FAR TROIS SYSTEMES LINÉAIRES DE POINTS ALIGNÉS

156. But d'une telle étude. — Si, dans réquatîon générale répondant à un certain type d'abaque, telle que celles qui sont envisagées au n^ 151 , on suppose toutes les fonctions arbitraires composâmes algébriques, on obtient un certain type général d'équation algébrique représentable au moyen du type d'abaque considéré. La question se pose alors, étant donnée une équation quelconque de ce type, de reconnaître comment on pourra former les fonctions composantes correspondantes et de chercher à quelles conditions ces fonctions seront toutes réelles, sans quoi ce mode de mise en abaque serait purement illusoire.

En outre, comme une telle solution, lorsqu'elle est possible, comporte, en général, une infinité de variantes, on peut se proposer de choisir parmi elles celle qui, à un certain point de vue, offre le plus de simplicité.

Pour les équations du type (HI) du n^ 151, où l'on suppose que toutes les fonctions composantes /, cp, ^ sont linéaires, nous avons donné une solution absolument complète de la question (*), que nous allons reproduire ici pour bien préciser l'ordre de recherche algébrique auquel conduit la Nomographie, et dont les lignes précédentes ne peuvent donner qu'une idée assez vague.

On verra, sur cet exemple qui semble pourtant assez simple au premier abord, combien délicate est la discussion que soulève un pareil problème.

Lorsque toutes les fonctions /", cp, di du type en question sont linéaires, les trois systèmes de points cotés correspondants, définis comme on l'a vu au n** 61, constituent chacun une échelle linéaire (n° 7). On est dès lors tout naturellement conduit à se demander si, par remploi de la transformation homograpliique générale définie au n" 61 , on pourra faire en sorte que ces échelles deviennent régulières (n® 3, i*^). C'est, dans ce cas, la variante que nous considérerons comme offrant le plus de simplicité.

De. là deux parties distinctes dans cette théorie : i** Détermination des fonctions composantes ; 2° Transformation des échelles linéaires en échelles régulières.

Nous commencerons par établir quelques formules et faire quelques remarques auxquelles nous aurons à nous référer par la suite.

157. Formules et remarques préliminaires. — Étant donné un ensemble de trois systèmes de points cotés, on peut toujours, par une transformation homographique, faire en sorte que les supports des trois systèmes soient des droites assignées d'avance, en distinguant toutefois les cas où ces supports sont ou non concourants.

Premier cas. — Les supports ne sont pas concourants. — Dans ce cas, une transformation homographique permet de faire coïncider deux des supports avec les axes de coordonnées Ox et Oj^, et le troisième avec la droite de l'infini du plan Oxy (ce qui revient à faire correspondre à chaque valeur de as une direction du plan). Les trois systèmes sont, dès lors, définis par

et l'équation représentée prend la forme

( (mtai-4-/i,)(m,aj-4-/i,)(mja3-f-n3)

( -+-(/>iai -^qi){p\^t -+-yi)(/>8 3ts-4-^s)= o,

qu'on peut écrire

(E'a) M(ai-+-Si)(ai-+-Sj)(a3-+-Sj)-l-P(a,H- ^i)(aj-H ^î)(a8-4- ^3)= o.

Deuxième cas, — Les supports sont concourants. — Dans ce cas, une transformation homographique permet de faire coïncider deux des supports avec Ox el Oy^ et le troisième avec la bissectrice de l'angle de ces axes. Les trois systèmes sont alors définis par

r = mia|-+-ni, y = o, t=p^CLx-^qu

(b) {a™ = o, y = rritOLi-^- ni^ t == PfCit-^ qi^

X = /«laiH- /II,

t = Pia\ -hqu

y = PiCLt-hqf,

t = ntiOif-h fiij

^ = Ps^i -^ qz,

y = rnzOLz-\- n^y

et l'équation représentée prend la forme

niiUi-h Fil mfai-\- rit /Wja|-+-/i| ' qu'on peut encore écrire

(E'6) — ^ + —^1— + -Jl— = N.

rti-4-*i aj-4-*i a^-hSi

Chacune des équations (Ea) et (E6) développée est de la forme

( E ) A a 1 aj as -t- Bi a, aj H- Bj aj a I -H Bj Œi a j -+- Cl 3t| H- Cl «t -+- C| «1 -4- D = o.

Toute la question revient à mettre une équation donnée du type (E) sous Tune des formes (Ea) ou (E6), en ajant pour tous les paramètres des valeurs réelles.

En vue d'alléger la suite de notre exposé, nous allons définir ici certaines fonctions des coefficients et faire quelques remarques relatives à des équations qui s'y rattachent et qui joueront plus loin un rôle important.

Posons

/ Fo=BiCi-hB,C,-+-B5C8— AD,

(I) I E/=AC/-ByBA, F,= Fo— 2B/C/, G/=B/D — CyCi-

Le discriminant du premier membre de l'équation (E) rendu homogène peut s'écrire

A = FÎ-4(BiC,B,C,-hBsC2B3C3

BjCaBiCi-ACCCa— B,B,B,D),

et l'on a

(III) FJ-4E^G/=A (1 = 1,2,3).

Si donc on considère les trois équations

(?/) ?iip) = E/p«-+- F,p -h G/ = o (i = I, 2, 3),

la condition de réalité des racines est, pour chacune d'elles,

On a encore

E/B? -+- F;AB/ -+- G/A« = — EyE^,

(IV) { E/C1.-4- F, ByCA-f- G,b; =- EkGj.

E,D«-+-F/G,D -hG,C? =-GyG;t.

On en déduit que si £^^=0, c^est-à-dire si l'équation (ça) a une racine infinie, l'équation ((p/) a une racine égale à -^>

égale aussi à -^f et de même V équation (yy) une racine égale

A ^ ^ë^''^ aM55e a -^-^ • • ••

Enfin, on voit bien aisément que, parmi les trois systèmes E/, F/, G/(/= I, 2, 3), il ne peut y en avoir un composé de trois éléments nuls sans qu'il en soit de même pour l'un des deux autres. La variable dont l'indice diffère de ceux de ces deux systèmes entre alors dans un binôme qui se met en facteur dans le premier membre de (E). Cette équation cesse alors d^étabiir un lien entre les trois variables, et il n'y a plus lieu, dès lors, d'en rechercher une représentation.

Dans le cas où tous les coefficients de (E) sont différents de zéro, cette proposition se démontre ainsi qu'il suit. On a

ACi— ByBit= o, By Cy-+- B;tC^— B/C/— AD = o, B/D — CyC* = o.

Tirant A et D des équations extrêmes pour porter leurs valeurs dans l'équation du milieu, on obtient

(ByCy- BiCi)(BkCk- B/C,)= o.

L'un de ces deux facteurs est nécessairement nul ; soit le premier. Rapprochant l'équation qui en résulte des deux extrêmes du groupe précédent, on en conclut que

Ba "" C/ ~ Gy - D "" X '

Dès lors, l'équation (E), qui peut s'écrire

a/ay(Aa;t-j- Ba)-4- «/(Bya^H- C/)-+- ay(B/aA-4- Cy)-4- C^a^t-f- D = 9,

devient »

((Xfc-h X)(Aa/ay-+- Bya/-+- B/ay-t- Ck)= o,

ce qui démontre la proposition.

Si un ou plusieurs coefficients de (E) sont nuls, la démonstration ci-dessus se modifie un peu dans la forme, mais subsiste pour le fond. Partout, dans la suite, nous supposons donc E/, F, et G/(i = I , a, 3) non nuls à la fois.

44o CHAPITEB YI.

158. Formation des fonctions composantes dans le cas de trois systèmes non concourants, — Afin d'éviter toute hypothèse particulière, nous représenterons par «, y, k une permutation quelconque des indices i, 2, 3 et nous supposerons les équations (E), (Ea), (E'a) remplacées par celles que Ton obtient avec ce changement de notation des indices.

Sur la forme (E'a), on voit que, pour a,= — 5/, le premier membre de Téquation se réduit à un produit de binômes en ay et a^. Or le résultat de cette substitution, dans le premier membre de (E), est

(Bj— As/)ayaA-+-(Cy— B;t5/)ay-i-(GA— By5/)a;t-+- D — G/S/.

Pour que ce polynôme se décompose comme il a été dit, il faut que

(B/-A5/)(D-C/5/)-(Cy-B;tS/)(C;t-By5/)=0,

OU, si Ton se réfère à la définition donnée au numéro précédent, que

çp/(5/)=0.

On trouverait même que

Si donc p^' et pj sont les deux racines de l'équation (ç/), on voit que l'équation (E'a) peut s'écrire

{Wa) M(a,.4-pi)(a,4-p;.)(aA-+pi)4-P(a/+pn(ay+p;)(aA-r-pI.) = o.

Les racines p' et p" doivent, d'après cela, être réelles; elles doivent aussi être inégales. Si, en effet, on avait p^. = pj, le binôme a/ H- 0/ se mettrait en facteur commun et l'équation se décomposerait. Donc, d'après ce qui a été vu au numéro précédent, pour que V équation (E) soit représentable par trois systèmes linéaires non concourants, il faut que le discriminant 1 soit > o.

On va voir que celle condition nécessaire est également suffisante en prouvant que, lorsqu'elle est remplie, on obtient toujours pour M et P des valeurs réelles.

Il faut d'abord reconnaître le lien qui doit nécessairement exister d'une part entre les racines du groupe (p'), de l'autre entre les racines du groupe (p").

Sur la forme (E^a) de Téquation, on voit que son premier membre devient identiquement nul pour ai= — p'^, aA= — plt- Faisant cette substitution dans le premier membre de (E) et annulant le coefficient du terme en ay, on a

La substitution ay= — p^, a;t= — ^\ donne de même

Ap;p;-B,p^^-B^p}+c,= o.

Éliminant p^ entre ces deux dernières équations on obtient

E/ p J — B/ G,- = Ey p^ -— By Cy ,

OU, en doublant les deux membres, ajoutante chacun Fq et tenant compte des formules (I) (n** 1S7),

2E/p;-+-F,.= 2Eyp;-4-Fy.

On trouverait de même

2E/p;.-hF/=2E;tp'^-hF;t.

Ces deux dernières équations peuvent s'écrire

Pareillement, on obtiendrait

On peut donc dire que les trois racines du groupe (p') d'une part, du groupe (p") de l'autre, donnent une même valeur à la dérivée du polynôme (cp) correspondant.

On peut encore remarquer, en résolvant Téquation (çi), que

2E,p/-hF/=d:v/Â.

Les racines d'un même groupe correspondent donc à un même signe pris pour y/Â.

En résumé, on est libre de choisir parmi les racines de (ç/) la racine p'^ et la racine p' , mais une fois ce choix fait, les racines p'^ et p';t d'une part, py et p^ de l'autre, sont déterminées sans ambiguïté.

Une ou plusieurs des équatious (ç) peuvent avoir une racine infinie (jamais les deux, d'après la remarque finale du n^ 157). Dès lors, E/ étant nul, la quantité aE/pi-f- F, prend la forme indéterminée de o X 00 pour la racine p/ infinie, mais comme elle prend la valeur parfaitement déterminée F| pour la racine p/ finie, le critérium indiqué s'applique au moyen de celte seconde racine.

Abordons maintenant le calcul de M et P. Pour cela, remarquons

que l'identification de {E"a) et de (E) conduit à huit équations de

la forme

MR'h-PR'=K,

où R', R" et K ont les systèmes de valeurs

^' = P'i Pj Pa» ^' = P/ Py pI^ K = D.

Prenons deux de ces équations, distinguées par les indices o et i .

Nous en tirons

R j Kq — R^ ^1 Rq **! — Ri 1^0 Par suite, l'équation (E"a) devient

i (RîKo-R;K,)(a^-^p;)(«y-+-p})(a^-+-p;)

^ ^ I -(R;Ko-R'oK,)(a/-^pn(«y-+-p;)(«*-+-p:) = o.

Nous allons voir comment cette équation peut s'adapter à tous les cas possibles caractérisés par le passage à l'infini d*une ou de plusieurs racines p' et p".

159. Discussion. — Premier cas : Les six racines ç! et p'' sont finies, — Dans ce cas, E/, Ey, E^^ sont différents de zéro. Nous prendrons ici dans le système (S)

Rq = i, RJ = i, Ko=A,

^\ = P*» ï^î = Pi» ^1 = ^fc-

L'équation (51) devient alors

(% ^ 1 (Ap;;~Bo(a/-Hp:.)(«y-Hp})(«A^pi)

^ '^ \ ~(Ap'^-BA.)(a,-Hp;)(ay4-p;)(aA-^p;) = 0.

Deuxième cas : Une racine est infinie. — Soit p^=:oo (*), auquel cas E;t=:o. L'équation (3t|) ci-dessus, divisée par p^, peut s'écrire

Pour p^= 00, elle devient

(51,) A(a/-+-p;.)(ay-i-p})(aA-hp'^)-(Ap;t-B;t)(a/+p;)(«y+p;) = o.

Troisième cas : Deux racines de même groupe sont infinies. — Soient pj = p]^r=oo, auquel cas Ey= Ea= o. Nous prendrons ici dans le système (S)

R'o-i, RJ=f, Ko=A,

^1 = ?'j Pa» '^Î = Py Pa» ^» = ^'• L'équation (5t), divisée par py,p]^, peut alors s'écrire

(^~ pM) ^^''^ ^'^^""'^ ^^^^""'"^ ^'^ -(Ap}p',-CO(ct/+pJ)(g-i-.)(g-M)=o.

Pour py = p]^= 00, elle devient

(51,) A(a/-4-p;)(«y-+-p;.)(aA-^p';t)-(Ap}p'^-C0(«^+pJ) = o.

Quatrième cas : Deux, racines de groupes différents sont infinies. — Soient p'= p^= 00, auquel cas on a encore Ey= Ea== o. Nous prendrons ici

*^o = PÎt» ^0 = P1» ^0 = Ba-,

r; = p;, rî = p;, K, = By.

L'équation (5t), divisée par pypîi, peut alors s'écrire

(ba^ - By) (a,-^p;.) (^ -^i) («AH-p'^)

-(BA-By|)(«,-4-p;)(«y-|.p;)(^-4-l)=0.

(^) Lorsqu'une racine est infinie on peut simplifier le calcul des autres en s*appuyant sur les remarques faites à propos des formules (IV) du n** 157.

Pour py= p^.= oo, elle devient

(30 By(a/-f- p'i){0Lk-h p'^) -4- Bk{oLi-h pj) (ay-4- pj) = o.

On volt qu'ici le terme en oLiOLjoLk a disparu, c'est-à-dire que A = o. C'est là ce qui distingue ce cas du précédent.

Cinquième cas: Les trois racines d^un même groupe sont infinies. — Soient pj= pj= ?A= ^? auquel cas E|= Ey= Ea== o. Nous prendrons ici

R'. = p;p;pi. R;=p?p;pî. k,=d.

L'équation (/3l) divisée par pjpy pî peut alors s'écrire

(a - ^7^) («/+ PÎ )(«>-!- P'/ )(«*+ P'»)

Pour pj = pj = p* = 00, elle devient

(3,) A(a/-t-p;.)(3ty-+-p;)(aA-+-pi)-(Ap;p;.p'^-D) = o.

Sixième cas : Deux racines de Vun des groupes et une de Vautre sont infinies, — Soient p^ z= py = o^ = oc, auquel cas on a encore E/ = Ey= Ea = o. Nous prendrons ici

R'o = p;., Rî = p';, Ko-B,,

L'équation (51) divisée par p'^ pj p\ peut alors s'écrire

(B,flfi o,),,.„(;4.,)fé

Pour p| = py =^ p2 -— 00, elle devient

(ils) B,(ay + p;. )(a/,4- p'J -- C/(a,M- p; ) = o.

On voit qu'ici encore il n'y a pas de terme en a/aya^, c'est-à-dire que A = o. En outre, B/ est différent de zéro, ce qui, avec l'hypothèse faite, entraîne nécessairement By = Ba = o.

THÉORIE GfiNÉRALB. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. 44^

Résumé* — Si l'on compare à TéquatioD (Ea) chacune des équations de (5l| ) à (/3l«), on voit que, pour A > o, la représentation peut être définie par les formules (a) du n° 157, les paramètres m, /t, />, q étant donnés par les tableaux ci-dessous dans lesquels on les suppose rangés dans Tordre

/w/, n/, piy qi

'^Jy "y» Pjy 9Jy fnki nky pkj qk-

Premier cas — E/, Ey, E^ ^ o :

'j Py» 'i 9j-

A^Pi-B*» P:fr(Ap;-B^), B;t~Api, p;(B,.-Ap',.). Deuxième cas. — E|, Ey ^z^ o ; Ea = o ( * ) :

9'jy I, p;,

P'^A, o, B^— Ap;^..

Troisième cas.

— E/ ^ o; Ey, Ea -- o ; A ^ o :

p;» >» pj»

PaA, o, C — Ap)p'^..

Quatrième cas.

— El tZ^ o; Ey, Ea — 0 ; A — 0 :

By,

Pj By, 0, Ba.

Cinquième cas.

— El, Ey, Ea — 0 ; A 7^ 0 :

Pi, 0, 1,

9'jy 0, I,

PaA, 0, D-Ap;.p;pV.

(•) Daûs ce cas K^o ûécessairemeût; car A = 0, £4 = 0 entraînent soit ' B| = o, soit By =0, par suite soit Ey = o, soit E, = o.

446 CHAFITIE VI.

Sixième cas. — E/, Ey\ Ea = o ; A = o ; B/ p^ o ( • ) :

160. Formation des fondions composantes dans le cas de trois systèmes concourants. — Nous avons vu que lorsque les trois svstèmes lioéaires sodI concourants Téquation (E) est susceptible de prendre la forme (E!b) qui peut encore s^écrîre

— tji^k^ Sk) (a/— Si'i — /a*ï,H- Si) (ay+ Sj) = o.

On voit que pour ai = — 5/, ay= — 5y, »*= — 5a, elle se décompose en un produit de binômes. Il en résulte, comme au n^ 158, que Si^ Sj\ Sk sont racines respectivement des équations (^x), (oj)y

Ces trois équations doivent donc encore avoir leurs racines

réelles. Or, si ces racines étaient inégales, Téqualion (E) serait

représentable par trois svstèmes non concourants, ainsi qu'on Ta

vu au paragraphe précédent, et cela serait contraire à Thypothèse

actuelle. Chacune des équations (?) a donc nécessairement ici ses

racines égales el, par suite,

Si pi, Gy, z/( sont ces trois racines, l'équation précédente de\*ien- <lra donc

L'idenlification de celle équation cl de (E) donne les huit équations

il) N = A,

^ 5/ ) ^ ?J ?k — tj pA- - tk Ç.J = Ci,

(4) îîpiPjpk—tiPjpk—t/pkri''fkPiPj= D.

(') On vient devoir que les deux autres B sont nécessairement nuls.

Ayant, dans toutes ces équations, remplacé N par sa valeur (i), l'on tire de (2|),

(5,) //=Ap/-B/.

Faisons maintenant la somme de (2|), (2^) et (3y) respectivement multipliées par p*, p/ et — i . Il vient

(6y) p^{Xpi—Bi) = BkPi—Cj,

De même, la somme de (2^), (3/), (3y) et (4), respectivement multipliées par pipy, — p/, — py et i donne

(7k) pA^kpi- Cy) = Cipi- D.

Cela posé, nous pourrons calculer //, tj, ti^ dans tous les cas possibles.

Remarquons d'abord que nous pouvons, au moyen de ces formules, vérifier que chaque équation (cp) a ses racines égales.

Si, en effet, entre les équations (6a) et (7*) nous éliminons p/py, nous obtenons

(8a) E/p/-h Ey py -h Ba Ga— ad = 0.

Si maintenant, de la somme des équations (8a) et (Sy) nous retranchons Téquation (S/), nous obtenons

2E/p/-hF/=o ou

ce qui démontre que p/ est racine double de (y/) et, par suite, que A = o, comme nous l'avions prévu a priori.

Passons maintenant à l'eicamen des divers cas qui peuvent se présenter.

161. Discussion, — Premier cas: Les trois racines sont finies, — Dans ce cas, E/, Ey, Ea sont différents de zéro. D'après (i) et (5) l'équation (E'è) devient

Ap/— B/ Apy— By ^ ApA— Ba ^ a/H- p; ^J-^PJ O-k-^Pk

/jh \ Ap/— B/ ^ Apy— By AaA-t-BA^

*' a/-+-p/ ^j-^9j ^k-^Pk

44B GHAPITIE Tl.

Deuxième cas : Une des racines est infinie. — Soit ûi^= x, auquel cas Ea = o. En vertu de (6y) et (6/) Téquation (Si), multipliée par pA. peut s'écrire

Bj S/ — Cy Bj^py— C/ A g^ -^- B|-

Pour pA= X, elle devient

5i^£z:J5> ^ 5iP>ziÇ/ ^^a»,- b,)= o

( »i ) — ï^ '- A 2jt = o.

Troisième cas : Deux des racines sont infinies. — Soient

fj--= pA= 3C, auquel cas Ey= Ea= o.

Ko vertu de (7^)9 Téquation (l^s)) multipliée par py, peut donc

s'écrire

C/p/~ D BAgy-^C/ ,

— *^ A py Ijt = o.

Or, pour obtenir (Bj), nous avons supposé p* = ao, et, d'après (G|), pour c,ff=y:, on a Apy^By. L'équation précédente peut donc s'écrire

a/-r-p/ ay^^

Bya^=o.

py Pour pi^- X, elle devient

(I33) -f- B^ay-hByaA^r o.

OLi — Pi

Quatrième cas : Les trois racines sont infinies, — On a donc K/ : = Ey =: Eâ-~ o. L'équation (B3), multipliée par p/, s'écrit

— l-BA:p/ay4- Hyp,aA= O.

Or, pour obtenir (B3), nous avons supposé py^p^i^x, et,

d'après (7a) et (7;), pour py= pA^oo, on a BApi= C/, B/p/=iCA. L'équation précédente peut donc s'écrire

?^Vi pi

Cyay-H GAaA= O.

Pour pi =z 00, elle devient

(BO C/a;-f- Cyay-+- CA-aA-f- D = o.

Ce dernier cas n'a d'ailleurs été envisagé qu'à titre de vérification, car il est de toute évidence que l'hypothèse A = E/ = Ey = Ea = o entraîne nécessairement A = B/ = By = Ba = o.

Résumé. — Si l'on compare à l'équation (Eè) chacune des équations de (IB^) à (IB4), on voit que, pour A = o, la représentation peut être définie par les formules (6) du n° 157, les paramètres m, n, /?, q étant définis par les tableaux ci-dessous, dans lesquels on les suppose rangés dans l'ordre

'W/, 71/, /?;, qi^

"^jy ^h Pjy 9jy nikt n,k, pk-, qk-

Premier cas, — E/, Ey, Ea/z^ o :

I, p/, o, Ap/— B|,

I, pj^ o, Apy— By,

1» P*> —A, — Ba.

Deuxième cas, — E/, Ey ^ o ; Ea = o ( • ) :

I» p/ï o, Bap/— Gy,

'> Pjt — ^*» — ^o

Troisième cas, — E/ ^ o ; Ey = Ea = o ( ^ ) :

1, 9i. C/, D, o, I, Ba, o, o, I, By, o.

(*) Ici, comme od Ta déjà vu d"* 159 {Résumé^ deuxième cas), \ ^ o néce:»sairemeot.

(^) L'équation (O,) montre qu'ici A = B, = o.

M. dO. 29

45o CHAPITIE Tl

Quatrième cas. — E, = Ey = E^ = o :

Cy^

162. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes non concourants. — Si nous considérons Tensemble des trois syslèmcs de points cotés

nous en obtenons la transformation homographique la plus générale en prenant

(') On peut donner des faits algébriques qui viennent d*étre examinés l'interprétation géométrique suivante : Si, dans l'équation (E) du n* 157, on regarde 2,, X, et 2} comme des coordonnées courantes, on voit que cette équation représente une surface du troisième ordre passant par les droites du plan de Tinfini situées dans les plans de coordonnées, et ayant, par suite, pour points doubles les sommets du triangle formé par ces trois droites.

Lorsque A >o, les plans a.-i-o^=o cl a -f- o* = o (i.y = i, 2, 3) se coupent deux à deui suivant des droites réelles de la surface. Lorsque i et j sont différents, la droite correspondante est à distance finie et parallèle à l'axe des coordonnées 2^. Si une des racines devient infinie le plan correspondant se confond avec le plan de l'infini.

Lorsque A = o, 0^.= 0] pour 1=1, 3, 3. Les deux droites parallèles à chaque axe de coordonnées se confondent en une seule, et ces trois droites doubles concourent en un même point qui constitue un quatrième point double de la surface. On saisit ainsi la raison géométrique de l'annulation du discriminant A dans ce cas.

La théorie ci-dessus présentée fournit donc un mode de représentation plane des surfaces du troisième ordre ayant trois points doubles dans le plan de l'infini. Dans ce mode de représentation, à tout point de la surface correspond une droite du plan, à chaque section de la surface faite parallèlement à un des plans de coordonnées, un point coté.

Il suffirait d'appliquer en sens contraire la transformation dualistique qui nous a permis de passer des abaques à droites entrecroisées ( n* 47) aux abaques à points alignés (n*» 56) pour obtenir une représentation point par point de la surface sur le plan.

Si A = 0, la surface se décompose en le plan de l'infini et un hyperboloïdc. La condition A>o signifie que l'hyperboloïdc est à une nappe. Lorsque A = o, cet hyperboloïdc se réduit à un cône.

Vî

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. ^5l

le déterminant de la transformation,

étant différent de zéro.

Pour que les points (a^) forment un système régulier , il faut et il suffit que t soit constant et différent de zéro, c'est-à-dire que dans y^ifi-h [JJ-a^z-h Va^j^i le coefficient du terme en olî soit nul et le terme constant différent de zéro.

Nous allons rechercher maintenant si, par un choix convenable des paramètres X, [x, v rendant H différent de zéro, on peut réaliser la condition précédente pour les trois systèmes linéaires d'une équation (E) ou seulement pour deux et même pour un d'entre eux.

Si l'équation est représentable par trois systèmes non concourants (A > o), on peut prendre comme formules (a) les formules (a) du n°157oii l'on remplace i, 2, 3 pari, y, /r. Les formules (a') sont alors

^ = il^iPj -+- '*i^j)^J j = (X,m/-+- v,/>,)a/

(oL'a)

y =0<%Pk

Itrii-h^iç/y

[l,^y-hV,Aly,

^igk-+- f^l^A

Xj/lz-h V,^/,

îX2^y4-V,/ly,

'kiÇJk-^lJiirik

Xj/i/^-Vj^/,

lizgj-^^snj,

^iÇk-^ Ks'ïA-

t = {\zmi \ t = (l^pk

Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier sont donc, d'après la remarque faite ci-dessus.

Xam^-h vj/>/ = o, avec la condition [izPj -f- vs /ny = o, »

kiPk ■+■ \^zrnk= o,

Xj/i/ H- "f^qt 7^ o,

K8^y-+- Vj/ly ^o, ^8^*-H (^3/1*?^ o.

Remarquons tout d'abord qu'en vertu des conditions ci-dessus on ne saurait admettre une solution dans laquelle plus d'un des paramètres \z^ V-z^ V3 serait nul.

Tout revienl donc, dans chaque cas, à essayer de satisfaire au plus grand nombre possible des équations {7\a)en observant cette condition. Mais, si cette seule condition est remplie par une solution, les trois conditions inscrites en regard des équations {r^a) sont satisfaites. En effet, si, X3 et Vj n'étant pas nuls à la fois, on

avait

X j m/ -T- vj/>/ = 0 et Xj /!/ -h vj Çi = o,

il en résulterait — = — . Par suite, comme on le voit en se re-

Pi 9i ^

portant à la forme (Ea) de Téquation (E) (n° 157), a/ disparaîtrait de cette équation. De même pour les deux autres équations (vja).

Pour que les trois systèmes puissent être rendus réguliers à la fois, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équations (Tja), on peut remarquer qu'il faut que

m, m, nii -hpiptpz = o,

c'est-à-dire, si l'on se reporte à (Ea), que

On verra plus loin que cette condition nécessaire n'est pas suffisante.

Les équations {'fia) ne contenant que les éléments de la troisième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne pas rendre H identiquement nul.

Si, par exemple, X3 est différent de zéro (ce qui est partout le cas dans ce paragraphe), on pourra prendre

X, = 0, fl| = o, V, = I,

Xj = o, Jlj = I, V, = o,

ce qui donne H = — \^,

Dans cette hypothèse, les formules (a' a) deviennent

l^=Pi^i -^Çiy y = o, < = (Xs/n/-+-V3/?/ )a/ H-XaAii -i- V3<7/

<aao) ^ X = mj:tj-\-nj, y = Pjtj ^qj, t = {\L^pj -^u^mj )%j -h ^^qj ^^é^n^

On voit que les supports sont pour (a/) l'axe des jr, pour (a^) l'axe desj^', pour (ay) la droite

Cela posé, nous allons chercher, sous la condition sus-énoncée, à satisfaire à une ou plusieurs des équations (fia) dans chacun des cas que nous avons été amené à considérer (n® 199).

163. Discussion. — Premier cas : E/, Ey, E^p^o. — Les équations {r^a) sont ici

1X3 -I- V3 = o, JX3-HV3— o, (Ba- - Ap'^)X3+ (Api - B^Ofi, - o.

Elles sont généralement incompatibles, mais on pbut toujours satisfaire aux deux premières en prenant (*)

^3=1, fA3=I, V3 = — I.

Les formules (aao) deviennent donc

i ar = a/ -f- p;, 7 = 0, / = pj — p},

(aai) <x=ay-+-p}, ^ =«/-+-?}, ^ = P} - Py»

( x = o, y = {^9"k-^k){0Lk^p'k). ^ = (pl-pA.)(A3tA4-Bx.).

En outre, Téquation (ay) est ici

Si A = o, le système (a^) devient lui-même régulier. Deuxième cas : E/, Ey^z^o; Ea=o. — Les équations {y a) sont ici

X3-hV, =0,

{r,a^) { Fi3-^V3 = o,

(') Il faut bien remarquer que, dans ce cas comme dans tous ceux de ce numéro et du n" 165, nous faisons un choix particulier des paramètres, compatible avec les équations de condition correspondantes, mais que nous pourrions faire ce choix d'une infinité d'autres façons.

4^4 CMAMTÊE ▼!.

On &atî«fait encore aax deux premières en prenant

Le» formules 2a«; deviennent donc

^ ar = ï, — z], jr = o. f = pi — pi,

/ïa,, • x = ï^— î^, ^ = ïy-p;. /=s} —5}.

f T = o. ^ = Ai ai — p^ », / = Aat — B*.

Ici, comme on Ta déjà remarqué an n* 139, A ne peut pas être nul, et« par suite, le troisième srstème n*est jamais régulier.

Troisième cas : E/^^o: Ey, Ea=o: \yéo. — Les équations (y,a I sont ici

r ai=o.

On satisfait à la première et à la dernière en prenant

Les formules (%a^) deviennent donc

\ X = 1}, y = A f lA -^ .-'x ;» / = C| — A z'j pi .

Ouatriime cas : E/^o; Ey, Ea=o; A = o. — Les équations ('r^a) sont ici

On satisfait à toutes trois en prenant

Les formules (ar/o) deviennent

X = :ti-h p';,

7 ay-+-py,

V = By(aA-+-pA.),

/ - Ba.

Cinquième cas : E/, E^, Ea= o ; A ^ o. — Les équations (^a) sont ici

On ne peut ici, sous la condition requise, satisfaire qu*à une seule de ces équations, par exemple à la seconde en prenant

Ft3 = l .

Vs = o.

a7 = ay-f-py, 7=1, /=!,

^ = o, 7 = A(aAH-p^), / = A(a;t-f-pir)4-D — AplpypA..

Sixième cas : E|, Ey, Ea= o; A = o. — Les équations {r^a)

sont ici

IV3 =0, Va = o, fX, = o.

Cette fois on satisfait aux deux premières en posant encore

Les formules (aao) deviennent donc

37 = a,- -f- pî, 7=0, ; = I ,

(aas) { a7 = ay-hp}, 7=1, ^ = 1,

^ = o, 7 = B/(a)i.4- Pa), ^ = B/(aA-H pÂ) -^ G/.

164. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes concourants. — Lorsqu'une équation appartient à cette catégorie (A = o), on peut prendre comme formules (a) les formules (6) dji n° 157, où l'on remplace i, 2, 3 par i, y, k. Les for-

mules (a') du n® 162 deviennent alors

IXl mj -f- V,/?y) ay 4- [X, /ly -h V, ^y ,

X, m/ -h ^2Pi)oLi -f- X,n, -+- v,^/, [Xj mj -f- V j/>y ) ay -+- fi, ny -h V, qj,

[(Xj-+- îiî)mA— V2y?A-]a* X3/W/ -t- vs/?,)a/ -4- X,7i/ [I3 /«y -H v3/>y ) «y -f- fxs ny

[(Xj-f- Ht3)/WA— - V3y?A-]a*

iT =

(Xj-+- iii)nf,— ^tÇk

Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier sont, d'après la remarque du n° 162,

IX3m|4-v3/?/ = o, avec la condition Xj/i/-4- vs^/^o,

[X3 //ly -H V3/>y = O, » » fX3 /ly -+- Vj ^ry ^ o,

(Xs-i-Ks)'^*— ''3/>A = 0, » » (X3-+-îX5)/l* — Va^ryt^O.

On voit que ces conditions ne permettent pas d'avoir V3 = o, en môme temps que X3, [JL3 ou Xj-f-jjLj; mais on peut prendre )v3 = jx3= o, avec V3 ^é o. En outre, le raisonnement déjà fait au n"* 162 montre que si la condition précédente est remplie par un système de valeurs satisfaisant à une des équations (vi6), les conditions inscrites en regard des équations {y]b) le sont aussi ipso fado.

Remarquons encore que pour que les trois systèmes soient réguliers, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équations {f\b) il faut que

fntP2Pi-^^niPipi-{-miPiPi=o,

c'est-à-dire, si l'on se reporte à (E6), que

Comme précédemment, celte condition nécessaire n'est pas suffisante, ainsi qu'on le verra par la suite.

Les équations {r^b) ne contenant que les éléments de la troisième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne pas rendre II identiquement nul.

(aào)

Sî, par exemple, X3 est différent de zéro, on pourra prendre

X, = 0, fx, = 0, V, = I,

^t= O, [Xi= I, V2= o,

ce qui donne H = — )v3. Les formules (a' 6) deviennent alors

X=pj (Xj -^qj, 7 = mj SLj -H /ly,

ar = — {pkOLk-^ qk)y y = nik^k-^ nk,

t = {lizmj-h^ipj)aj-i- [iznj-^^zqj,

t = [(XsH- [ii)nik—^iPk]^k-^C>^i-^ fJi5)/ïA*— vsÇA.

Si X3 = G, mais que V3 soit différent de zéro, on pourra prendre

^î= o, îXj= I, v, = o,

ce qui donne H = V3. Les formules (a' 6) deviennent alors

x = o, y = mjOLj-hnj,

X = rtik^k-^ nk, y = nikOLk-^ nk,

/ = rjjLamyH- ^3Pj)oLj-i- [x^nj -+- y^qjy

Gîla posé, envisageons chacun des cas définis au n^ 161 .

165. Discussion, — Premier cas : E/, Ey, E^p^o. — Les équations (71e) sont ici

1X3-0, fJL3=0, ^3+ H^sH- Av3= o.

On peut, sous les conditions requises, satisfaire dans tous les cas aux deux premières en prenant

^3=0, fA3=0, V3=I.

Puisque X3 est nul et V3 non, il faut avoir recours aux formules

/i58 CHAPITRE Vf.

(^^o) ^"^ deviennent

Ix = a/H-p/, y = o, / = Ap/— B|,

T = o, y = ^j"^Pjy f = A py — By,

On voit que le support de (oLk) est la droite j' = x. Si A= o, le système (a^) devient lui-même régulier. Deuxième cas : Ei, Ey ^ o ; Ea r= o. — Les équations (tj 6) sont

On satisfait aux deux premières en prenant

^3 = O, fXj = Ba , V, = I .

Les formules (*6'o) deviennent donc

ix = xi-hp{j y = o^ f = Bkpi-'Cjj

^ = » î 7 = 1» / = A ajt -4- Ba .

Ici, ainsi qu'on Ta déjà remarqué au n*^ 161, A ne peut pas être nul.

Troisième cas : E/^ o ; Ey, Ea = o. — Les équations (y; b) sont ici

On satisfait aux deux dernières en prenant

^^3=1, Ht3=l, V3=().

Comme X^ est diflcrcnt de zéro, on a recours, celte fois, aux formules (a^o) qui deviennent

X = CiOf/-T- D, j = o, / = a/ -+- p.-, X = — Byix, y — \^ ( = 1.

Quatrième cas : E,-, Ey, Ea=^ o. — Les équations (vjè) sont ici