m3 «3 H- /i3 = o, ^y -^ Pi 2^3 4- 73 = o

se trouvent sur la droite

L'enveloppe de ces cercles est la conique

à laquelle ils sont bitangents, ce qui montre que la droite précédente est un axe de cette conique.

168. Formation des fonctions composantes pour une équation quadratique donnée. — On peut se demander si inversement toute équation quadratique en ai, a2, as, telle que

( A,aî-f- A,a|-h A3a|-i-2B,a,a3-»-2B,a3a,H-2B3aia,

( H-aCiai-H'2C,aj-+-2C3a3-h D =0

est susceptible d'être ainsi représentée.

Pour nous en rendre compte, éliminons ai et a2 entre les équations (ai), (a.j) et Q, et cherchons s'il est possible de déterminer pour les coefficients des deux premières des valeurs réelles, telles que l'équation quadratique en x el y résultante représente un cercle.

Si l'on tire ai et a2 des équations (ai) et (a2) ci-dessus pour les porter dans l'équation (Q), on obtient en égalant entre eux les coefficients des termes en x^ et j^^ de l'équation obtenue, et annulant celui du terme en xy, les équations

A| nf -4- Aj /i| -h 2 B3 ni /ij = Al ^ î -4- Al ^ I -4- 2 B3 ç j ^ j , Xiniqi-\- Atntqi-hBiiniqi-^ ntçi) = o.

De la seconde, on tire

Ai/ii -+- BsAij

^» - - ^i ATTi^vB^r

Partant, dans la précédente, on trouve, après réduction,

t (AaAii-t-Bani)»

^'-- AiA,-B| •

Le numérateur de cette fraction étant positif, on voit que la réalité de qt exige

(17) AiA,-B5>o.

466 CHAPITRE Yl.

Comme on peut permuter entre eux les indices affectés aux trois variables, on voit que la condition de réalité peut s'exprimer ainsi :

Si, dans l'équation (Q), les variables a,, aj et a, sont considérées comme les coordonnées courantes d'un point de l'espace, il faut que la section, par l'un des plans de coordonnées, de la quadrique définie par cette équation soit du genre elliptique (*).

Supposant la condition remplie, on a

et, par suite,

(«9) 5^1 = hP

Le choix de /i| et n^ est libre, à cette seule réserve près qu'on ne saurait prendre à la fois /i, r= /i2=: o, parce qu'alors, q^ et ^2 étant nuls aussi, les deux faisceaux de droites (ai) et (a2) seraient tout entiers rejetés à l'infini.

Quanta s^ et 52, qui n'entrent pas dans les équations de condition, on peut les choisir arbitrairement. Nous prendrons

Dès lors, nx et n<i étant quelconques mais non nuls à la fois, q^ elq^ ayant les valeurs (18) et (19), et l'inégalité de condition (1 7) étant satisfaite, on pourra représenter l'équation (Q) au mojen d'un abaque constitué par les systèmes de droites

(a,) riix -hqiy-hOLir=Oy

(22) n^x-h Çiy -+■ a,^ o,

(') Ce résultat comporte l'interprétation géonnélriqiie fort simple que voici, et qui nous a été communiquée par M. Duporcq : si, par exemple, le plan ;5 = o donne une section elliptique, considérons le cylindre ayant cette section pour base et ses génératrices parallèles in Oz. Soit P un plan de section circulaire de ce cylindre. L'abaque n'est autre que la projection cylindrique, parallèlement à 0-,de la quadrique sur le plan P. La conique enveloppe est le contour apparent de la quadrique.

et le système de cercles

(x» -^ j^î ) ( A, n« -T- Aj n| — 2 B3 /i, nO ~ 7. [( B, Al, -f- Bj /Il ) aa -+- Cl ni -f- Cj /Il ] X

- 2[(Bi^j-r- B,(7,)a3-i-Gi^,H- Ciqi]y

-7- AsaJ -+- '^Cjaa-h D — o.

Remarque. — Puisque les cercles (as) ont leurs centres en ligne droite, on doit pouvoir, en prenant celte droite comme axe des y^ faire en sorte que Téqualion de ces cercles ne contienne pas de terme en x. Or il semble ne pas pouvoir en être ainsi dans le cas général, puisque nous venons de voir que /?i et /i2 ne sauraient être nuls à la fois. Mais cette contradiction n'est qu'apparente; il ne faut pas oublier, en effet, que nous avons pris 5| = 52=o. En rétablissant pour l'un de ces coefficients une valeur quelconque, on verrait que l'on peut en disposer de façon à annuler le coefficient du terme en x.