ORIGINE DES NOTIONS MATHÉMATIQUES

pour avoir Vidée de leur nombre : les animaux, les idiots, les sauvages perçoivent comme nous les objets et ils n'ont pas l'idée des nombres. L'abstraction même n'y suffit pas, car elle ne dégage de rexpérience que ce que l'expérience contient. Or le nombre n'existe pas formellement dans la réalité ; le nombre, comme dit Euci.ide, est une « collection d'unités ». L'esprit trouve dans la réalité un fondement : à savoir des unités, mais c'est lui qui les réunit et les rassemble, qui en fait une collection, un nom"bre en un mot. Le nombre est donc une construction de l'esprit ; c'est une relation qui a un fondement réel ; mais qui n'existe formellement que dans l'intelligence : f undamentaliter in re, formalité/' in intellectu (Ps. 140, IV).

IL — Figures : 1^ D'abord le mathématicien étudie certaines figures qui n'existent pas et qu'il ne peut se représenter : vg. lignes asymptotes, un kiliogone, un myriagone.

2° A la différence des nombres, il faut reconnaître que l'expérience nous olTre des exemples de certaines figures : vg. lignes droites, circonférences, triangles, sphères, etc. Mais ces figures concrètes n'ont pas les caractères de celles dont s'occupe le mathématicien ; il n'y a pas dans la nature de points sans étendue, de lignes sans largeur, de surfaces sans épaisseur. On répondra que dans une ligne on peut faire abstraction de sa largeur, etc. C'est vrai ; mais c'est déjà recourir à l'activité de l'esprit. De plus, les figures que nous présente l'expérience sont imparfaites : où trouver dans la nature une ligne absolument droite, une circonférence aux rayons rigoureusement égaux (^) ? L'abstraction ici est impuissante ; elle peut bien isoler les éléments d'un tout concret, mais elle n'ajoute rien aux données de l'expérience : vg. elle peut, dans la représentation d'une hgne, laisser de côté la représentation de la largeur qui s'y trouve jointe ; mais elle est incapable de rectifier cette hgne. Il faut donc que la raison corrige les irrégularités des figures concrètes : c'est une œuvre de reconstruction. Pour ce travail l'expérience ne nous ofTre aucun modèle parfait ; elle nous sert seulement d'occasion et de point de départ. C'est de ces figures reconstruites, conséquemment idéales, que les mathématitiques s'occupent : leurs propriétés résultent nécessairement de la loi suivant laquelle l'esprit les a créées.