Ombre de l’écuelle, en coupe

En réalité nous n’avons devant nous qu’un quart de sphère creuse.

(a) Epure. — 1° Si le méridien w'a'u1 était complet, il donnerait comme ombre portée l’ellipse w'u'd', identique à celle trouvée au n° précédent, et l’on aurait : o'd' (petit axe) = 1/3 R.

2° Mais le méridien s’arrête en a'; on prend donc en a'2, sur l’ellipse, l’ombre de a et on ne garde que w'a'2.

On a aussi = 1/3 a g1 -, ce qui donne très exactement le point a'2. On sait, en effet, que lorsque l’on décrit un cercle sur le grand axe d’une ellipse comme diamètre, le rapport des ordonnées du cercle et de l’ellipse est constant. Ici ce rapport est 1/3.

3° Ombre de l’équateur (t'a'2). — C’est l’ombre de l’arc de cercle at du plan. Or : a! donne a'2 (tangente à 43°) ; — t' est le point d’origine (à plomb de iür) ; ce qui suilit à tracer l’arc d’ellipse t'a'2.

Fig. 72

Elévation Coupe

(b) Remarques. — 1° En t ', la tangente est parallèle à o'k\, diamètre conjugué de o't'. Mais, en plan : oh = 1/3 og ; donc (élévation) l'k'i = 1/3 o't"' = 1/3 o't'.

LES OMBRES USUELLES

Mais US' = S 'k\ , puisque i'k\ est à 45° ; donc :

o'S' = 1/3S'ÆV Donc : au 'point d’origine t', la tangente est inclinée à un de base pour quatre de hauteur.

2° Dans l’ombre du pont (nos32 et 33) la tangente à l’ellipse au point de départ Y (fig. 62) était inclinée à 1 de base pour 2 de hauteur. Dans l’écuelle, en coupe (fig. 71), elle est inclinée, au point de départ t', aide base pour 4 de hauteur. Bien retenir cette différence entre les deux cas.

43. Ombre de la niche sphérique (fig. 72). — (a) Élévation. — 1° On prend od(k 43°) = 1/3R. On mène en g la tangente à 45° et on trace le quart d’ellipse odg. 11 est à conserver seulement jusqu’en f.

2° On prend en a{ l’ombre de a (dans l’axe).

3° On relie f et ai par une courbe gauche tangente en j à l’ellipse fg et tangente en (?! à la génératrice ap.

(b) Coupe. — L’ombre est identique à celle de la coupe de la figure 71, mais autrement orientée.

§ IV. — Akchitecture : applications aux voûtes sphériques

44. Berceau cylindrique terminé par un cul-de-four sphérique (fig. 73). — bc, est l’ombre du pont. — gm, est l’arc de l’ellipse de l’écuelle. — om, est une ellipse raccor-

Fig. 73

dant m avec o, c’est l’ombre portée par la droite km sur le cul-de-four ; elle est tangente en o à la génératrice co et tangente en m à l’ellipse de l’écuelle, ce qui suffit, en dessin, pour la déterminer.

45. Voûte sphérique précédant un berceau plein-cintre, avec arc doubleau intermédiaire. (En coupe. Fig. 74.) — (a) Ombres dans la sphère. — 1° Tracer en a^nijAi comme ci-dessus (u° 43) l’ombre de la niche, savoir: de a en gu tracer un arc d’ellipse dont le petit axe oz soit le tiers du grand axe ou, prendre A, sur l’axe, à 45° avec A. — Enfin relier Ai avec g\ par un arc de courbe tangent en g i à l’ellipse agi et tangent en Ai à la génératrice centrale AiDi.

(6) Ressaut de l’ombre (en fim) sur le doubleau. — A cet effet, imaginer que l’on a fait une coupe par le plan de profil AA" et que cette coupe a été rabattue sur la gauche ; le cercle AÿA" est le rabattement du méridien de profil de la sphère et B/'B" est le rabattement du cercle de base du doubleau. L’arc d’ellipse A/’K (en A tangente à 45°, en K tangente verticale) est l’ombre portée, connue, du cercle AFA" sur le plan du profil ; cet arc d’ellipse rencontre en f le cercle du doubleau ; f, rappelé en f\, donne en ce point fi le départ du ressaut.

Pour en avoir l’arrivée m , on cherchera comme ci-dessus (ombre du listel en creux) l’ombre ntd^ Ai du doubleau sur le cylindre, et le point de brisure mu remonté en m,

donnera le point d’arrivée du ressaut de l’ombre. Le reste de l’ombre B^Di, etc. .. a été étudié précédemment (ombre du listel en creux).

Fig. 74

46. Mêmes voûtes. — L’arc doubleau précède la voûte sphérique (fig. 75). — (a) Ombres générales. — 1° Chercher en MS comme à l’ordinaire (ombre du pont) l’arc d’ellipse MS ombre intérieure du doubleau (fig. 75).

2° En WZ on a l’ellipse d’ombre de l’écuelle; le petit axe OZ est le tiers du grand axe OW. Elle est bonne seulement jusqu’en Ai, ombre portée par le point A.

3° La ligne droite verticale de coupe ACDB, en la supposant non interrompue entre C et D, donnerait comme ombre dans la sphère une ellipse AW'B, qui ne serait autre chose que la section de la sphère par un plan vertical orienté à 45° et passant par son centre. D’où l’on conclut que W' est à plomb du point à 45° W.

Comme vérification, Al5 déjà trouvé ci-dessus, doit aussi se trouver sur cette ellipse. Elle est à conserver, d’une

OMBRES POUR LES SURFACES DE RÉVOLUTION EN CREUX

part, entre Ai et le point Ci, ombre du point C, et, d’autre part, à la partie inférieure, entre B et Di, ombre du point D.

4° La droite horizontale de coupe, EC, supposée indéfinie, donnerait comme ombre une ellipse aJCio', projection du cercle à 45°, suivant lequel le plan d’ombre de cette droite couperait la sphère. — Ce plan d’ombre est parallèle à la ligne de terre et incliné à 45° sur les deux plans de projection. — On démontrera facilement :

Que cette ellipse est tangente au méridien de front de la

Fig. 75

sphère au point a où la droite EC prolongée rencontre ce méridien ;

Que si l’on mène C3, incliné à 43°, le point 3, rappelé en 8' sur CD, donne en So' le demi-petit axe de l’ellipse ;

Que si l’on abaisse 01 perpendiculaire sur CS, le grand axe est la droite horizontale S1J et, de plus, le demi-grand axe SJ est égal à 13 ;

Comme vérification, que cette ellipse doit passer par le point Cj déjà obtenu. — On ne garde de cette ellipse que l’arc CiEt, le point Ej étant l’ombre du point E.

(b) Ombre du doubleau sur la sphère. — Le point V, le plus à gauche, est obtenu par le rayon «p comme il a été indiqué pour d’autres cas.

L’ombre du cercle de profil DC, passe donc par les points suivants, savoir : Dj déjà trouvé (avec tangente à 45°) , Vi déjà trouvé (avec tangente verticale) et C, déjà trouvé (avec tangente à 45°). Il serait bon d’en avoir un point intermédiaire, par exemple point Ni ombre portée par le point N située sur la génératrice MN d’ombre propre, virtuelle, du doubleau ; à cet effet :

Cherchons l’ombre portée sur la sphère par la droite horizontale MN. Ce sera comme pour la droite horizontale EC, une ellipse à 45°. Le point a' situé sur la droite MN prolongée et à plomb du point a déjà trouvé, est un point de cette ellipse; car c’est le point où la droite MN perce la sphère. On le reconnaît en remarquant que si l’on déplaçait parallèlement à lui-même le cercle de profil CD, jusqu’à ce que C prenne la position a, le cercle CD ainsi déplacé serait tout entier sur la sphère : donc le point N prendrait la position a'.

Na' serait le demi-grand axe de l’ellipse cherchée et, comme elle doit être semblable à l’ellipse déjà trouvée J3', on mènera a'K parallèle à Jo' et l’on aura en K l’extrémité du petit axe. D’ailleurs a'K serait inclinée à l’angle <p (facile à démontrer). Cette ellipse une fois tracée, on en déduit en Nj et Mj les ombres des points N et M : de plus les ombres définitives du doubleau S1NJC1 et M^jE, sont tangentes à cette ellipse auxiliaire.

( c ) Nota. — Observer la concordance à 45° du point limite S et du point de brisure Si.

47. Ombres d’une voûte sphérique sur pendentifs, avec arcs doubleaux (fig. 76). — (a) Constitution de la voûte. — Imaginons une demi-sphère dont l’équateur passerait par les quatre sommets GCiCi d’un carré horizontal (voir le plan). Coupons cette sphère par quatre plans verticaux passant par les quatre côtés CiC — CCj, etc du carré ; ce

qui donne quatre petits cercles de la sphère. On peut prendre ces petits cercles pour bases de quatre cylindres, ou berceaux horizontaux, auxquels la sphère sert de jonction.

On nomme pendentifs les triangles sphériques qui aboutissent en pointe aux encoignures C, Ci, ... et par l’intermédiaire desquels la voûte repose sur ses points d’appui. Audessus des pendentifs se trouve la coupole wW (voir la coupe) ayant la forme d’une calotte sphérique. Les berceaux peuvent être renforcés par des doubleaux à leur jonction avec la sphère.

(b) Ombres de la coupe. — Nous supposons que le doubleau du fond est un forrneret , c’est-à-dire qu’il est encastré à moitié dans un mur plein LL (voir le plan).

Les trois autres doubleaux sont ouverts :

1° On trouve comme à l’ordinaire, par la connaissance des saillies, l’ombre O'i du centre 0 sur le plan CiC2 du forrneret et en 0'2 l’ombre de ce même centre sur le plan LL du mur de fond. De ces points, comme centre, avec un rayon égal à O'b on décrit les deux arcs de cercle 1, 2 et 3, 4.

2° On a en K 'a'b\ l’ombre connue de l’arcade en coupe (n° 33, fig. 64).

3° En uK, l’ombre du pont (n° 33).

LES OMBRES USUELLES

4° En WZ' l’ombre de l’écuelle ; comme vérification le point 4 est commun à l’ellipse WZ' et à l’arc de cercle 3,4.

(c) Ombres du plan. — On remarquera d’abord que la diagonale à 45°, CC2 sera une ligne de symétrie pour l’ombre. On cherchera donc seulement la portion de l’ombre située d’un côté de cette diagonale, par exemple au-dessous et à droite. Cela posé :

1° On cherche l’ombre de la ligne droite de coupe CCi supposée non rompue de b en bv C’est une ellipse passant par les points suivants :

Ci (tangente à 45d, car Ci est le point de tangence à 45° de l’équateur, contour apparent horizontal de la sphère).

W placé dans l’axe.

C', ombre du point C situé sur la diagonale CC2 et pour lequel OC' = 1/30C2 (voir ombre de l’écuelle). Cette ellipse n’est à conserver qu’entre C' et //; b' est à 45° avec le point b dont il est l’ombre.

2° On cherche l’ombre portée par la ligne droite de coupe ba supposée indéfinie. C’est encore un arc d’ellipse Vf dont on a déjà un point b', obtenu ci-dessus. Le point f\ extrémité de son petit axe, est à plomb de F2, obtenu comme suit :

PF2 est à 45° et (ï est à plomb de b (ce tracé est facile à justifier en considérant (3F2 comme la trace sur un plan vertical, du plan d’ombre de la droite indéfinie à bp) ; en /' la tangente à l’arc d’ellipse b'a'f' est verticale : cet arc est donc connu ; il est à conserver seulement entre V ombre du point b et a' ombre du point a.

3° On cherche l’ombre VK'n'b2 portée par le premier arc CCj; du doubleau. On a en b' déjà trouvé, son point de départ avec tangente à 45°. En »', obtenu par l’angle ©, le point le plus près. On trouverait facilement un point intermédiaire. On fait ressauter le point limite k de l’ombre du pont Yk en K', ce qui donne le point de brisure.

L’ombre du deuxième arc aa part du point a' déjà trouvé, avec tangente à 45°, et aboutit en K' point de brisure que nous venons de déterminer, ce qui suffit pour la tracer.

Fig. 76