I. — Échelles de fonctions

1. Echelle normale d^une fonction, — Soit /(a) une fonction de la variable a, prise dans un intervalle où elle est uniforme, c'est-à-dire n'a pour chaque valeur de a qu'une seule valeur bien déterminée.

Portons sur un axe Ox^ à partir de l'origine O {Jig'^)i les longueurs

/ étant une longueur arbitrairement choisie, et inscrivons, à côté

Fig. I.

0 CL a, a, a, It

des points qui liinitent ces segments, points qui seront marqués d'un trait, aussi fin que possible, perpendiculaire à l'axe, les valeurs correspondantes ai, a2, as, ... de la variable ( ' ).

(') La première idée d'une éclieilc de ce genre, construite dans un cas particulier, semble due à Gunter, au début du xvii* siècle {voir la note au bas de la page lo).

M. dO. I

L'ensemble des points cotés ainsi obtenus constitue Véchelle de la fonction f {%), La longueur / est dite le module de cette échelle.

Cette échelle sera limitée à deux valeurs particulières a et 6 de la variable a.

Partant de la limite inférieure a, on pourra construire l'échelle sans faire intervenir l'origine O. Il suffira, en effet, pour obtenir les points ai, a2, aj, ... et 6 de porter sur l'axe, à partir du point coté a, choisi arbitrairement, les segments

L est la longueur de l'échelle; a et 6 sont ses limites.

Si, pour la construction de Péchelle, on fait croître la variable a par échelons égaux à un nombre rond (i, 2, 5, 10, . . .) d'unités d'un certain ordre décimal, on obtient une échelle normale de la fonction. C'est le cas de beaucoup le plus fréquent. Dans le choix de l'échelon il faut avoir soin que les points les plus rapprochés sur l'échelle considérée laissent entre eux un intervalle voisin d'une certaine limite fixée par l'expérience et que nous appellerons le minimum d* intervalle graphique de l'échelle. Dans la plupart des cas ce minimum d'intervalle graphique sera fixé au millimètre ( * ). Tl pourra parfois être abaissé audessous. On reviendra plus loin sur ce point (n® 4).

Remarque. — Si la fonction /(a), après avoir crû dans un certain sens, se met, à partir d'une certaine valeur de a, à croître dans l'autre sens, il sera nécessaire de reporter, à partir de cette valeur de a, l'échelle de la fonction sur un second axe parallèle au premier.

(') Disons une fois pour toutes que, si sur certaines figures de cet Ouvrage on rencontre des divisions beaucoup plus petites, cela tient à ce que ces figures ont été obtenues au moyen d'originaui que les nécessités du format ont conduit à réduire par la Piiotographie.

ÉQUATIONS A DEUX TARIABLES. O

2. Analyse de la graduation, — On réalisera, en général, par tâtonnements la condition relative au minimum d'intervalle. Il est facile néanmoins d'indiquer une marche rationnelle pour que la graduation obtenue satisfasse à cette condition.

Nous supposons a <i b. Admettons, en outre, pour fixer les idées, que de a à 6, les accroissements de la fonction, correspondant à des accroissements égaux de la variable, aillent constamment en diminuant en valeur absolue. C'est, par exemple, le cas pour la fonction v^, de o à oo.

S'ils allaient constamment en augmentant en valeur absolue, comme pour la fonction a<, de o à oo, il faudrait, dans la marche qui va être indiquée, partir de b au lieu de partir de a.

Si, enfin, ils allaient alternativement en diminuant et en augmentant, on fractionnerait l'intervalle total en intervalles partiels pour lesquels le sens de leur variation resterait le même.

Plaçons-nous donc dans la première hypothèse, et, prenant, par exemple, le millimètre comme unité de longueur, posons (*)

la longueur L étant environ celle que nous voulons donner à l'échelle. De là nous tirons le module / correspondant, puis nous arrondissons la valeur trouvée, de façon à avoir pour ce module une valeur commode, ce qui conduit à une valeur de L voisine de celle que nous avions prise d'abord. Soit, pour fixer les idées, la fonction /a à représenter de a = i à a = loo. Adoptons pour notre échelle une longueur voisine de 9.00™'". Pour cela posons

/(/loo — /i) = 200""",

d'où

Nous prendrons évidemment ici / = 25"™, d'où résultera pour L la valeur

Lmm

La valeur de /étant ainsi déterminée, si nous désignons, en outre, par m le minimum d'intervalle graphique, nous poserons

De là, par les procédés de l'Algèbre, soit directement, soit par approximations successives, suivant la nature de la fonction /(a), nous tirerons

la valeur de i. Cette valeur tombera entre 7 et

io«-»-i io«

(') La notation | X | indique la valeur absolue de X. On prendra donc la diiïércnce/(/i) —/(a — e) ou /(a — e) —/(a) suivant que de a ~£ à a la fonction est croissante ou décroissante.

Considérant les trois intervalles définis par

f — rT^> — ZTT' — ::»

io«-^» 10»-»-* lo**-^! lo'*

nous verrons dans lequel de ces intervalles sera comprise la valeur de i. Nous commencerons dès lors à faire croître a par échelons successifs égaux à la limite supérieure de cet intervalle; si donc i tombe dans le premier

intervalle nous commencerons par faire croître a, à partir de a, de — j^^

en • Si I tombe dans le deuxième intervalle, nous ferons croître a de

en r» Si i tombe dans le troisième intervalle, nous ferons

lo'»-^* lo'»^-!

croître a de — - en — -•

De cette façon, nous sommes assurés que, jusqu'en un point qui sera déterminé plus loin, les premiers intervalles de l'échelle seront supérieurs à m.

Revenons à notre exemple de la fonction /ôc. Ici, puisque / = 25, nous avons, en prenant m = i"",

25(v/T— v^i— 0 = I, d'où

i — i=y^\ et 4=0,0784.

Comme on a

nous commencerons à faire croître a de o, i en o, i.

Si nous représentons par Oi la valeur de l'échelon adopté, nous pourrons continuer à nous servir de cet échelon jusqu'à la valeur ai de a telle

que

Pour la régularité) nous ferons coïncider le changement d'échelon avec une valeur ronde de a. Il nous suffira donc de prendre la valeur ronde immédiatement inférieure à la valeur ai définie par la double inégalité cidessus.

Si la valeur ai est un peu inférieure à une valeur ronde dont elle est très voisine, on pourra tout aussi bien effectuer le changement d'échelon à cette valeur ronde parce qu'en somme la détermination du minimum d'intervalle graphique n'a rien d'absolu et qu'on peut, sans inconvénient, descendre légèrement au-dessous (*).

(') C'est pour cette raison qu'au n<* 1 nous avons dit que rintervalle entre les points les plus rapprochés devait rester voisin de ce minimum cl non lui rester supérieur, d'une façon absolue.

Si nous revenons encore à notre exemple de /a avec / = 25""", nous voyons que l'échelon de o, î, que nous avons adopté à partir de la valeur i, ne devrait être théoriquement conservé que jusqu'à la valeur ai telle que

•25 i/âl— /ai — o,i) > I > 25 (/a|-4-o,i — /a, ),

ce qui donne ai = i,6, car on a

25(/r76 — \/i,5) = i,oo5, '>'5(/îT7 — /^6) = 0,972.

Mais ici on conservera évidemment l'échelon de o, i jusqu'à a = 2, pour prendre à partir de cette valeur l'échelon de 0,2. On voit que Técartement entre les points 1,9 et 2 sera égal à

25(/2 — y/ïTg) ou o'^,895,

dimension très admissible.

En résumé, considérant la suite

2 5 10 20 5o îoo

lo'»-^-» 10»-^-* lo^-^-i lo»-»-* io«-^* io«-»-*

appelons Oi l'échelon initial déterminé ci-dessus, qui est une des trois premières fractions écrites, et représentons par