QUELQUES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

Trouver une parallèle à une ligne donnée.

Soit AB (fig. 2 ) la ligne donnée. D’un point C, pris à volonté sur cette ligne, et avec un rayon CD, on décrit un demi-cercle.

D’un point E , avec un rayon EF égal à CD, on décrit un autre demi-cercle. La ligne GH , menée de manière à être tangente à-lafois aux deux demi-cercles , est la parallèle demandée.

Un point étant donné sur une ligne horizontale } élever une perpendiculaire sur cette ligne , passant par ce point.

Soit D (fig. 3) le point donné. Des points A et B, également distans de D, pris comme centres, et avec un rayon plus grand que BD , on décrit deux arcs de cercle qui se coupent en C. La ligne CD est la perpendiculaire demandée.

Diviser une ligne droite en deux parties égales.

Soit AB (fig. 8) la ligne à diviser. Des points A et B comme centres , avec un rayon plus grand que la moitié de AB , on décrit , au -dessus et au-dessous de la ligne AB des ares qui se coupent en D et en E : la ligne DE, qui joint ces deux points d’intersection, est perpendiculaire sur AB , et coupe cette ligne en deux parties égales.

Elever une perpendiculaire sur V extrémité d’une ligne.

Soit B (fig. 9.) extrémité de la ligne AB , le point sur lequel on veut élever une perpendiculaire. D’un point C , pris à volonté , et avec un rayon CB , on décrit une portion de cercle qui coupe la ligne AB au point E. On tire la ligne EC, que l’on prolonge jusqu’à ce qu’elle coupe la circonférence du cercle au point D. La ligne DB est la perpendiculaire demandée.

Trouver le milieu d'un carré.

Soit le carré ABCD (fig. 10). On tire les diagonales CA, B1), et le point d’intersection de ces deux lignes est le milieu du carré.

INTRODUCTION

Par trois points donnés, non en ligne droite , faire passer une

circonférence.

Les points A, B, G (fig. u) étant donnés, on tire les lignes AB, BC. On divise chacune de ces lignes en deux parties égales , par les perpendiculaires DE, FG que l’on prolonge , et le point R , où elles se rencontrent , est le centre de la circonférence demandée. La circonférence décrite de ce point R, comme centre , avec le rayon RA , passera par les trois points donnés.

On conçoit d’après cela qu’il sera toujours facile de trouver le centre d’un cercle donné , en prenant à volonté trois points sur ce cercle , et en répétant l’opération ci-dessus.

Tracer un ovale avec le compas.

Sur la ligne AB (fig. 12), et d’un point G pris à volonté comme centre, on décrit avec un rayon , également pris à volonté, un cercle qui coupe la ligne AB en un point D. De ce point D, comme centre, et avec un rayon égal à CD , on décrit un second cercle qui coupe le premier en deux points H, E ; du point E et par les deux centres G et D, on mène les diamètres EF, EL; du point E, comme centre et avec le rayon EF , on décrit l’arc de cercle FL. On mène ensuite du point II et par les deux centres G et D , les diamètres HG , HI , et du point H, avec le rayon HI, on décrit l’arc IG, qui termine l’ovale FIGL.

Tracer un ovale plus alongè que le précèdent et qui soit d’une

longueur donnée.

Soit AB (fig. i3) la longueur donnée. On divise cette ligne en quatre parties égales, AG, CD, DE , EB. Des points C, D, E, comme centres, avec un rayon égal à AC , on décrit trois cercles. Sur le milieu de la ligne AB, au point D, on élève la perpendiculaire FG , qui coupe aux points F et G, le cercle du milieu. On tire les lignes

HT, FI , GK , GL, et avec les rayons FIT , GL , on décrit les arcs Fil, KL qui terminent l’ovale.

Autre moyen de tracer un ovale , ou ovale du jardinier.

Soit la ligne horizontale AB (lig. i4) divisée en deux parties égales par la perpendiculaire GD. On prend un fil d’une longueur égale à AB , et ayant à chaque extrémité un noeud ou une boucle dont on verra l’usage. On prend sur la ligne AB un point E,à volonté , mais de manière que AE soit plus petit que la moitié de AB. On prend le point F à une distance B égale à AE. Les deux extrémités du fil sont fixées aux points E et F par les boucles dont on a parlé, et au moyen d’épingles ou de points, suivant la nature de la surface sur laquelle on opère. Tendez ensuite ce fil avec un crayon ou tout autre instrument , dont vous promenez la pointe au-dessus et au-dessous de la ligne AB , en tenant le fil toujours tendu : vous aurez tracé l’ovale demandé.

Cette courbe reçoit des Géomètres le nom d'ellipse.

Les points E et F sont appelés les foyers de l’ellipse.

Il est facile de concevoir que plus les foyers E et F seront distans l’un de l’autre, plus l’ovale sera allongé , et réciproquement; que plus ces points seront rapprochés, plus l’ovale sera arrondi. Si les deux points venaient enfin à se confondre en un seul, la courbe serait un cercle.

Les jardiniers se servant assez souvent de leur cordeau pour tracer des ovales, suivant le procédé ci-dessus, de là est venue la dénomination donnée à l’ovale obtenu par cette opération.

Diviser une circonférence en quatre parties égales , ou inscrire un

carré dans un cercle.

Le cercle étant donné (fig. iG), on tire les deux diamètres AB, CD, perpendiculaires l’un à l’autre, et en joignant les extrémités de ces diamètres par des lignes droites , on obtient ADBC, qui est le carré demandé.

INTRODUCTION

Diviser une circonférence en trois parties égaies , ou inscrire dans un cercle un triangle ci cotés égaux.

Le cercle étant donné (fig. 17) , on tire le diamètre AB. Du point B, comme centre, avec le rayon CB, on décrit une portion de cercle , coupant la circonférence donnée , aux points D , E. De ces deux points on tire les lignes DA , DE, EA, et le triangle DAE est le triangle demandé.

Diviser une circonférence en six parties égales , ou inscrire dans un cercle un hexagone à côtés égaux.

On porte le rayon AD (fig. 18) six fois sur la circonférence, ce qui ramène au point d’où l’on est parti , et donne l’hexagone demandé.

Tracer un octogone sans se servir du cercle.

Le carré ÀBCD étant donné (fig. 19) , on tire les diagonales AD BC , qui se coupent au point R. Des points A, B, D , C, pris successivement comme centres , et toujours avec un rayon égal à A B, on décrit des arcs de ceccle qui coupent les cotés du carré aux points G et H , E et F , M et L , R et I : joignez ces points par des droites , et vous obtenez EHMFKLGI qui est l’octogone demandé.

Diviser une circonférence en cinq parties égales , ou inscrire dans un cercle un pentagone à côtés égaux.

La circonférence étant divisée en quatre parties égales par deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre (fig. 20) , divisez le rayon AB en deux parties égales , au point C. De ce point , comme centre et avec un rayon égal à CD , décrivez un arc de cercle qui coupe en un point E le diamètre passant par B et C ; prenant ensuite avec le compas une longueur égale à DE , du point D , et avec cette longueur DE , prise pour rayon , décrivez un arc de cercle : il cou-

pera la circonférence au point F la ligne DF sera l’un des côtés du pentagone demandé. Vous obtiendrez les quatre autres , en décrivant le même arc, à partir du point F, et ainsi de suite.

On voit (fig. 21 ) qu’en joignant les cinq sommets A, B,C,D,E d’un pentagone à côtés égaux par des diagonales , on obtient une étoile.

Tracer une spirale ou volute.

Prenez à volonté le carré a b c d (fig. 22). Prolongez à volonté les côtés ba, cb , de, ad. Du point a comme centre , avec ad pourrayon , décrivez un quart de cercle qui coupera le prolongement de ba au point e ; du point b comme centre , avec be pourrayon, décrivez un quart de cercle, du point e au point f, où cet arc coupera le prolongement de cb ; du point c comme centre, et avec cf pour rayon, décrivez un troisième quart de cercle, de f en g, et ainsi de suite, indéfiniment : la courbe def gh, etc. , est la spirale ou volute demandée.

Autre manière de tracer la spirale.

On prend à volonté deux points sur une ligne donnée AB (fig. 23). Du point B comme centre, avec le rayon BA, on décrit un demicercle ; du point A comme centre , avec le rayon AC , on décrit un autre demi-cercle; on retourne au point B, et avec le rayon BD, on décrit encore un demi-cercle; on continue ainsi , en prenant alternativement B, A , comme centres , etc.

INTRODUCTION