CHAPITRE H. — VOÛTES. — COURBES A DOUBLE COURBURE. — P

Ob*»r\ allons sur la penipmlvn de» courbes A double courbure. Construction «l'n ne perspective par le» procédé» genérati* de la Géométrie* descriptive.

(Planche S3.)

flou. Nous avons rencontré dans les épures de la Lunette et de la Voûte d'arêtes en tour ronde, des courbes qui étaient à double courbure, c'est-à-dire qui ne pouvaient pas être placées dans un plan. Leur perspective ne nous a présenté aucune circonstance particulière ; mais, pour certaines positions de l’œil, ces courbes ont sur le tableau des nœuds et même des rebroussements. Nous nous arrêterons un instant à l’étude de ces formes singulières : elles sont intéressantes par ellesmêmes, et il sera nécessaire de les connaître pour comprendre diverses questions relatives à la perspective des surfaces.

107 . Les figures 135 et 13P> sont le plan et l’élévation d'une porte dans un mur cylindrique. La courbe de tête résulte de l’intersection du cylindre horizontal de l’intrados avec le cylindre vertical du parement. L’œil est en un point 0,0' {fig. 137) sur le prolongement d’une corde mm,, m'm',. Nous avons placé le tableau perpendiculairement aux plans de projection : la droite AB forme ses deux traces. Nous supposons qu’on le fasse tourner autour de la verticale du point A, de manière à le rendre parallèle au plan vertical. Chaque point de la perspective est obtenu directement par l’intersection du rayon visuel avec le tableau.

Les deux points m, m' et m,, m, sont représentés par un seul point M; la courbe y forme un nœud, et comme elle est l’arête d'un corps opaque, d’un côté du nœud elle est entièrement vue, et de l’autre une de ses branches est cachée.

Le point le plus élevé U est donné par le rayon visuel dont la projection verticale O'u est tangente à l'élévation de la courbe. Le point le plus à gauche correspond au rayon visuel tangent On (fig. 135). lai contour apparent du parement cylindrique se termine à la courbe qu'il rencontre tangentiellemcnt au point V.

iOS. Supposons maintenant que l'œil se transporte successivement sur des droites qui rencontrent la courbe en deux points de plus en plus rapprochés l'un de l'autre : la boucle ou feuille MVU se resserrera progressivement, et se réduira à un point quand l’œil sera sur une tangente. Les deux parties de la courbe se rejoindront à ce point, en formant un rebroussement.

Cette circonstance est représentée sur la ligure 13#. L'œil est eû Oi, O'i sur la tangente nO,, n'0\ ; le tableau A|B| a été retourné parallèlement à l’élévation. La perspective est construite par les moyens déjà employés pour la figure 137. Nous avons ajouté quelques marches pour élever le plan d'horizon qui se trouvait un peu bas.

On voit facilement, d’après la position de l'œil sur le plan, que l’une des deux parties de la courbe qui se rejoignent au point de rebroussement N est cachée tandis que l'autre reste vue, mais cela n'a pas toujours lieu : la courbe entière serait vue si l’œil était placé sur la même tangente, à gauche du point n, n'.

Nous avons reconnu qu'il y avait un rebroussement eu faisant disparaître la boucle MVU (fig. 137) ; il est en ellèt manifeste que quand les points projetés sur u et u (fig. 135 et 130) viennent se confondre en un seul point n, *»', la perspective de ce dernier doit être le point le plus élevé, et le plus à gauche, ce qui exige qu’il soit le sommet d'un rebroussement; mais nous allons arriver à ce résultat d'une autre manière qui aura l'avantage de nous faire connaître la tangente au rebroussement.

ion. Considérons un polygone ES (Ug. 153) tracé sur uue pyramide. Le plan passant par deux côtés contigus MN et NR coupera nécessairement la