CHAPITRE II. — VOÛTES. — COURBES A DOUBLE COURBURE. — P

pyramide, mais il se confondrait avec la faco UNO ai le côté MN se trouvait précisément sur l'arête ON.

Ces propositions ne cesseront pas de subsister si nous altérons graduellement la forme de la pyramide, et celle du polygone tracé sur elle, de manière à les rapprocher indéfiniment d'un cône et d'une courbe à double courbure. Nous voyons ainsi que les plans osculateurs d’une courbe tracée sur un cône ne sont [ias, en général, tangents au cône, mais que celte circonstance se présente quand, en un point, la courbe est tangente à la génératrice rectiligne.

Supposons maintenant que l'on prenne la perspective d'uuc courbe à double courbure, par rapport à un a il 0 (lig. 1 34) situé sur l'une de ses tangentes On . Le plan osculateur de la ligne considérée, au point n, sera tangeut au cône perspectif, et sa trace NT, sur le tableau, sera tangente à la perspective de la courbe. D’ailleurs, si la ligne anb n’a pas d'inflexion en n, sa perspective se trouvera entièrement au-dessous d’une droite EG, trace sur le tableau d’un plan passant par On et |>crpendiculaire au plan osculateur. Il y a donc rebroussement, et comme le plan osculateur d’une courbe la traverse généralement, la trace NT sera entre les deux brandies NA ol NB de la perspective.

Il est évident que le cône perspectif a un rebroussement tout le long de In génératrice On.

IIO. II est intéressant d’avoir la tangente au rebroussement, et malheureusement la méthode ordinaire ne peut pas être employée pour la construire, parce que la tangente de la courbe origiualc, étant dirigée vers l’œil, est représentée tout entière en perspective par le point N (lig. 138).

Les tangentes à la courbe de tête au point n, et aux points voisins r, r' cl m, m' rencontrent le plan vertical m,r, aux points n,, r, et m,. La courbe qui unit ces points est la trace sur le plan m, r, d’uue surface qui serait formée par l’ensemble des tangentes à la courbe de tête. La trace du plan osculateur de celte ligue au point n, n'doit être tangente en n, à la courbe m,r,; c’est donc la droite n, T', qui rencontre le tableau au point dont les projections sont T 0 , T' 0 ; ou le ramène en T' et la tangente est NT'.

Cette construction présente peu de précision, parce qu’il faut tracer la tau— gente d’une courbe auxiliaire en un point donné. La Géométrie lie donne aucun procédé graphique plus exact.

lit. Nous avons construit les perspectives des figures 137 et 138 par des procédés empruntés à la Géométrie descriptive. Cette méthode est peu commode dans la pratique, parce que le tableau que l'on obtient n'a pas la grandeur qu'on désire, mais celle que lui assigne l’échelle du plan et de l’élévation, de sorte que quand le traeé est terminé, on est généralement obligé de craticuler. En second lieu, quand la distance est un peu grande, il faut qu’on puisse disposer pour le dessin d’une étendue relativement considérable, parce qu'il est nécessaire de placer les projections de l’œil sur le plan et l'élévation; sans cela les tracés seraient Irés-compliqiiés.

Cette méthode, dont nous donnerons plus loin une application (art. 274 et suiv.), présente des avantages pour la discussion des courbes. Lorsqu’on y a recours, il ne faut pas négliger entièrement les constructions ordinaires de la Perspective. Ainsi les arêtes des marches, et les horizontales du mur droit qui est incliné à quarante-cinq degrés sur le tableau, sont dirigées vers les points principaux de fuite et de distance P et D (fig. 137). Si tous les points étaient obtenus directement, de petites erreurs suffiraient pour détruire la convergence des perspectives de droites parallèles, ce qui produirait un effet choquant.

On remarquera sur la ligure 138 que les droites e'a', ea... sont des projections de rayons visuels et convergent vers O/, tandis que les droites qui partent des points a', a*... sont des perspectives de lignes horizontales tracées sur le mur droit, et concourent vers D f .