IV8= O, V3= O, V3= O

On satisfait à toutes trois en prenant

Les formules (aèo) deviennent alors

x=Cjaj, r = iï t = i,

x= — (CA-aAr-f-D), y=iy t = 'i,

166. Résumé général. — Tous les résultats qui précèdent peuvent se résumer dans le tableau suivant où une quantité positive est désignée par 4-, une quantité non nulle quelconque par o. Si l'un de ces signes est souligné; c'est qu'il découle nécessai^ rement des autres hypothèses placées sur la même ligne.

Formules ^. E-. E-. E|. A. Systèmes réguliers. correspondantes.

o o 0 o (a/), (ay) (aai)

o o o o (a/), (ay), (a^) (aa,)

o o o o (a,), (ay) (aa,)

o o o a (a/), {oLk) (««s) ) n° 163

0 o o o (a/), (ay), (aA-) (aa*)

o o o 0 (OLj) («û^i)

o o o o (B/5^o), (a;), (ay) (aa«)

o o o 0 0 (a/), (ay) (aôi)

o o 0 0 o (a,), (ay), (aA) («6,)

o 0 0 o 0 (a/), (ay) (aô,) } n*» 165

o o o o 0 (ay), (aA) («63)

00000 (a/), (ay), (aA) (aô*)

On peut donc énoncer cette proposition :

Pour qu^une équation (E) soit représentable par trois systèmes linéaires de points alignés, il faut et il suffit que son dis-

46o CHAPITRE Yl.

criminant A soit supérieur ou égal à zéro. Ces trois systèmes linéaires peuvent être rendus réguliers lorsque, A étant nul, ou bien les quantités E/, Ey, Ea sont toutes trois différentes de zéro, ou bien deux de ces quantités sont nulles, la troisième et A étant ensemble ou nuls ou non nuls.

Si E|, Ey, Ea étant nulles, A et 1 ne le sont pas, un seul des trois systèmes linéaires peut être rendu régulier.

Dans tous les autres cas on peut rendre réguliers deux de ces systèmes.

Soit, par exemple, Téquation de la mulliplicalion

OLiOLi — aj= o.

Ici,

A = i, Ei = E, = £3=0, A = o.

Donc, d'après la septième ligne du tableau ci-dessus, cette équation sera représentable par trois systèmes linéaires non concourants dont deux réguliers seulement. La ^g, 78 en est un exemple.

Soit maintenant Téquation

OU

0L1OL3 -h «3 ai — ai 0L2 = o.

A = o. Ei=Ei=E3=i, A = o.

Donc, d'après la neuvième ligne du tableau, cette équation sera représentable par trois systèmes réguliers concourants. C'est ce que montre la /ig. 76.