MISE DE FRONT D’UNE FIGURE PLANE

| IV. — Mise de front d’une figure plane

231. Mise de front d’un mur vertical. — Méthode dite « de la corde de l’arc. »

(a) Dans les problèmes qui précèdent, nous n’avions pas à nous occuper d’angles connus en vraie grandeur, ni des rapports de lignes ayant des directions différentes. Ces problèmes n’exigeaient pas la connaissance exacte de la position du spectateur, c’est-à-dire se résolvaient sans les points de fuite et de distance principaux ; il n’en sera plus de même des suivants.

On se proposera, dans les problèmes qui vont être traités, d’amener, comme dans l’opération que nous avons appelée le relèvement du géométral , une figure plane quelconque et dont les rapports de dimensions sont altérés par la perspective, à se présenter de front de manière à pouvoir juger de ses proportions exactes.

(b) Données. — Nous supposons d’abord que le plan de la figure est vertical (nous nommerons un mur , tout plan vertical), et nous nous proposons, comme application, de tracer dans ce mur la perspective du demi-cercle d’ouverture d’une arcade.

Fig. 325

Soient Aa — Bb (fig. 325), deux verticales définissant le mur ; nous voulons amener ce mur à être de front en le faisant tourner, comme une porte, autour d’une quelconque de ses verticales, A a, par exemple, prise comme charnière.

Nous supposons de plus : 1° que A a est sinon dans le plan de front des vraies grandeurs, du moins dans un plan de front dont nous connaissons l’échelle ; 2° que les points

A et B sont au même niveau et que nous voulons mettre en perspective un demi-cercle décrit sur AB comme diamètre.

(b) Mise de front. — Après la rotation, le point b sera venu en bu et l’on aura, dans le géométral de l’espace, ab = abi. — Par conséquent, joignons bbu cette droite intercepte un segment de front abx qui est perspectivement égal au segment ab intercepté sur la fuyante abf ; c’est donc une ligne concourant au point de distance accidentel d' de la direction qui a pour point de fuite le point /.

On sait comment s’obtient le point accidentel de distance d' quand on connaît le point principal p , le point de distance principale D et le point de fuite f.

Rappelons cette construction :

1° L’œil, ou point de vue, a été rabattu en O' sur le tableau en prenant hh comme charnière. On a pris à cet effet pO1 = jiD (distance principale).

2° Joignant O'f, cette ligne a donné le rabattement du rayon de fuite de la direction f ; par suite O'f est la distance oblique de l’œil au tableau comptée suivant la direction f ;

3° Portant, sur l’horizon, fd! = fO', on a obtenu en d' le point de distance accidentel de la direction /.

Cette construction suppose que le point D est accessible. Ordinairement il n’en est pas ainsi. On la modifiera alors, comme il est dit plus loin (Rem. 3°).

Cela posé, donnons au mur son mouvement de porte et faisons-le tourner autour de aA comme charnière.

La verticale bB prend la position é,Bi.

Mais maintenant le mur est de front et les figures qui y sont contenues se perspectivent en vraie forme, c’est-à-dire semblables à elles-mêmes.

On décrira donc, en vraie figure, le cercle sur AiB4 comme diamètre, et l’on ramènera tous ses points en place par une construction inverse de la précédente, ainsi que nous allons l’indiquer.

(c) Remise en fuite. — Par exemple, soit Mj un point du cercle de front. — M] est projeté géométralement en mx sur axbi. — Je mène les lignes mxm et MjM qui fuient toutes deux en d ', car elles sont parallèles dans l’espace. Je prends l’intersection m de la fuyante et de la trace ab du mur, et remontant, par une verticale, de m en M sur la fuyante du point Mi, j’obtiens un point M du cercle perspectif.

(d) Tangentes. — Menons la tangente Mjf au cercle quand il est de front. Elle rencontre la charnière au point t qui ne bouge pas. On a donc en «M la tangente cherchée.

Il est facile de trouver le point pour lequel la tangente est parallèle perspectivement à une direction donnée. — Il suffit de se donner dans le plan vertical «6AB une droite pa-

PERSPECTIVE DIRECTE DANS L’ESPACE

rallèle à cette direction ; de faire tourner cette droite en ramenant de front ; de mener au cercle, en vraie figure AMjRj une tangente parallèle à cette direction devenue de front, et de remettre en place cette dernière tangente.

(e) Remarques. — 1° Dans ce mouvement de rotation, les points m — b — M. . . décrivent, en réalité, dans 1 espace, des arcs de cercle dont les lignes mm,— bbi — - MMt. . . sont les cordes. Nous nous sommes bien gardés de chercher les perspectives de ces arcs de cercle et nous nous sommes contentés de tracer les perspectives de leurs cordes. C’est ce qui a fait donner à ce tracé le nom de Méthode par la corde de l’arc.

2° La méthode serait la même dans le cas où le plan fuyant vertical serait perpendiculaire au tableau, c’est-àdire aurait sa trace ab sur le géométral, fuyant au point principal p. Alors au point de distance accidentel d! on substituerait le point principal de distance D.

3° Pour faciliter le raisonnement, nous avons employé le point principal de distance, D et le rabattement supérieur de l’œil O'. Mais nous savons que ces points D et O' seront toujours inaccessibles et que nous n’aurons à notre portée qu’un point de distance réduite, D/3 par exemple.

Dans ce cas, on remarquera que toute la méthode revient à obtenir en abi, sur une ligne de front, une longueur perspectivement égale à la grandeur de la ligne perspective ab. Nous savons qu’un relèvement préalable du géométral la donne (v. n° 187).

La figure 325 indique ce élèvement préalable. On a mené la fuyante principale pb, et on l’a prolongée en b". On a joint àD/3 et la longueur b"$ a été portée 3 fois de b" en h sur la verticale du pont b". Finalement on a pris ab{ = aê2 et la ligne bib prolongée jusqu’à l’horizon, donne en d' le point de distance accidentelle delà direction abf, car c’est, pour cette direction, le point de fuite d’une ligne d’égale resection. C’est le point de fuite de toutes les cordes des arcs.

4° Plus le point / sera inaccessible, c’est-à-dire plus la base ab du mur se rapprochera d’être de front, plus le point d' se rapprochera du point principal P. Si d' est inaccessible, la ligne bb i que nous venons d’obtenir permettra d’employer le Té-brisé (v. n° 161 et suivants).