Perspective isométrique
Ainsi que nous venons de le dire, la perspective isométrique est une perspective axonométrique dans le cas particulier où les trois arêtes du trièdre sont également inclinées sur le tableau. — Le triangle abc formé par les traces des faces est alors équilatéral.
Faisons en c Sia (flg. 421) le même rabattement que cidessus. Nous trouvons en a l’angle que fait une arête avec le plan de projection (1), et il est facile de prouver que
sc = Si c'x
Cherchons maintenant la hauteur du point S de l’espace au-dessus du plan de projection. A cet effet, rabattons le plan projetant l’arête Sc. L’angle DSc de l’espace étant droit, puisque Sc est perpendiculaire au plan XOY, son sommet S se rabattra sur la circonférence décrite sur cD comme diamètre, ce qui le déterminera en S2. On aura donc en S2c l’une des arêtes en vraie grandeur, et SS2 donne la hauteur du sommet S.
On fera de même pour les deux autres droites S b et Sa. On aura leurs rabattements en Si a etS2A, et la hauteur du sommet se retrouvera encore en SS! et SS3.
Il faut démontrer que les trois hauteurs SSi — SS2 et SS3 obtenues ainsi pour le point S sont égales. Or, dans chaque demi-circonférence, telle que aS,F, on a :
SS, = SF X Sa.
Il suffit donc de prouver que les trois produits SF x Sa, SD X Sc et SE x SA sont égaux, ce qui résulte de ce théorème de géométrie que : dans un triangle quelconque , les produits des segmen ts des hauteurs sont égaux entre eux.
Il est donc démontré que les trois droites quelconques Sa — S h et Sc peuvent être les projections d’un trièdre trirectangle.
{b Echelles des trois axes. — Pour avoir les trois échelles nous portons en SjM, — S2M2 — S3M3, sur les trois arêtes rabattues, une longueur égale àl mètre et nous projetons ces trois points sur les trois droites Sa — SA — Sc, ce qui
Fig. 421
En supposant que l’on projetât isométriquement l’objet lui-même, ses dimensions parallèles aux trois axes seraient donc les 0,806 de la grandeur naturelle. Gela conduirait à des échelles assez compliquées et d’un emploi peu commode. Aussi, en général, et afin de faciliter les mesures, on adopte des échelles simples pour les trois axes ; par exemple, on prendra l’échelle de 0m0t, ou 0m02pour I mètre. Gela reviendrait à dire que, dans l’espace, le cube dont Sa, SA et Sc, seraient les projections des arêtes, serait lui-même réduit non pas à l’échelle de 0m01 ou 0m02 pour 1 mètre, mais à ces
(1) La trigonométrie donne: cos. a =
sc
Sic'
et
PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE ET PERSPECTIVE ISOMETRIQUE
mêmes échelles multipliées par le rapport inverse ou = 1,240
317. Perspective d'une circonférence isométrique. Toutes les circonférences situées dans des plans isométri-
ques (on nomme ainsi les plans parallèles aux faces du triédre) se projettent suivant des ellipses semblables. Soit, par exemple, une circonférence dans le plan XOY. — Soit R son rayon et O son centre. Le grand axe AA sera parallèle à la trace du plan XY sur le tableau, c’est-à-dire perpendiculaire à la bissectrice de l’angle XOY. — Sa grandeur sera 2R X 1,240, d’après la convention ; le petit axe sera
égal à
2Rv/3 . 1 2R/2
On pourra le calculer
facilement.
On peut tracer plus facilement encore cette ellipse. En effet : les deux demi-diamètres OP — OQ parallèles à OX et à OY seront égaux à R. — Ce seront des diamètres conjugués, comme étant les projections de deux diamètres à angle droit du cercle, ce qui permettra de tracer l’ellipse.
