II. — Étude des équations représentables au moyen

d'un type d'abaque donné.

A. — Caractères différentiels et fowctionhels.

151. Types d^ équations répondant aux principaux types d'abaques. — Un type d'abaque étant donné, il est toujours facile, comme on Fa vu au cours de cet Ouvrage, de former, au moyen de fonctions arbitraires, entre lesquelles le mode d'emploi

4l6 CBAPITRE VI.

de Pabaque établit un certain lien analytique, le type d'équation le plus général correspondant. Nous appellerons ces fonctions arbitraires les composantes du type considéré.

La question se pose dès lors, une équation quelconque étant donnée, de reconnaître si elle appartient à un type donné et déformer dans ce cas ses composantes.

La méthode générale pour résoudre ce problème est la suivante : partant du type général considéré il faut d'abord en éliminer les fonctions arbitraires, ce qui conduit à des équations aux dérivées partielles qui doivent être satisfaites si telle équation particulière appartient à ce type, puis remonter par des intégrations convenablement dirigées aux fonctions composantes.

Le Calcul différentiel fournit théoriquement le moyen d'effectuer l'élimination des fonctions arbitraires. En réalité, les calculs qu'exige cette solution sont généralement inextricables, et l'on n'en vient à bout, dans quelques cas, que grâce à des artifices spéciaux.

Dans la pratique, on se borne presque toujours à un simple examen de l'équation qu'on veut représenter, examen qui met en évidence telle ou telle forme caractéristique se retrouvant constamment dans les applications. Il n'en est pas moins vrai qu'il y a un réel intérêt à posséder une méthode mathématique permettant de procéder de façon sûre à cette reconnaissance. Une lelle méthode a été, comme nous allons le voir, donnée pour les types qui se rencontrent le plus fréquemment en pratique.

Nous tenons auparavant à faire l'observation que voici : pour les équations à deux variables, chaque type d'abaque est applicable à Tune quelconque d'entre elles. La question ne se pose donc pas.

Pour les équations à trois i^ariables il existe des modes de représentation applicables à l'une quelconque d'entre elles (n"^ IG, 46, oo). Le rattachement d'une équation de cette sorle à tel lype plus ou moins général n'a donc pour objet que de permellre de lui appliquer un mode de représenlalion plus simple que les modes généraux.

Pour les équations à plus de trois variables, au contraire, il n'exisic pas de méthode absolument générale. En rattachant une équation de celle sorte à tel ou tel type que l'on sait traduire par

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. ^l'J

un abaque, c'est donc la possibilité même de sa représentation qu'on met en évidence.

Cela dit, nous allons rappeler ici les types généraux d'équations qui se rencontrent le plus fréquemment parmi ceux qui ont été mis en évidence dans le cours de cet Ouvrage, avec l'indication des numéros où sont décrites les méthodes de représentation qui leur sont applicables :

(I) /i(ai)-H /,(«,) =/s(a3) (n«*26, 32, 66, 133),

(I bis) /i(ai)/î(««)=/3(«3) (n- 28, 72),

ce type se ramenant d'ailleurs au précédent si on le met sous la

forme

Iog/i(ai)-+-log/,(a,) = log/3{a3),

(») /i(ai)/3(a3)-H/«(«i)?j(a3)-+-']'3(a3)=o; (no* 21, 78),

/i(ai) ?i(ai) 'l'iCai)

(III) A(OH) ?î(3t,) ^f{OLt)

Les types (I), (I bis)^ (II) ne sont, comme on voit, que des cas particuliers de ce type (III) (*), auquel on ramène encore très aisément (n° 48) le suivant

/jyx \ ^i(ai)^i(ai)/3(a3)H-(^i(ai){^i(ai)?8(a3)

( -^v,(ai)v,(a,)4;3(a3) = o,

les X, [X, V désignant des fonctions linéaires en ai ou en ol^*

(V) /i(«i) -+-/«(«!) =/3(a3)4-/4(aO (n~37, 70, 89, 134), (V bis) /i(«i)/i(a,) =/3(a,)/4(av) (n° 91),

celui-ci se ramenant d'ailleurs au précédent par transformation logarithmique.

(VI) /i(ai)/»(ai)-Hcp,(aO=/3(a3)/v(«v)-H?4(otO (n" 92, 136),

(') Il convient de remarquer dés maintenant que le nombre véritable des fonctions arbitraires entrant dans un type donné, n'est pas nécessairement égal a celui des signes fonctionnels distincts employés à l'écrire. Ainsi, dans le type (II), en divisant par l'une des fonctions de aj, on voit qu'il n'y a que quatre fonctions arbitraires; dans le type (III), en divisant chaque ligne du déterminant par un de ses éléments, on voit qu'il n'y en a que six.