Principe de la perspective axonométrique

Dans les édifices et dans les machines on distingue en général trois directions principales, parallèles aux arêtes d’un trièdre trirectangle OX, OA/ OZ. Dans la perspective axonométrique, on place ce trièdre des axes coordonnés dans une position quelconque, puis on le projette orthogonalement (et non pas obliquement), sur le plan de projection.

Tel est le principe de la perspective axonométrique ; on voit de suite que tandis que, dans la perspective cavalière on gardait les deux axes OX et OZ parallèles au tableau et on projetait obliquement le troisième axe OY, ici aucun des axes ne sera parallèle au tableau ; ils seront tous les trois réduits par le fait de la projection orthogonale.

(a) Projection des axes. — Voyons d’abord si trois droites quelconques SX, SY, SZ, issues d’un même point, peuvent être prises pour projections orthogonales des trois arêtes d’un trièdre trirectangle, par exemple des trois arêtes d’un cube, et, cela étant reconnu possible, dans quel rapport chacune d’elles sera réduite par le fait de sa projection, ce qui permettra de déterminer l’échelle de chacun des axes.

A cet effet, supposons que nous ayons coupé le trièdre par le plan de projection et soient a, 6, c (fig. 420), les traces de ces trois arêtes. — Nous remarquerons d’abord que les droites ab — bc — ca, traces des trois faces sur le tableau, doivent être perpendiculaires aux projections des arêtes opposées, Se, Sa et S b, d’après le théorème connu :

PERSPECTIVES DE CONVENTION

Lorsqu’une droite est perpendiculaire sur un plan , sa projection orthogonale est perpendiculaire sur la trace du plan.

Cette première condition est déjà réalisée, car si ab et bc sont respectivement perpendiculaires sur SZ et SX, d’après le théorème que : les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point S, la troisième base ac , du triangle abc est aussi perpendiculaire sur SY.

Fig. «0

nous donne en 1, 1 et 1 une longueur de 1 mètre réduite par le fait de la projection et ce qui nous détermine les échelles des trois axes.

(c) Remarque. — Ces échelles sont différentes pour chacun des axes. C’est un inconvénient qui disparaîtrait si les trois droites. Sa — S b — Sc étaient également inclinées l’une sur l’autre, autrement dit : si elles faisaient entre elles des angles de 120 degrés. Dans ce cas, il est évident que les trois rabattements que nous avons faits tout à l’heure conduiraient aux mêmes figures et, par suite, aux mêmes échelles. — La perspective axonométrique deviendrait, dans ce cas, une perspective isométrique. Nous allons en dire quelques mots.