VI
ce que devient la suite précédente lorsqu'on la fait commencer à ce terme.
Nous nous servirons, à partir de a, de l'échelon Oi jusqu'à la valeur ronde ai pour laquelle le produit
^l/(«i)-/(«i-ei)i
est le plus voisin de m, ce que nous exprimerons par la notation
^l/(«i)-/(«i-ei)|= mille.
Nous emploierons ensuite l'échelon Os jusqu'à la valeur a^pour laquelle, avec la notation précédente, on aura
^l/(«î)-/(«t~Ô,)|=mdie,
et ainsi de suite.
Sous une forme encore plus condensée, nous pourrons énoncer la règle à laquelle nous avons abouti sous la forme suivante :
Données :
Fonction /(a); Limites a et 6 ;
Longueur approchée de Téchelle Lo; Minimum de l'intervalle graphique m.
Opérations :
\^ Donner à / la valeur arrondie satisfaisant à Téquation
l\f{b)-f{a)\ = U±t^ 7.^ Déterminer ô| en prenant celle des trois quantités
•2 5 lO
10'*-^ > lo'*-^* 10'*-^^ qui est immédiatement supérieure à la valeur i défînie par
l\f{a)^aa-i)\r=.m±i.
Soit
Oi, 6j, 6s, 64, O5, ...
la portion de la suite
2 5 10 îto 5o
qui commence à Ô}.
3" Déterminer «i, aj, as, ... par les équations
Des lors, la graduation procédera par échelons Oi de a à ai, par échelons Ot de ai à a^^ par échelons Ô3 de a^ à as, ..., et ainsi de suite jusqu'à 6. Rien d'ailleurs n'empêche, si les nombres a/^i et a/ semblent trop rapprochés, de sauter 0| et de passer immédiatement à 0/-f.i.
Remarque, — En raison de l'égalité des échelons successifs dans chaque section de la graduation, il est inutile d'inscrire les cotes de tous les points constituant cette graduation. Il suffira d'inscrire ces cotes de distance en distance, de telle façon qu'il n'y ait point d'hésitation à déterminer mentalement les cotes des points intermédiaires. C'est ainsi que, sur un double-décimètre,
la chifTraison en centimètres suffit, la lecture étant d'ailleurs rendue plus facile par rallongement des traits correspondant aux demi-centimètres. Un artifice analogue pourra toujours être mis en œuvre avec toute autre graduation.
3. Construction géométrique d^une échelle, — Pour construire l'échelle de la fonction /(a), on peut avoir recours à la courbe C dont l'équation est
Il suffit de prendre sur la courbe le point dont l'ordonnée est a pour que l'extrémité de son abscisse donne sur Ox le point coté a de l'échelle demandée.
Si la courbe C peut être obtenue point par point au moyen d'une construction géométrique simple, son tracé dispense de tout calcul.
Supposons, par exemple, que la fonction dont on désire
l'échelle soit y/a^ — a^, a étant une constante; dans ce cas, le module / étant égal à i , la courbe C, définie par l'équation
sera un cercle de rayon a ayant son centre à l'origine ; son tracé est immédiat.
Sans que la construction soit toujours d'une aussi grande simplicité, on conçoit, par cet exemple, le parti que l'on pourra, le cas échéant, retirer de l'emploi d'une construction géométrique.
Le plus souvent, on procédera de la façon suivante : ayant déterminé directement un certain nombre de points de cote ronde, on élèvera en ces points, perpendiculairement à l'axe portant l'échelle, des ordonnées proportionnelles à leurs cotes. Les extrémités de ces ordonnées sont autant de points de la courbe G. On tracera dès lors cette courbe et Ton s'en servira ainsi qu'il vient d'être dit pour obtenir les points de l'échelle, intermédiaires entre ceux qui ont été obtenus directement.
La détermination des échelons successifs se fera ici avec une grande facilité. On donnera à l'ordonnée y des accroissements successifs égaux à un certain échelon jusqu'à ce que l'accroisse-
ment correspondant de l*abscisse x tombe au-dessous du minimum d'intervalle graphique choisi. On adoptera alors un échelon supérieur au précédent et on le conservera jusqu'à ce que la même circonstance se reproduise; et ainsi de suite.
Remarque. — Le procédé géométrique ci-dessus permettra de construire l'échelle d'une fonction définie par une courbe C obtenue expérimentalement.
4. Interpolation à vue. — Un point étant pris sur l'axe de l'échelle, en dehors des points qui constituent sa graduation, on pourra se proposer d'évaluer approximativement la valeur correspondante de la variable a. Cette évaluation porte le nom à^ interpolation à vue.
Les deux points de la graduation qui comprennent le point considéré fournissent des valeurs approchées par excès et par défaut de la valeur cherchée, au degré d'approximation défini par l'échelon correspondant.
La question qui se pose consistera apprécier l'appoint à ajouter à la valeur approchée par défaut pour avoir la valeur cherchée.
Cet appoint s'estime au jugé d'après l'allure de la graduation aux environs du point considéré.
Soit, par exemple, à lire la cote du point M sur l'échelle de la fig. 2. On aura sensiblement pour cette cote la valeur 3,47»
Sur l'échelle de \dijig. a bis, on aurait 3,45.
Fig. 2. Fig. 2 bis.
On voit que le degré de précision de ce genre d'interpolation dépend du plus ou moins d'habitude du lecteur.
Toutefois l'expérience prouve qu'un lecteur tant soit peu exercé arrive à ne pas se tromper du -^ de l'échelon lorsque l'intervalle graphique n'est pas sensiblement inférieur à i"™.
Avec un intervalle de o"",5 l'approximation n'est pas sensiblement supérieure au \.
Cela montre qu'il n'y a pas de sérieux avantage à employer des intervalles inférieurs à i™°.
Il y aurait sur ce point particulier à faire une élude qui relève (le la Physiologie. Il est probable que le degré d'approximation rt'latif est à peu près constant pour des divisions supérieures à i"" environ et qu'il décroît, à partir de là, avec une assez grande rapidité.
Remarque, — Les échelles construites dans la pratique, sous les dimensions qui ont été reconnues commodes, ne donnent généralement que trois chiffres significatifs (exceptionnellement quatre); encore le dernier chiffre n'est-il fourni que par l'interpolalion à vue, ainsi que cela a lieu avec les graduations du doubledécimètre et de la règle à calcul. Ce degré d'approximation suffit d'ailleurs dans une foule d'applications, et notamment dans celles qui relèvent de l'art de l'ingénieur.
S. Échelles usuelles. — Les échelles les plus fréquemment employées dans les applications (*) sont les suivantes :
I® Echelle régulière, — On a une telle échelle quand la fonctiony(a) se réduit à a, parce qu'ici les points obtenus en faisant croître a par échelons égaux sont régulièrement espacés sur la droite portant cette échelle.
Le type de cette échelle est fourni parla graduation du doubledécimètre {Jig* 3)^ il est inutile d'y insister.
Fig 3.
ItMlIlIlMllllIllllIlillUlIlIllllIllllIlMMllllIllllIlIlJllllIlMlIllllIllllIllllIlllllilllIlllll
La distance constante entre points dont la cote diffère d'une unité donne dans ce cas le module de l'échelle.
2** Échelle logarithmique. — C'est l'échelle de la fonction
(*) La construction de ces échelles s'effectue très rapidement lorsqu'on dispose de Tables numériques, qui se rencontrent aujourd'hui dans un grand nombre de manuels, telles que : Tables des carrés, des cubes, des racines carrés et cubiques, des inverses et des logarithmes des nombres; Tables des lignes trigonométriques naturelles et de leurs logarithmes.
lO CHAPITRE I.
!«»• Un exemple très courant en est fourni par la graduation dfî' h règle à calcul ordinaire ( * ) {fig- 4)-
Fig. 4.
• * ■ '.; ' ; *.!.!j.l.ltl:illll.l.l.l.l . hllIlIlIllillIlhllIlIlilIlIlIlIlIlIlIlIlIlIllJlIlIlIlIlIllllIllMhlIlIllIlIllllIlirJ »•'— 2 3 *^ 5 6 7 8 9
Sur cette graduation rinlervalle entre les points î et lo est do ia5"*", et les échelons sont de 0,02 de i à 2, de o,o5 de 2 à 5, oiiiin de 0,1 de 5 à 10.
Voici au surplus comment Tanalyse de cette graduation peut être faite
conformément au procédé qui se trouve résumé à la fin du n** 2.
Prenons
L= liS""", m = o"'",5.
Le module est donné par
/(log 10 — log 1) =125"",
d'où
Pour déterminer Oi nous avons l'équation
ia5[logi — logd — 0] = 0,5,
d'où
log( 1 — 0 = —0,004 = 1 ,995 et
e = o,oJ2.
Comparant cette quantité aux trois suivantes
nous voyons qu'ici il faut prendre
et, par suite,
Gj = o,o5,
(') La première échelle logarithmique semble avoir été construite par Gunter (1581-1626). Voir notre brochure 0.8, p. 56.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. Il
Les valeurs ai, a^, a^ sont alors données par les équations
i25[logûri — log(ai — 0,02)] = o,5,
i25[logaj — log(a2— o,o5)] = o,5,
i25[loga3— log(a3--o,i )] = o,3,
ou
log 1 = log = — - = log = o,oo4,
° ai — 0,02 °aj— o,o5 "aj — o,i
ou encore
ou enfin
ai a^ aj
= i,oi,
ai — 0,02 aj — 0,03 a^ — o,i ai a? aj i ,oi
= lOI
