II. = ESQUISSE D'UNE ALGÈBRE DE LA LOGIQUE

A. — L'idée ou concept a deux propriétés fondamentales : la compréy<e«swn, c'est-à-dire l'ensemble des qualités qu'elle renferme, et V extension, c'est-à-dire l'ensemble des objets auxquels elle s'applique (Ps. 137). C'est à l'extension que l'Algèbre logique s'attache, parce que seule elle a quelque chose de sensible et fournit une matière à l'intuition, source des principes qui président au calcul. C'est pourquoi les symboles 4^mployés dans l'Algèbre logique représentent des classes et, par leur moyen, des concepts.

Il convient tout d'abord de déterminer les relations qui peuvent ■exister entre ces symboles — et les opérations dont ils sont susceptibles.

Les relations se ramènent à V inclusion et à V égalité.

La classe a est dite incluse dans b quand tous les éléments de a appartiennent k b ; xg : Les Bretons sont inclus dans les Français. Empruntant les signes algébriques, on écrira cette relation : a < fc.

Deux classes sont dites égales quand tous les éléments de a appartiennent à b, et i'ice versa. Exemple : L'homme est l'animal raisonnable. L'animal raisonnable est l'homme. Dans ce cas, a = 6 et /> = a. On <kM'ira cette double relation : a <ib et b <.a. Ce qui montre que la notion d'égalité revient à la notion d'inclusion qui seule est primitive.

Pour exprimer la négation de ces relations entre deux classes on recourt à des signes particuHers : a n'est pas inclus, dans b s'écrira : a <|^ b ; a n'est pas égal k b : a ^k b.

Le calcul logique n'a que deux opérations : Vaddition et la miiltiplication.

En combinant deux ou plusieurs concepts au point de vue de leur extension, on obtient un nouveau concept qui embrasse l'extension des premiers. La somme de deux classes a et b forme une nouvelle classe « -|- 6, qui comprend tous les éléments appartenant à l'une ou à l'autre, et s'interprète : tout ce qui est ou bien a ou bien b. En combinant ■a {phanérogame) et b (cryptogatne), on aura un nouveau concept : plante, dont l'extension comprendra le règne végétal tout entier.

(*) Delbœuf, Logique Algorithmique, Liège-Bruxelles, 1877.

(') Ern. SchrOder, Der Operationskreis des Logihkalhuls, Leipzig, 1877. — ■ Vorlesungen iiber die Algebra der Logih, 3 vol., Leipzig, 1890-1895.

(') («) Peirce et Mac Coll ont exposé leurs idées dans diverses revues américaines ou anglaises. — Mac Coll l'a fait aussi au Congrès intsrnational de Philosophie de 1900, T. III, p. 135-183. — Symbolic Logic and ils applications, Londres, 1906.

(') Peano, Arithmetices Principia nova Methodo exposita, Turin, 1889. — Principii di Geometria losicamente espositi, Turin, 1889.

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{>') B. RussEL, The Principles of Mathematics, Cambridge, 1903.

C^) HiLBERT, Les Principes de la Géométrie. Cette traduction de roriginal allemand est de Pierre Boutroux et a paru dans l'Enseignement Mathématique.

568 l'algèbre de la logique (38 '"^)

Si l'on additionne deux classes identiques, le résultat est égal à chacune des parties de la somme : a -{- a = a. Cette loi est nommée par ScHRÔDER loi de tautologie.

Le produit des deux classes a et h est la classe ah formée par tous les éléments qui appartiennent simultanément à l'une et à l'autre. Il n'y a pas toujours de produit : vg. : les deux classes des vieillards et des enfants n'ont pas de produit ou ont un produit nul.

En se reportant à la définition de la somme, on voit que le produit des deux classes a et ô, quand il existe, est cimtenu dans leur somme. On écrira par conséquent : ah <i a -~ h.

Lorsque les deux classes multipliées sont identiques, le produit est encore égal à chacun des facteurs. C'est la seconde loi de tautologie : aa — a. -

Si l'on doit additionner on multiplier plus de deux classes, on procède, comme en arithmétique, c'est-à-dire qu'on opère sur les deux premières classes, ensuite sur le résultat obtenu et sur la troisième, et ainsi de suite. A l'addition et à la multiphcation qui combinent des termes différents, il convient d'ajouter la négation qui porte sur un terme unique. Étant donnée la classe d, nous avons par le fait même l'idée de sa négation : c'est tout ce qui n'est pas a. On la symbolise par la même lettre surmontée du signe — : à. Ainsi la négation de la classe « animal » comprend tout ce qui n'est pas l'animal : les esprits, les hommes, les végétaux, les minéraux. La négation de a n'est donc que a. C'est la relation algébrique : — ( — o) = 0.

Ce symbole a ne ressemble pas cependant à une quantité négative, puisqu'il a une extension positive beaucoup plus étendue que le symbole positif correspondant : il représente en effet la totalité des êtres moins ceux qui sont (/ .

Grâce au symbole négatif on peut supprimer, dans l'Algèbre logique, la soustraction et la division, en leur substituant respectivement la multiphcation et l'addition par le concept négatif correspondant. Dunnons un exemple de la façon dont le langage se traduit en formules. Soit la proposition universelle affirmative : Tout Breton (a) est Français {h). Il y a plusieurs manières de traduire. On peut d'abord signifier que la première classe est contenue dans la seconde : a <C b. C'est la traduction la plus directe. Mais, pour le calcul, il est plus commode d'avoir affaire à des égalités. On signifie alors : 1" que tout Breton est un individu qui est à la fois Breton et Français : a = ah. — 2" ou bien.que l'on n'ajoute rien de nouveau à la classe des Français si on lui ajoute la classe des Bretons : h = a -\ - h. — 3^ enfin qu'il n'y a pas d'individu qui soit en même temps Breton etnon-Français, c'est-à-dire que le produit de ces deux classes est nul : ah = 0.

« On appelle en arithmétique module d'une opération le terme qui,

(SS"^'^) l'ai.gkbhk de la logique 509

combiné par cette opération avec une quantité quelcoiHjuo, ne modilie pas cette quantité. Le module de l'addition est 0, celui de la multi[)lication 1, puisque a-4-0=^aeta x 1 =a. En logique, 0 et 1 désigneront les modules des deux mêmes opérations. Or celui de l'addition est évidemment la classe vide ou nulle, celle qui ne renferme aucun élément. Nous avons déjà rencontré cette classe et nous l'avons appelée 0. Le module de la multiplication est la classe universelle, celle qui comprend tout ce qui peut être objet du discours. En la désignant par 1, on a bien a X l =z a, puisque tout individu de a appartient en même temps à a et à cette classe universelle » (^).

Il faut encore signaler les propriétés fondamentales de l'addition et de la multiplication, car elles sont la base de tout le calcul.

Ces deux opérations sont : 1°) Unwoqiies ; elles conduisent à un résultat unique.

20) Commutaiives : on peut, dans la combinaison de deux classes, intervertir l'ordre des termes : a -\- b = b A- a. ab = ba.

30) Associatives : quand on a trois classes à additionner ou à multiplier, on peut soit combiner les deux premières, puis le résultat obtenu et la troisième, soit combiner la première avec le résultat de l'opération effectuée sur les deux dernières: (a -|- b) -[- c= a ~\^{b ~\- c). {ab) c = a {bc).

40) Distribiitives : la multiplication est distributive par rapport à la somme : si on doit multiplier une somme par rapport à une classe, il suffit de multiplier chaque partie de la somme par cette classe et d'ajouter les deux produits :

{a ~\- b) c ^ ac -|- bc.

Inversement, la somme est distributive par rapport au produit : si on doit ajouter une classe à un produit, il suffit d'ajouter cette classe à chaque facteur du produit et de multiplier les deux sommes :

Deux propriétés caractérisent la négation :

1°) La somme d'un terme et de sa négation est égale à la classe universelle. En efîet, tout ce qui existe ou appartient à la classe a, ou ne lui appartient pas. C'est le principe du tiers exclu :

2°) Le produit d'un terme et de sa négation est égale à la classe nulle : rien n'existe qui, en même temps, appartienne à a et ne lui appartienne pas. C'est le principe de contradiction :

aâ = 0.

On a dans ces deux formules la définition formelle de la négation. Puisqu'elles sont symétriques en à et a, on peut considérer â comme la

C) a. DE Jerphanion, L'Algèbre de la Logique, dans Études, 1902, T. IV, p. 829-830.

570 l'algèbre de la logique (38'''^)

négation de a, ou a comme la négation de à. C'est la propriété algébrique déjà énoncée : — - ( — a) = a.

Remarques : 1°) Les lois fondamentales énumérées ci-dessus sont communes aux opérations de l'Algèbre et de la Logique, sauf la secondeloi distributive, les lois de tautologie et les lois de la négation.

2°) Les propriétés de l'addition et de la multiplication sont identiques. Entre la double série de relations qui les traduisent, la symétrie est telle qu'il suffit d'échanger les signes des opérations et, là où ils interviennent, les modules 0 et 1, pour passer d'une série à l'autre. C'est ce qu'on appelle le dualisme des formules logiques.

B. — Les symboles littéraux ne sont pas seulement aptes à représenter des classes, ils peuvent aussi représenter des propositions.

L'inclusion ou, mieux, Y implication a < b signifie que l'affirmation de la proposition a entraine l'affirmation de la proposition b. Elle permet de traduire tout lien, soit réel, soit logique, d'antécédent à conséquent. Exemples : elle traduit : une phrase conditionnelle : Si Descartes est de la Haye en Touraine (a), il est Français (6); ou une phrase consécutive : Ce triangle est équiangle (a), de sorte qu'il est équilatéral (b); ou une phrase temporelle : Lorsque je vous entends parler (o), je suis sous le charme (b) : — ou, indirectement, une phrase causale : Je suis sous le charme (/>), parce que je vous entends parler (a).

L'égahté a = b, signifiant que a entraîne b, et b entraine a, équivaut à la double imphcation : a <. b et b <. a. Cela se réahse quand :

1° Deux propositions expriment la même vérité : Tout homme est doué de raison, et : Il n'y a pas d'être qui soit à la fois homme et privé de raison.

2° Le défini est substitué à la définition : Ce triangle est équiangle, et : Ce triangle est une figure dont les trois côtés et les trois angles sont égaux.

La somme a -\- b exprime l'affirmation alternative de a et de b, c'est-à-dire l'affirmation de l'une ou de l'autre, ou même des deux si elle est possible. Cette phrase : Que Descartes eût vécu au xvii^ siècle {a), ou qu'il eût vécu au xviii^ (b), il serait pour nous un ancien (c), se traduit : a -\- b = c.

Le produit ab exprime l'affirmation simultanée de a et de b. Comme dans le cas des classes, ce produit n'existe pas toujours. Si l'on multipliait les affirmations : Descartes est français. Descartes est Hollandais, il n'y aurait pas de produit, parce qu'on ne peut affirmer simultanément ces deux propositions. Quand le produit est possible, il est contenu dans la somme des deux affirmations : vg. : Descartes est Français (a), Descartes est Tourangeau [b). On écrira : ab = aA- b.

La négation â exprime la contradiction de a : H est Français [a) ; il n'est pas Français (à).

(38 ^"') l'algèbre de la logique 571

Le module o exprime l'affirmation nulle ou Terreur; le module 1, l'affirmation universelle ou la vAritô.

Il serait trop long et trop compliqué d'exposer ici comment on arrive à de nouvelles propositions en combinant les équations ou inéquations logiques (^).

Ce que l'on a dit suffit pour donner une idée du caractère de l'Algèbre logique et montrer comment elle se plie aux exigences de la pensée.

Un lien existe entre le calcul des classes et le calcul des propositions. Ils peuvent même se ramener l'un à l'autre, ce qui explique leur symétrie.

m. UTILITÉ ET AVANTAGES

On peut considérer l'Algèbre logique d'un double point de vue, soit comme art pratique, soit comme science pure.

A. — L'Algèbre logique sert de pierre de touche pour contrôler le contenu des définitions, si l'on veut aboutir à une rigueur absolue. Car souvent les mots, à cause des sous-entendus du langage, que chacun interprète à sa façon (c'est ce que l'on a nommé « la valeur subjective » des mots), introduisent subrepticement des équivoques dans les définitions et, par suite, dans les déductions. Réduits, au contraire, à l'état de symboles, les mots garderont, dans tout le cours du raisonnement, leur signification invariable.

L'Algèbre logique, étant un instrument perfectionné de déduction, fera merveille s'il s'agit simplement de tirer d'un petit nombre d'éléments primitifs une longue série de conséquences. C'est pour cela qu'on a pu en faire déjà de multiples applications en Mathématiques.

Mais, s'il s'agit d'approfondir les concepts, de discerner ce qu'ils ont entre eux d'irréductible, d'identique ou d'analogue, le secours de l'Algèbre logique se réduit au contrôle dont nous avons parlé. Car ce travail d'approfondissement et de discernement est l'œuvre propre de la réflexion. Aussi, avant d'étabHr son calcul logique, Leibniz entreprit la composition d'une encyclopédie, qui devait comprendre tous les concepts décomposés en leurs éléments simples. Ce répertoire terminé, il eût été facile de préparer les prémisses des raisonnements ; il aurait suffi de donner pour prédicat à chaque terme tous les éléments qui le constituent, pris isolément ou deux à deux, ou trois à trois, et ainsi de suite. Le génie de Leibniz fut inférieur à la tâche. Tant qu'elle ne sera pas menée à bonne fin, (le sera-t-elle jamais ?), le rôle pratique du symbolisme en Philosophie sera très limité.

B. - — Envisagé comme science piire^ le calcul logique offre le plus vif intérêt. « On a défini la Logique « la science de la pensée en tant que

(') Voir les auteurs cités : Homans, Hontheim, Couturat, etc.

572 l'algèbre de la logique (38 ^'^)

pensée » ; l'algèbre logique n'étudie pas autre chose. Ne tenant nul compte de la valeur de nos concepts et de nos jugements, elle cherche uniquement comment ils se combinent, s'opposent, se déduisent les uns des autres. Elle fait plus : elle nous révèle des analogies que la Logique ordinaire laissait à peine saillir. Grâce à la double interprétation de ses symboles, elle montre la parfaite similitude de forme qui existe entre la proposition simple et la phrase conditionnelle, entre le syllogisme ordinaire et le syllogisme hypothétique : pour elle ce ne sont qu'une seule et même forme. Suivant l'une ou l'autre interprétation, elle exprime très exactement le double sens que prennent les principes d'identité, du milieu exclu, de contradiction. Le dualisme des formules, avec les lois de Morgan {^) qui l'exphquent ou le développent, met en lumière un fait logique remarquable et qui, sans elle, passerait inaperçu. Enfin, de toutes les lois de la Logique elle offre un énoncé simple, clair, un énoncé surtout où ces lois apparaissent rehées aux principes d'où elles découlent. Trop souvent les Logiciens ne présentent qu'un ensemble de règles empiriques. Ici tout s'enchaîne et, par quelques axiomes primitifs, nous voyons la raison de tout.

« Mais si nous passons au point de vue mathématique, l'intérêt grandit encore. Là même est le principal intérêt de la science nouvelle. Le calcul de Leibniz et de Schrôder est une algèbre bien plus qu'une logique... C'est une chose admirable que cette générahsation hardie des procédés de l'arithmétique et de l'algèbre. Beaucoup croyaient la mathématique réduite à n'étudier que la seule quantité : et voici une algèbre où la notion de quantité est à peu près inconnue. Ils s'imaginaient le symbohsme littéral susceptible d'une seule interprétation en nombres ou en grandeurs concrètes : et les formules nouvelles représentent directement toute qualité. Elles représentent même des affirmations, choses qui, en soi, n'ont avec la quantité aucun rapport. Ainsi apparaît de mieux en mieux cette vérité, soupçonnée déjà depuis quelque temps, que l'objet des sciences mathématiques, ce ne sont point les nombres et les grandeurs, mais bien les combinaisons des nombres et des grandeurs. Et ces combinaisons ne sont nullement définies par la nature des éléments qui les constituent : leurs propriétés formelles seules les caractérisent. Là où se trouvent ces mêmes propriétés ou des propriétés analogues, là se trouve la matière d'une algèbre. La Logique offre un premier objet à cette extension de la mathématique. M. Whitehead nous a donné, après Grassmann, une algèbre géométrique ; M. Schrôder, une logique des relations. La mathématique devient de la sorte la véritable science universelle : tout raisonnement est une combinaison ; toute combinaison

(') L. LiARD, Les Logiciens anglais contemporains, Cli. iv.

une opération algébriquement définissable : l'algèbre s'étend à tout. Et entre tous les domaines de la pensée humaine elle établit comme un vaste réseau de lignes de rappel. Entre les combinaisons du tout et de la partie, de l'antécédent et du conséquent, entre celles du nombre, de la grandeur, de la position, de la relation, elle fait surgir des rapports et des analogies insoupçonnées ; et ce spectacle, où transparaissent la grandeur, l'unité, l'harmonie du monde et de l'esprit de l'homme, n'est pas sans quelque beauté » (^).

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