Le rayon à 45°, et son rabattement à l’angle <p

En dessin géométrique, on considère les rayons lumineux comme émanant du soleil. Ils sont donc parallèles entre eux et, de plus, on les choisit parallèles à la diagonale d’un cube (lig. 12) qui aurait deux de ses faces parallèles aux

Fig 12

Fig. 13

plans de projection et, par conséquent, une troisième face de profil. — On nomme quelquefois ce cube, le cube de lumière.

Ce rayon a pour principal avantage de faire des angles égaux avec les plans de projection sur lesquels on figure les élévations, les plans et les coupes des objets. Nous désignerons cet angle par la lettre grecque <p.

Les projections font (fig. 13) des angles à 43° avec la ligne de terre ; mais il importe de remarquer que le rayon lumineux ne fait pas des angles de 45° avec les plans de projection. Pour avoir ces angles en vraie grandeur, il faut faire le rabattement suivant :

Rabattement du rayon a 45°. — Si on rabat le rayon lumineux en a'Si sur le plan vertical (ûg. 13), il fait alors avec la ligne de terre l’angle <p.

On a : Tang. ® =

d’où on déduit par des calculs trigonométriques faciles à effectuer :

dJ v/T . „ ~ 1

Sin. © =

Cos. CD = 7= Y d 3

Cos. 2cp = —

Équerre a l’angle ®. — La figure 14 donne, le dessin

9. Ombre portée sur un plan de front par un point et par une droite dans différentes positions :

(a) Par un point : Soit A a (fig. 13) un point situé à une distance, o = 20mm, d’un plan de front XY. On a en AjU, son ombre portée sur le mur : elle est obtenue en cherchant la trace verticale (Ai) du rayon lumineux issu du point ak.

Fig. 15

On remarque que l’ombre A,, en élévation, est située à droite et au-dessous de A (élévation du point) à une distance égale à la saillie (8 = 20mm) du point A en avant du mur de front. De telle sorte que la connaissance de cette saillie, 8, suffit seule, sans avoir recours au plan, pour trouver l’ombre portée en élévation.

OMBRES USUELLES. — OMBRES PORTEES SUR DES PLANS DE FRONT

[b) Par une droite verticale BC et

(b') par une droite fronto- horizontale EF.

La première BC porte ombre en B,Ci à une distance à droite de son élévation égale à la saillie ; pour la seconde c’est au-dessous de son élévation qu’il faut compter la saillie.

s’obtient en déplaçant l’élévation à droite et en dessous, de deux longueurs successivement égales à la saillie de la figure de front.

Pour un cercle, en particulier, il suffit de chercher comme ci-dessus, en Ol5 sans se servir du plan, et en n’uti-

lisant que la saillie, l’ombre du centre et de tracer, de Oi comme centre, un cercle égal au cercle donné (Applications : fig. 16 et 17, ombres d’un larmier).

( d ) Par une droite debout (1) (fig. 15) ; soit par exemple l’arête LK d’un mur perpendiculaire au plan vertical.

Le plan d’ombre d'une pareille droite est lui-même perpendiculaire au plan vertical et, par suite, l’ombre c’est-àdire son intersection avec le mur et même avec tout autre objet, une sphère par exemple, se projette suivant une droite qui, se confondant avec la projection des rayons lumineux, est une ligne droite à 45°.

Fig. 18

(e) Par une droite de profil, inclinée sur le plan horizon-

ïïl

tal à la pente — (fig. 18).

11 est facile de voir, en cherchant l’ombre portée AB,, que cette droite est inclinée, par rapport à l’horizontale, à la n-\- m , .

pente ; cest-à-direà n-\-m de hauteur pour m

de base.

Exemple : Une droite de bout. Sa pente est nulle et égale

à zéro ; la pente de son ombre est donc égale à — , c’est-

(1) Une droite debout est une droite perpendiculaire au plan vertical de projection.

à-dire qu’elle est inclinée à 45°, ce que nous avons vu plus haut.

Une droite de profil à 45°, c’est-à-dire inclinée à une pente

—i aurait son ombre inclinée à la pente = — .

Une rampe d’escalier (fig. 18) est en général inclinée à

la pente — : La pente de son ombre est donc — = —

(3 de hauteur pour 2 de base). Ce dernier résultat est important à retenir pour le dessin d’architecture.

10. Ombres portées par un cube et par un cercle, sur un plan de front. — Le plus ordinairement un cercle se présente de front, de niveau ou de profil.

Fig. 19

Supposons que nous ayons inscrit un cercle dans 3 des faces d’un cube, dont l’élévation serait ABCD (fig. 19). Cherchons d’abord l'ombre portée par le cube. Soit ABCD la face la plus rapprochée du mur, et MNPQ la face la plus éloignée.

On connaît, je suppose, la saillie de la face la plus rapprochée du mur. On en déduit, comme ci-dessus, en A,BiCiDi en portant la saillie S à droite, puis en-dessous, l’ombre de cette face ; c’est un carré. Cela fait :

Le carré le plus en avant MNPQ ayant une saillie plus grande que celle du précédent de toute la longueur du côté du cube, on aura son ombre, M^PiQ,, en déplaçant le précédent carré en dessous et à droite de deux longueurs successivement égales à ce côté.

Cela met les deux diagonales AiC, et Mi Pi en prolongement l’une de l’autre et fait coïncider les 2 sommets Mi et Ci.