir

/i(ai) «Pi(«») ^i(^i)

F(ai, «1, cLz) =

/«(«î) ?l(3tî) '\'t(OLt)

Ai^z) ?8(«j) 'l'sCaa)

déterminant que nous appellerons A.

Soient ^2, ^2) ^2 trois valeurs arbitraires de a2y et a^, 63, Cj trois valeurs arbitraires de aj. On voit que les quatre fonctions de ai,

F(ai,«î,aj), F(ai,ai, oa), F(«i,^2, ^3), F(a,,c,,Cj)

sont de la forme

^/l(«l)-^-f^?l(al)-+-v^^l(atl),

)v, [JL, V étant indépendants de a|. Il existe donc entre ces quatre fonctions de a, une relation linéaire et homoçène. Par suite, ezi, 6|, C| étant trois valeurs arbitraires de aj, on a Tidentité

F(ai,aî,a3) F(«i,«î,«3) F(ai.^«, ^ï) F(ai,c,,C3)

F(ai,as, «3) F(at,a„rt3) F(a,,6,, 6,) F(a,,C8,C3)

F(c,,a2,a3) F(ci,a„a3) F(ci,6j,^>,) F(c,,0j,C3)

On aura deux autres identités analogues,

(7) et (3),

en opérant de même pour les variables 0L2 et a^i.

On voit, de plus, que les fonctions /i, o,, «^i sont toutes trois de la forme

/, F(ai, «j, aj) -^- //?,F(a,, ^2, ^3) h- /i, F(a,, Cj, C3),

/,, m^, /î| étant des constantes. On peut même, en remplaçant chacun des éléments du déterminant A par la somme des éléments de la même ligne multipliés, dans chaque colonne, par des paramètres convenables, supposer que

Maintenant l'identité (i) montre qu'il existe trois fonctions Uj V el w de 0L2 et as telles que

P(ai, ai, «3) = MF(ai, «j, a^) -♦- p(Fa,, 6,, 63) -1- ivF(ai, c,, C3),

et il va falloir exprimer que ces trois fonctions peuvent être mises simultanément sous les formes

«Vi ^z

S'il en est ainsi, la fonction /2, par exemple, qui figure dans v et dans (v, doit, en vertu de la remarque faite plus haut, être à la fois des deux formes

/j =r,[/j v{(iuaz)-\-nit i^(aj, 6,)], /,-=r,[/iw(a„ <i3)-T-/^i«'(a„ 6,)].

Cette fonction pourra donc être déterminée à une constante près si les quatre fonctions de ol^

(Al) t'(aj, aa), v(^i,bz), w(a„ aj), w(a,, 63)

sont liées entre elles par une relation linéaire et homogène ; or cela résulte des identités (i) et (2).

En effet, en vertu de (i), les fonctions v{^x^ ol^) et iv(a2, aa) sont des fonctions linéaires et homogènes des trois fonctions

F(ai, atî, a3), F(6,, a^, «3), F(ci, a,, a,)

et, en vertu de (2), la fonction de a2, F(t,i, a2, Ç3) est, quels que soient tji et Ç3, une fonction linéaire et homogène des trois fonctions de 0L2

F(a,, ai, az), F(6i, a,, 63), F(c,, a,, Cs).

Les quatre fonctions (A2) peuvent donc s'exprimer en fonction linéaire et homogène des trois précédentes. Il existe bien, par suite, entre elles une relation linéaire et homogène, et la fonction y^ se trouve déterminée au facteur constant r^ près.

De même, au facteur constant r^ près, on mettra f^ sous les

formes

A^n[U t'Cai, aj)-4-/W3 v{btyCLz)\,

D'une manière analogue, on obtiendra finalement trois fonc-

43o CHAPITRE TI.

tionsy ®, <fl, ^l de a^ et trois fonctions /J, çj, AJ de ol^ respectivement proportionnelles aux fonctions /2, cpj, J/j, /s, Çs» ^»> en

sorte que

A=--rtA^ ?î-«i?î» 'î'î-'i'l'J.

A=r^fl^ ?3-53?î, 4'»=^'!'?.

Posons, en outre,

ço^o - U,

VtA = V,

'. rt = h',

Si la première égalité (3) est satisfaite, on a

i/ = XU-X'U'.

Or cela exige que Ton ait identiquement

U(aî, aj), U(ai, aj), U(6„6,),

U'(a,, aj) U'(6,, 6,)

On obtiendra deux identités analogues

(5) Cl (6),

d'une part entre v^ V , V, de l'autre entre w, W, W.

Inversement, si ces conditions sont remplies, on pourra déterminer )v, UL, V, //, |jl', v' de telle sorte que

wr- XU — X'U',

et Ton en déduira lés coefficients Ta, .Çj, ^J, /'s, 53, ^3 au moyen des formules qui ont servi à définir A, [ji, v, )/, a', v', à la condition loulefois davoir

(7) Xtjiv — X'jjl'v'.

On connaîtra alors /a? ^2? '^2y f^^ 'fs» ^37 les trois premiers éléments y^, cp,, i, étant déterminés par (A).

En résumé, on aura à vérifier les égalités numérotées de (1) à (7), et, quand elles seront satisfaites, on saura déterminer les six éléments du déterminant A.

La recherche précédente sera grandement simplifiée si les systèmes de valeurs («i, 6|, C|), {a2, 62, C2), («3, 63? C3) satisfont à Téquation donnée, de sorte que

F(a|, ùi, Ci)~o, F(a,,6,, c,) -^o, F(a3, 63, Cj) — o.

On n'aura, dans ce cas, qu'à chercher à déterminer les coefficients X, [JL, . . ., v" tels que Ton ait identiquement

F(3tn «1, as)-=

X F(a,, 6,, c,), [X F(rt|, a,, Ci), v F(a,, 6,, a,) V F(a„ 6,, c,), {jl' F(a„ «j, c,), v' F(a,, 6,, as) X'F(a,, 63, cj), (JL'F(a„ aj, Cj), v*F(a3, ^3, «3)

et il sera facile de reconnaître si cette détermination est possible.

155. Équations représentables par des abaques à graduations superposées. — Au sujet traité dans les numéros précédents nous rattacherons la recherche des équations les plus générales auxquelles est applicable le principe de la superposition des graduations sous les deux formes spéciales, importantes aux points de vue des applications, que nous avons envisagées au n° 21.

Rappelons que nous avons été conduit par voie d'intuition aux types (i) et (3) donnes dans ce numéro. Il s'agissait de voir s'ils étaient bien les plus généraux jouissant de la propriété voulue. C'est, nous l'avons déjà dit, à M. G. Kœnigs, que nous sommes redevable de la solution de ce double problème. La voici :

Problème I. — Trouver des /onctions <p, <j/, U tel , es que

o(Xta,, X,ai)E-^(X|,X,, U),

U ne dépendant que de «i et a^.

Si nous posons (i) i> = (p(X,ai, X,aj),

12 vérifie le système d'équations

dQ . du {■D A(U)=,, — -X.5j^=o,

dQ, ^ do.

432 CHAPITBB Tl.

On a identiquement

A^— — — — — ^ — c/" — — —\ """ \àaLt àai (^«j àoLi/ \ ^ ôoli *<^i/

les dérivées secondes disparaissant d'elles-mêmes, comme on sait. Or on a

Donc 12 vérifie Téquation

De même, en partant de

B(C(U))-C(B(û)) = o, on trouve

Si l'on tient compte de (4) les équations (5) et (6) deviennent

\ ' ôsLi âoii d%i) doLi * daj doLt "" '

/ d^\] __ d\]\ dV^ d^V dU \ ^doiidoLf doLi/ doii * daL\ doLi ~~ '

qu'on peut écrire

dai doLf dV

da^ dV

dOL^

dOLi

doLi daf

dOLi

THÉORIB 6ÊNÉRALB. DÉTELOPPBMENTS ANALYTIQUES. 433 OU

/ àU \

__ ^logai

ou encore

__ ^logaj

Xj et Xi étant respectivement des fonctions de ai seul et de sj seul, ce qui exige que l'on ait

Xf SiXsQCf = I

et, par suite,

Xioii=/?t, Xjaj= — f

m étant une constante.

On a donc

doif

mai

■ mi

qui

donne

, pli

js symétriquement,

Ail et /is étant des constantes.

L'identité initiale prendra donc la forme

9(X,ai, Xia,)s»|;(X,,X„/(aîiaJ.))- Si l'on fait Xiai = ol\ , Xsa^ = a,, il vient

0U| en attribuant à Xi et X^ des valeurs numériques quelconques,

CHAPITEE Yl.

A(2-) étant une fonction quelconque de x. Par suite,

?(ai,aï) = A(aî.aî.)-

On retombe bien ainsi sur la forme (i) du n* 21. Problème II. — Trouver les fonctions o, ^, U telles que

ç(Xat,X'«a,) = ^/(X,U),

IJ ne dépendant que de oei et ocf Posons encore

(i) ç(Xa„X'«aO = Û.

Ici 12 vérifie les équations

A(0) = «1- h mas- A -r^ = o,

oai àoLi ok

On a identiquement

/ ()<U ' ^___ <^U\ dQ.

\ * €^«1 c^aj * c»a} (^«2 / dat

/ d^\} d^\} d\}\ dû,

ou encore, en tenant compte de (3),

\ ()aj dai daj oaij d^i

qu'on peut écrire

c)ai d%i

maj

Si l'on pose

àA

c^ai dcLf

OOL^

t)aj

da,

dU '

cette équation devient On a donc '

En se reportant à l'expression ci-dessus de V on conclut de là que

ou encore

.ni

«r'rf».+x(^)''«>

doit admettre un facteur intégrant.

Si nous posons

«2= MaJ*,

il vient pour cette expression différentielle

' rfa,-4- x(-) («r ^"-+- '^«r"* w^«i)»

doL^ ^\u/