Ombres portées et reçues par un cône

[a) Données. — Soit (fig. 344), sur le géométral, la base, dmfe , d’un cône ; soit A a son sommet. Le contour apparent perspectif du cône s’obtient en menant de la perspective A du sommet les deux tangentes Ad, Ae, à l’ellipse, perspective de la base du cône. On donne en outre en BC-Bc la perspective d’une droite et en Ss la perspective (virtuelle), du soleil. On demande de déterminer toutes les ombres, propres ou portées.

(b) Ombre portée par le cône sur le géométral. — On cherche en A, l’ombre portée par le sommet A sur le géométral ; et les deux tangentes A / et Ai g, menées de ce point à la base du cône limitent l’ombre portée.

GÉNÉRALITÉS

(c) Ombre propre du cône. — Ce sont les deux génératrices A/' et kg aboutissant aux points de tangence qui viennent d’être déterminés. L’une d’elles kf est vue, et se trace en trait plein, l’autre kg est cachée et se trace en ponctué.

Fig. 344

(d) Ombre portée par la droite BC sur le géométral. — On détermine en C, l’ombre d’un point C delà droite et l’ombre portée par cette droite est BCi ; elle est à conserver seulement de B en F où elle rencontre la base du cône ; à partir du point F l’ombre va se décrocher sur le cône.

(e) Ombre portée par la droite sur le cône. — Soit à trouver le point M de l’ombre, situé sur une génératrice quelconque km du cône.

1° On cherche en mk, l’ombre portée sur le géométral par cette génératrice. 2° Elle rencontre en M, l’ombre BC, portée par la droite BC. 3° On remonte par un rayon inverse SM, au point M cherché.

( f ) Points importants de l’ombre.

1° Point de pliure F. — Il est obtenu a priori par la rencontre de BCi avec la base du cône. Pour avoir la tangente à la courbe en ce point nous chercherons l’ombre portée par la droite BC sur le plan tangent au cône au point F. Pour cela, nous considérerons le plan langent comme un cône qui aurait aussi A pour sommet, mais dont la base, au lieu d’être une ellipse, serait la droite Fi tangente à cette ellipse au point F. Nous ne changeons donc pas de méthode. — Au est une génératrice de ce cône-plan ; A,u, en est l’ombre portée sur le géométral ; elle rencontre en V, l’ombre portée BC, et le rayon inverse V,S donne en Y un point de

l’ombre portée sur le plan tangent ; FY est donc la tangente demandée.

2° Point D sur le contour apparent. — A,<i est l’ombre portée sur le géométral par la génératrice de contour apparent ADe£; elle rencontre en D, l’ombre BCi ; le rayon inverse SD, donne le point cherché D. En ce point la courbe est tangente au contour apparent.

3° Point de perte P. — Son ombre sur le géométral est le point P, situé à la fois sur l’ombre portée du cône et sur BC,. Le rayon inverse SPi donne le point de perte P (caché). En ce point la tangente est le rayon lumineux SP dans l’espace.

(g) Nota. — Les points S et s sont ici presque inaccessibles. Nous avons indiqué, dans le cas où ils le seraientcomplètement, l’usage à faire du Té-brisé. (V. plus loin n° 247.)

245. Ombres portées et reçues par un cylindre creux. (Voûte en berceau).

(a) Données. — Soit (fig. 345), en perspective, un berceau ayant sa courbe de tête dans le mur vertical fuyant Rr — Qq, et limité, pour l’autre tète, au plan vertical parallèle au précédent et passant par la verticale Vu. — Soit ADB la courbe de tête. — Soit S le soleil dans l’espace, et s sa projection, située à l’infini, sur le géométral, c’est-à-dire sur la ligne d’horizon.

On veut trouver l’ombre portée dans l’intérieur du berceau par cette courbe et par l’arête ka du piédroit ainsi que les ombres portées sur le plan horizontal.

(b) Principe de la méthode. — Le problème revient à trouver l’intersection de deux cylindres ayant une même base, qui est la ligne erADBà (Nous considérons les piédroits ka et Bà comme formant un même cylindre avec le berceau). — Le premier cylindre est le berceau; ses génératrices fuient en f'\ le second est le cylindre d’ombre. Sa directrice est aussi aADBô, mais ses génératrices sont des rayons lumineux et fuient en S dans l’espace et en s sur le géométral.

On coupe les deux cylindres par des plans parallèles à la fois à leurs deux génératrices, c’est-à-dire par les plans d’ombre des génératrices du berceau; en réalité on emploie la méthode des plans sécants.

Soit DK — dk une génératrice du berceau. Menons le rayon lumineux du point K k. — Soit SK — sk ce rayon. Il perce le mur de tête en K,/c, et par suite DK, est la trace, sur le plan de tête, du plan d’ombre de DK; autrement dit, c’est l’ombre de la génératrice Dlv sur le plan de tête. — Prolongée, elle rencontre en tp la ligne de fuite de ce plan de tête ; est donc non seulement le point de fuite de DK, mais encore celui de toutes les traces des plans auxiliaires sur le plan de tête, puisque les rayons lumineux sont parallèles ; autrement dit : toutes les génératrices telles que DK donnent sur le plan de tête des ombres portées qui sont

OMBRES, EN PERSPECTIVE

parallèles entre elles, dans l’espace et qui, par conséquent, ont en perspective un même point de fuite cp.

(c) Ombre d’un point. — Cela posé : cherchons l’ombre du point D. — Le plan auxiliaire dont la trace sur le plan de tête est Dcp, recoupe la directrice du berceau en G. — Ce plan auxiliaire détermine donc une nouvelle génératrice

G f' du berceau, et le point D porte ombre en Dt à l’intersection de cette génératrice et du rayon lumineux de l’espace DS.

(d) Tangente en ce point. — Le plan tangent au cylindre d’ombre au point D, a pour trace sur le plan de têle, la tangente Di à la courbe de tête. — Le plan tangent au ber-

Fig. 345

ceau en D, a pour trace de tête la tangente G t, au point G extrémité de la génératrice D,G. — Ces deux traces se coupent en /, et la tangente est iD(.

(e) Point d’origine. — Du point cp menons la tangente cpu à la courbe de tête; si nous appliquons au point u la construction précédente, nous reconnaissons que ce point porte ombre sur lui-même. C’est le point d’origine de la courbe d’ombre portée. — Nous savons que cette dernière est plane et que c’est une ellipse (Ombre duPont).

La construction donnée pour la tangente ne s’applique pas ici, car, en ce point, les plans tangents aux deux cylin-

dres sont confondus. — On aura la tangente en u en se basant sur ce que la courbe d’ombre portée estplane. — On en prendra trois points, wD^, par exemple, ce qui déterminera son plan. — On cherchera ensuite l’intersection de ce plan avec le plan tangent en u, soit au cylindre d’ombre, soit au berceau.

En tout cas, au point u, l’ombre n’est pas tangente à la courbe de tête.

[f) Point de naissance. — Le point K,, de l’ombre portée, situé sur la génératrice B de naissance, h droite, s’obtient en faisant la construction en sens inverse, c’est-à-dire en joi-

GENERALITES

gnant <pB, prolongeant jusqu’en E sur la courbe de tête , menant le rayon lumineux ES et prenant son intersection avec la génératrice B.

Le point A, de naissance à gauche porte ombre en At obtenu comme on a fait pour l’ombre Di du point D.

Le reste de l’épure se comprend facilement à l’inspection de la figure 345 .

Nous donnerons plus loin, §11, quelques exemples de tracés d’ombres, en perspective.

246. Ombres portées, au soleil, sur des murs de front. — Remarque importante.

Nous avons vu dans la lre partie de ce livre (ombres usuelles), les avantages que présentait la méthode des projections obliques pour la recherche des ombres. Ils existent surtout pour les ombres au soleil parce que, dans ce cas, les ombres portées sur le plan auxiliaire de projections obliques donnent une perspective cavalière de l’objet. Or dans une perspective cavalière les lignes parallèles restent parallèles et leurs rapports se conservent, ce qui permet, dans une boite d’épannelage préalablement mise en place, de dessiner très facilement et très exactement les détails d’un objet que l’on connaît géométralement.

Cela posé:sidans untableau perspectifnousavons àrésoudre des problèmes d 'ombres au soleil nous aurons avantage, après avoir entouré les objets dans leurs boîtes d'épannelage, à prendre un plan de front pour plan de projections obliques. En effet les ombres portées y seront dans l’espace, des perspectives cavalières. Mais comme pour des plans de front le parallélisme des lignes se conserve, elles le seront aussi en perspective linéaire et leur tracé sera très facile à réaliser.

On remarquera que celane serait plus vrai 1° si la lumière était au flambeau ; 2° si, tout en éclairant par le soleil, le plan de projections obliques n’était pas de front.