ORIGINE DES NOTIONS MATHÉMATIQUES

des constructions. Ces constructions sont faites par l'esprit avec des éléments empruntés à l'expérience ; ainsi l'expérience et rintelligeuce s'unissent pour les produire.

A) Éléments : 1° Les nombres supposent comme élément la notion d'unité, qui est due à l'expérience interne ; nous avons conscience d'une seule .force agissant en nous et de là nous formons l'idée d'unité (Ps. 72, II), que nous étendons aux objets du monde extérieur.

20 Les figures supposent comme éléments l'espace, le point et le mouvement, dont l'expérience externe nous suggère l'idée : c'est à l'occasion de certaines sensations que nous concevons l'espace, le mouvement et le point.

B) Opérations : 1° Le nombre est engendré par l'addition des unités qui en fait une collection.

2o Avec l'espace, le point et le mouvement, on a tout ce qui est nécessaire pour engendrer la ligne, que Leibniz définit : « le tracé idéal d'un point en mouvement dans l'espace ». Avec la ligne on construit les différentes figures : « Avec des droites qui se coupent deux à deux, en formant certains angles, on construit tous les triangles, tous les quadrilatères et, en général, tous les polygones. » Le cercle est une figure engendrée par la révolution d'une droite autour d'une de ses extrémités. )\Avec la révolution du demi-cercle autour de son diamètre, du rectangle autour d'un de ses côtés, du triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit, nous fabriquons la sphère, le cylindre, le cône ; avec des sections du cône, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole (^). » Les propriétés des figures ainsi construites sont certaines, nécessaires et universelles, parce qu'elles résultent de la construction toujours identique des figures et que la définition indique la loi générale de ces constructions.

Conclusion : « Les définitions mathématiques sont suggérées à fesprit par l'expérience, puis rectifiées par l'esprit et enfin énoncées de manière à exprimer la loi d'après laquelle l'objet de la définition est construit. Ainsi l'expérience montre à l'œil des figures à peu près circulaires, l'horizon, l'arc-en-ciel, les ronds que fait une pierre en tombant dans l'eau ; à l'occasion de ces cercles l'esprit conçoit la vraie figure circulaire, celle dont tous les points extérieurs sont à égale distance d'un point intérieur ; et enfin se demandant par quel procédé il pourrait construire le cercle ainsi conçu, l'esprit voit que le cercle est engendré par la révolution d'une droite autour d'un point. Exprimant alors cette loi de construction on a la définition du cercle, non pas seulement descriptive, mais explicative, ou, comme disent les géomètres, per generationem (^). »

(') Taine, De l'inleUigence, P. Il, L. IV, Ch. I, § II.

{') FoNSEGRiVE, Élànents de philosophie, Logique, XII« leçon, § I.