TU

qui donnent respectivement

2X = 2, 2{Jl-+-'JC = 2, X -h {Jl -t- V = 2

ou

2X = o, 2|JL-f-7: = 2, X -h {Jl-f- V = 2,

Nous allons faire voir que les deux dernières hypothèses doivent être écartées. Prenant, en effet, pour les polynômes /i, Çi, ^\,f2^ ?2j ^2 le degré le moindre, c'est-à-dire le premier (car avec le degré zéro les variables ai et 7.^ disparaîtraient de l'équation), cherchons à faire en sorte que les polynômes o^if^ — cpa^J'i et '^1 f'i — ^2/1 soient du degré X = o, c'est-à-dire se réduisent à des constantes. Si nous posons, d'une manière générale,

nous voyons que la condition requise exige que l'on ait

{{) miTj— /?i2ri = o,

(9.) Pirt — ptri =0,

(3) //ii^j— /ijri = o,

(4) /iirj — /w,5, =0,

(5) /?î^î— qtri =0,

(6) q\rt— piSi =0.

De (i) et (2), on tire

p désignant la valeur commune quelconque de ces rapports.

Les équations (4) et ((5) deviennent dès lors, lorsqu'on y remplace ma, /?2) '*2 par leurs valeurs tirées de là et que l'on supprime

le facteur - >

(4') /i,rj — m,5i = (),

(6') qiri— piSi =0.

Les équations (3) et (4') donnent alors

fUi Hi /Il /'l ~ Si ~ Si '

(5)et.(6')

Pi 72 9^1

ri ^2 Si '

d'oii

n* rji Si

et

( ) 'Jh ^ El = 'J

/î, qi Si

Rapprochant (9) de (7) et de (8), on voit qu'on a de même (.0) !!L\ = P} = Cî.

/I2 qt Si

' Les égalités (7) et (8) établissent que les systèmes du premier degré (a^) et (a2) ont même point de convergence, .les égalités (9) et (10) que ce point est à l'infini. Quelles que soient les valeurs attribuées à ai et à aj, les droites cotées correspondantes donneraient ce point à Tinfini.

L'emploi de l'abaque deviendrait illusoire.

Le raisonnement précédent suppose d'ailleurs les divers coefficients diflerents de zéro. Pourrait-on, au moyen de valeurs nulles, satisfaire à l'ensemble des égalités (7), (9) et (10) équivalent à celui des égalités (1) à (6)?

On voit immédiatement que non, car si m^= p^=: r, = o ou /?22 = ^2= ^2 = O7 la variable ai ou la variable 0.2 disparaît de l'équation.

Si /W| ^ G et /?22= o, on doit avoir ^1^=0 et /î2= 0, et les systèmes de droites (ai) et (a2) sont parallèles, hypothèse également inadmissible comme on vient de le voir.

Les deux hypothèses pour lesquelles X = o doivent donc être écartées. Reste celle pour laquelle on a

La condition X = i entraîne les égalités (7), qui, à leur tour, donnent

La condition [ji = o entraîne, d'une part, l'égalité précédente, déjà réalisée, de l'autre,

(i3) /ii/?2— m,^i = o.

Remplaçant, dans (i3), //i,et/?2 par les valeurs proportionnelles mi et Pi tirées de (7), on a

(i4) /ti/?i — /n,^i = o.

464 CHAPITRE Tl.

De (i Si) et (i 4)) on tire

nt

ni

Pi

et, si Ton remplace, dans (i3), /i| et q^ par les valeurs proporti onnelles tirées de là, on a

Les égalités (i4) et (i6) peuvent être substituées à (i2)et(i3). Pelles expriment que les centres de convergence des faisceaux (ai) r*t (a^) sont l'un et l'autre rejetés à l'infini.

Mais, de (i5), on tire

/1i<7j— AljÇi = o.

Il en résulte que

identiquement, et comme, dans l'équation proposée, la variable as n'entre que dans le déterminant qui est multiplié par ce facteur, cette variable disparaîtrait de l'équation.

Pour satisfaire aux égalités (i i), (i4) et (i6), sans que cette circonstance se produise, il faut prendre

mi = nii = pi = p2 — o.

Comme, en outre, les coefficients f\ et 7*2 sont nécessairement difl^érents de zéro, puisque, s'il n'en était pas ainsi, ai et aa disparaîtraient des équations (ai) et (a^), on pourra les prendre égaux à i .

En résumé, réquation représentée sera quadratique lorsque à ai et 7.2 correspondront les systèmes de droites parallèles

(a,) nxX-^q^y-{-s^-^aLx = o,

(aj) n^x^q^y -\-Si-\-OLi = o,

et à as le système de cercles

Remarquons que les centres de ces cercles, dont les coordonnées sont données par les équations