Perspective d’un point de l’espace (fig

Un point, pour être bien déterminé, doit être donné sur un tableau par sa perspective propre A, et par sa perspec-

Fig. 292

tive géométrale a, c’est-à-dire par la perspective de sa projection a sur le géométral. Par conséquent nous désignerons toujours un point par deux lettres; la grande lettre s’appliquera au point lui-même, dans l’espace, et la petite lettre à sa projection géométrale. Ainsi :

1° A a représente un point dans l’espace réel : le point A est situé au-dessus de l’horizon. Je reconnais que A est dans l’espace réel parce que son géométral a est entre l’horizon et la ligne de terre qui est le bord inférieur du tableau.

2° B b est aussi un point réel, mais B est placé au-dessous de l’horizon.

3° F f est un point situé à l’infini : On le reconnaît à ce que son géométral f est placé sur l’horizon, c’est-à-dire à l’infini. F sera donc un point de fuite aérien (v. n° 142).

4° Ce est un point de l’espace intermédiaire. Il est audessus de l’horizon.

5° G g est un point virtuel : On le reconnaît àpriori, à ce que son géométral g est au-dessus de l’horizon.

Le point G est donc situé derrière le spectateur. Pour mieux juger encore de sa position on dira :

G apparaît, en perspective, à droite de la verticale principale P/>. Donc, en réalité, à cause du renversement, le point G de l’espace est à gauche du spectateur. La perspective G est au-dessous de l’horizon ; donc, toujours à cause du renversement, le point de l’espace est au-dessus du plan d’horizon .

213. Perspective d’une droite. — Recherche de sa trace géométrale (fig. 293).

Il suffit de prolonger la droite de l’espace jusqu’à la rencontre avec la droite qui est sa projection sur le géométral.

1er cas : droite AB— ai. La trace géométrale m (est réelle.

2e cas : droite CD — cd. La trace géométrale est à l’infini en f, sur l’horizon : La droite DC de l’espace est donc horizontale et parallèle, par conséquent, à sa projection géométrale de.

3e cas : GK de l’espace est parallèle, sur le tableau, à son géométral gk. Or, ce n’est pas une ligne de front; on le reconnaît à ce que le géométral gk n’est pas parallèle à la ligne d’horizon : on en conclut donc que GK et son géométral gk, loin d’être parallèles dans l’espace, se rencontrent, au contraire, dans le plan neutre (v. n° 142).

4e cas : Droite MN — mn. La trace est virtuelle, et obtenue en t : ce qui veut dire que la droite perce le géométral en arrière du spectateur ; et, de plus, comme t apparaît à droite du point principal P, le point t de l’espace, en vertu du renversement des figures virtuelles, est en réalité à gauche et en arrière du spectateur.

214. Problème 1 (fig. 294). — Trouver l’intersection d’une droite AB-a4 et d’un plan vertical KL 4 (un pareil plan se nomme un mur).

Un mur se projette géométralement tout entier suivant sa trace géométrale kl. Par conséquent, en relevant par

PERSPECTIVE DIRECTE DANS L’ESPACE

une verticale le point m (où la droite en géométral rencontre la trace du mur) en M sur la droite de l’espace, on ale point cherché.

215. Problème 2 (fi g. 295). — Trouver l’intersection d’une droite quelconque MN-mn et d’un plan quelconque défini par 3 points Aa-Bb-Cc.

Fig. 295

(a) Solution. — 1° Par la droite on fait passer un mur auxiliaire dont la trace géométrale est mn ;

2° On prend en 1, relevé en 1', et en 2, relevé en 2', les intersections de ce mur avec les droites AC et BC du triangle, ce qui donne en l'2', dans l’espace, l’intersection auxiliaire du mur et du triangle ;

3° Le point N n où la ligne de l’espace recoupe l'2' est le point d’intersection cherché.

(b) Remarque. — Si M étant un point de l’espace, MN-mn était un rayon lumineux, le point N serait l’ombre portée par le point M sur le plan du triangle ABC.

216. Problème 3. — Trouver l’intersection de deux plans (fig. 296).

Nous supposons chacun des plans défini par trois points qui sont, sur le tableau, les sommets Aa-Bè-Cc et Mm-Nn-Pp de deux triangles.

(a) Solution. — On coupe par deux plans de front auxiliaires. Le premier Zt donne dans chaque triangle une ligne de front, savoir : al-Al' dans le premier triangle et 2 3-2'3' dans le second. Ces lignes se recoupent en un point Xx qui est un premier point de l’intersection.

Un deuxième plan de front Z2 donnera un second point Y y. L’intersection est XY-xij.

(b) Nota. — Le tracé précédent montre comment on obtient une ligne de front d’un plan quelconque. Elle est

Fig. 296

parallèle à la ligne de fuite (dite encore ligne d’évanouissement) du plan.

217. Problème 4. — Partager une droite de l’espace en parties proportionnelles à des longueurs ou à des nombres donnés (fig. 297).

Fig. 297

(a) Données. — Soit AB -ab la droite à partager en trois parties qui soient entre elles comme les nombres 3, 2 et 4.

(b) Solution. — 1° Par le procédé connu on partage aux points m! et n' le géométral ab de la droite dans les rapports donnés (v. 151).

2° On remonte par des verticales des points m' et n' aux I points M et N dans l’espace.

§ IL — PERSPECTIVE DIRECTE DES MOULURES RECTILIGNES (1)