LES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES

La Géométrie classique est appelée euclidienne parce qu'elle repose sur le postulatum d'Euchde. Or, sur la question de la possibiUté des parallèles, trois postulats indémontrables sont concevables. De là résultent trois géométries opposées :

I. — La Géométrie euclidienne suppose que par un point on ne peut mener qu'une seule ligne droite parallèle à une ligne droite donnée.

II. — La Géométrie imaginée par Lobatchevsky (1793-1856) suppose qu'on peut mener, dans le même plan, une infinité de lignes incapables de rencontrer une droite donnée. « Toutes ces lignes, qualifiées de non-sécantes, formeraient un faisceau compris entre deux lignes hmites ; et plus l'angle de ces dernières serait grand, plus on s'éloignerait de la géométrie eucHdienne, avec laquelle le nouveau système se confondrait si l'angle en question devenait nul. » Le trait caractéristique de ce système est que la somme des trois angles d'un triangle est toujours plus petite que deux angles droits.

III. — La Géométrie due à Riemann (1826-1866) suppose que par un point on ne peut mener aucune parallèle à une droite. Le trait saillant de ce système est que la somme des trois angles d'un triangle est toujours plus grande que deux angles droits.

Ces géométries non-euclidiennes sont construites dans un espace à quatre, cinq ou n dimensions, appelé hyperespace, qu'on ne peut imaginer ni figurer.

(M Pensées, Art. VII, 2, Éd. Havet.