PAR LES LIQUIDES PESANTS

66. •l^cC de l'hydrostatique. — L'hydrostatique a pour objet Fé* tnde des fluides à Tétat d'équilibre.

Elle se divise naturellement en deux parties relatives, Tune aux liquides, et l'autre aux gaz. La première seule nous occupera dans ce chapitre.

67. IjC« liquides gavent être eoneidérés eomme doués d'uue iBoMlIté iMirfoite et comme alisolameiit tneompressibles. — On regarde, en hydrostatique, les liquides comme doiiés d'une mobilité parfaite et comme absolument incompressibles.

La première hypothèse, celle de la mobilité parfaite, s'écarte peu de la Térité pour certains liquides tels que l'eau, Tèther, le sulfure de carbone. C'est ce dont il est facile de se convaincre en agitant vivement des flacons en partie remplis de ces liquides : l'écume produite par l'interposition des bulles d'air dans la masse se dissipe presque instantanément, tandis quVJe persiste beaucoup plus longtemps sur d'autres liquides, tels que l'huile ou l'acide sulfurique, à cause de la résistance qu'éprouvent les molécules à reprendre leurs positions primitives d'équilibre. Celte résistance, qu'on désigne sous le nom de viscoHté, existe dans tous les liquides à un degré plus ou moins considérable : nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, qu'elle soit assez faible pour qu'on en puisse complètement négliger les effets. — Quant à la seconde hypothèse, celle de Tincompressibilité, c'est-à-dire de l'invariabilité du volume, elle peut également être admise comme exacte, dans fous les cas où les pressions exercées sur les liquides ne sont pas extrêmement considérables (*).

(*) Toir ta note de la page 90.

MIOX ET FSRIfET. 4

68. Fripcipe fondamental de l^hydroetatlqne ou prinei^ de la tranamlMlon des preeelone. — L* hydrostatique tout entière repose sur le principe suivant, énoncé par Pascal :

Sij sur une portion plane de la wrface d'un liquide, on exerce une pression déterminée, cette pression se transmet intégralement à toute portion de paroi plane ayant une surface égale à la première.

On trouve une confirmation de ce principe dans la presse hydraulique, dont la première idée est due à Pascal.

Réduite à sa plus simple expression, cette machine se compose de deux cylindres verticaux À et B (/î^. 44), de diamètres différents, qui communiquent par un tuyau CD. Dans chacun d'eux peut se mouvoir un piston.

et rintervalle compris entre les deux pistons est entiè-

'"^m^yy^mmm

rement plein d'eau.

Supposons, pour tixer les idées, que la surface du plus grand piston P soit égale à 100 fois celle du plus petit/?. Plaçons sur ce dernier un poids de 20 kilogrammes, par exemple ; il exercera siir le liquide qui est au-dessous de lui une pression verticale. Cette pression,d'après le principe énoncé, doit se transmettre sans altération à toute portion égale à p de la surface du piston P; donc, si le principe est exact, la pression totale transmise à ce dernier piston doit être égale à 100 fois 20 kilogrammes, ou à 2000 kilogrammes. On reconnaît, en effet, après avoir chargé le piston p du poids de 20 kilogrammes, que le piston P tend à s'élever dans le cylindre A, et que, pour le maintenir dans sa position première, il faut le charger d'un poids égal à 2000 kilogrammes.

I^ous décrirons plus loin (chapitre vi) les détails de construction de In presse hydraulique, qui ont fait de cet appareil une des machines les plus utiles à l'industrie. — Observons, dès à présent, qu'elle permet de développer une force très-considérable à l'aide d'un effort très-petit. Mais, de même que, dans toutes les machines qu'on étudie en Mécanique, ce qu'on gagne en force, on le dépense en chemin parcouru; car la section du cylindre A étant égale à 100 fois celle du cylindre B, la quantité dont pourra s'élever le piston P n'est évidemment que la centième partie de celle dont se sera abaissé le piston p,

69. Remarque enr l'applleatlon dn prinelpe qnl précède anx liquides pesante. — Il résulte des explications précédentes que, toutes les fois qu'on exerce artificiellement une pression sur une portion

ËQDIUBRE.DBS LIQUIDES. M

quelcoaque de la surface d'un liquide, si le liquide était dépourvu de pesanteur, des portions planes quelconques de la paroi supporteraient toujours des pressions proportùmnellei à leur» wrfacft, — En réalité, tous les liquides sont pesants, et les pressions qu'ils exercent en vertu de l'aclion de la pesanteur, sur des portions égales de parois, sonl, ainsi qu'on le Terra plus loin, d'autant plus grandes que ces parais sont situées à une profondeur plus grande. Dans le cas de la presse hydraulique, les pressions dues à la pesanteur étant, en général, trés-petiles par rapport aux pressions que l'on exerce sur l'appareil, les clioses se passent à peu prés coniine si le liquide n'était pas pesant. Hais, dans les cas où ces deux espèces de pressions sont du mêine ordre de grandeur, on devra considérer la pression totale que supporte une portion de paroi comme égale à la somme de la pression transmise et de la pression due à la pesanteur. — Nous savons calculer la première, nous verrons bienlâl comment on dé< termine la seconde.

70. La pMHloB ex«rc«e par m» ll«|Nlde en ««BlUbra awr on Aémtimt d« paroi «M tovjoara nomale * «c( éiAaMat. — Quelle que soit l'origine de la pression exercée sur un élément de paroi, par un liquide en équilibre, cette pression est toujours normale à l'élément considéré. — En efTet, si la pression était oblique, elle pourrait se décomposer en deoi forces, l'une noi'male et l'autre située dans le plan même de l'élément; cette dernière aurait pour elTet de faire glisser sur la paroi les molécules liquides par lesquelles s'eierce ta pression, c'est-à-dire de rompre l'équilibre.

71. Ëcalii« de preMloB émam loaa kaaeaa mmtamw*'wm p«lBt, pria diaaa l'iBtérIcar d'na UqoMe en éqalllbrc. —Les pressions que l'on exerce sur la surface d'un liquide se transmettent, non-seulement i la paroi du vase, mais encore à tout élément de sui'face pris dans l'intérieur du liquide. y

Pour nous en rendre compte, imaginons un vase CD {/ig. 45) enlière- HieiU rempli d'un liquide eu équilibre, et supposons que sur une portion mu de la surface de ce liquide on oïerce, à l'aide d'un piston A, une pression déteroiinée. Soit B un point quelconque, pris dans l'intérieur du liquide, et soit IH un plan quelconque, mené par ce point.

L'équilibre ne sera pas troublé si nous supposons que les molécules liquides comprises dans ce plan viennent à être ^^'

liées entre elles, de manière à constituer une paroi solide. Hais alors la partie AIHD devient elle-même un vase fermù : soit pq une portion trèspetite du plan IH, comprenant le point B ; pq reçoit une pression dont le tappon à la pression exercée sur nin est égal au rapport même des

53 PBSANTEUn ET fltUROSTlTIOUE.

surraces pq et mn (68), el celle pression est normiile au plan pq (70). — Si maintenant on rend la mobilité à toutes les molécules, sauf à celles de la portion pq, on voit qu'il faut, pour que pq resle en équilibre, qu'il supporte sur son autre face une pression égale et contraire, — Or nous avons supposé au plan IH une direction absolument arbitraire ; la pression reçue par la portion pf de ce plan ne dépend donc nullement de sa direction, el, si l'on imagine (|ue celte petite surface plane prenne autour du point B toutes les posilions pos- ^'8- *■ sibles pq, p'q', etc. {fig. 46), la pression

normale qu'elle reçoit sur ses deux faces demeure invariable. — C'est là ce qu'on exprime, d'une manière abrégée, en disant que, datu vn liquide en équilibre, la pretsion eit la même dam toui la leiu autour d'un

n. CamMOtm 4'«qalUtar« «■■■ Uqalde pciMBt. — Égalité de pmatooa «■ tons le* polats d'nn plaa borlBostal. — Les principes qui précèdent suffisent pour résoudre toutes les questions relatives à l'équilibre des liquides, quelles que soient les forces qui les sollicitent. — Mous nous bornerons à les appliquer aux liquides qui sont toumit à l'action de la petardeur teule, et que, pour abréger, nous appellerons sim. plement liquide! peiantt,

La condition générale d'équilibre d'un semblable liquide est la suivante :

Dan* tout liqwde pétant en équilibre, la preetion ea la mime en toua le* pointe d'un même plan horizontal.

Supposons d'abord que le liquide remplisse entièrement un vase ABCD {fig. i,1) fermé de toutes paris, Soil m et m' deux points pris dans un même plan horiiontal. Imaginons un cylindre circulaire droit, ayant pour bases deux petits cerclese^e'/', décrits autour de m et de m' avec des rayons infmiment petits. Si nous supposons que toutes les molécules comprises dans ce cylindre soient liées entre elles, de manière à constituer un corps solide, au milieu du lluide environ- Fig. n. nant.cesolidedemeurera évidemment

en équilibre sous l'action des forces qui le sollicitent, c'est-à-dire sous l'action de son poids et des pressions que le liquide eierce sur toute sa surface. —Or le poids P est perpendiculaire à mm'; les pressions exercées sur les divers éléments de la surface convexe sont également perpendiculaires à mm': aucunede ces forces ne sollicite lecylindredanslesena

EQUIUBKE DES UQUIDES PBS&Hrs. 53

de scn axe. Au contraire, les pressions p et ;>', exercées sur les bases, sont dirigées suivant l'aie même du cylindre. Donc, si le cylindre est en équilibre, c'est que, d'une part, la résultante des pressions exercées sur la surface conTexe est une force égale et opposée au poids P, et que, d'autre piH, les forces p elp' sont égales entre elles.

Hendons mainlenant la fluidité au cylindre, à l'exception des molécules situées dans les éléments plans ef, e'f. Chacun de ces éléments éprouvera, sur ses deui faces, des pressic:» égales à p ; et il en sera encore de même si l'on donne aux éléments des directions quelconques autour de m et de m'. — C'est li ce qu'on exprime, d'une manière abrégée, en disant que, dans un liquide pesant en équilibre, la pression est la même en tous les points d'un même plan horiiontal.

73. WUUrtmoa da prcsatona •■ppcrtéea fmr 4e« tJfmtiimÊta «(BU, BOB «liiaCa amr va MitiMii plan bMrlmoBUd. — ConsidérCHis un cylindre efe'f {fig. 48}, dont les bases swenl situées dans les plans horiiontaux AC, AU', et dont les arêtes soient verticales. Solidifions encore, par la pensée, tes molécules liquides comprises dans le cylindre. Les seules forces qui tendent à déplacer le solide dane le sens de son axe sont : le poids P, appliqué au centre de gravité G, et les deux pressions p et p", normales aux Fig. W.

bases. Puisque l'équilibre existe, la pression p", dirigée de bas en baul, doit être égale à la résultante des deux forces p et P dingécs de liaut en bas. ou à leur somme p + P.

Donc la preuion qui j'exerce tur l'élément tff ett égaie à ta preuion que tappotie t'élémenl égal ef, plut le poidt d'une colonne cylindrique de liqitide ayant pour bau l'un det élément* et pour hauteur ta diilanee det ptait» horiionlaux AC et A'C.

La même proposition s'appliquerait à deux éléntents égaux e/, C/', non compris entre les mêmes verticales, puisque e'f et e"f" éprouvent des pressions égales.

74. La ■■rfaea Ubn «'■■ llqoMe f eB»M« doit Mre plue et b«rl>oN- Mle. —Supposons qu'un liquide pesant ne remplisse pas entièrement le vase qui le contient, et qu'il se termine à une turfaee

libre dont les divers élémeiils ne supportent pil. 49.

aucune pression.

Soit 8B' la surface libre {fig. 49) : prenons, dans un plan piorizontal kC mené au-dessous de cette surface, deux éléments égaux m, n, et con- ^Inûswis les cylindres verticaux mm', nn', qui ont ces éléments pour ba-

M PESANTEUR ET HTDROSTATIOCE.

ses et se (eiminenl à la surface libre. La pression sur la surface libre étalât nulle, la pression en m est égale au poids du liquide contenu dans le cylindre mm' (73) ; en n. au poids du liquide contenu dans le cylindre nn'. Or ces deux pressions doivent élre égales entre elles (72) ; donc tous les points lels que m' et n' doivent élre à la même dislance du plan horizontal AC, c'est-à-dire que la surface libre doit être elle-même plane et horiumlaU.

75. Prcasloa «xcre<ep«r walViaddepcaaatBMrlefbBdbori- BoatBl d'BB TMc.— ' Prenons, sur le fond horizontal d'un vase ABCD [fig. 50), un élément de surface mn, et décrivons un cylindre vertical ayant cet élément pour base ; supposons que toutes les arèles rencontrent ta surface libre du liquide, elles y découperont un élémenl m'n' égal à mn. Or la pression que le liquide exerce sur mn, en vertu de son poids, surpasse la pression en m'n' (73), d'une quanlité égale au poids d'une colonne cylindrique de liquide ayant pour base mn et pour hauteur la distance m'n' de la surface libre AD au fond BC du vase ('). — Décomposons maintenant la paroi horizontale BC tout entière en éléments tels que mn; les pressions verticales que supportent ces éléments se composeront en une seule, égale à leur somme. Donc :

La pnuion exercée par lat liquide pemnt nir le fond horizontal du vote qui le contient, ett égale au poidt d'une colonne cylindrique de ce liquide ayant pour base la turface du fond et pour hauteur ta dittance au plan de la turface libre.

"ie. YériScatloB cxp<rlm«Blale. — D'après l'énoncé qui précède, si l'on considère trois vases comme ceui de la ligure 52, l'un A cylindrique, le déuiiéme B élargi, et le troisième C rétréci à la partie supérieure, mais ayant des fonds égaun, et si ces trois vases contiennent un même liquide, s'èlevant à la même hauteur au-dessus du plan du fond, les pressions doivent être égales sur les trois fonds. —Ce résnllat peut

('] Il K) encore de m^inc si 11 Tonne du vase e( 1i silualîon de t'^lement nH H>Dt

Ileltes que les «riHe» du cjiindre consiniil lur cet élémenl ne reiicuntrent pai le nirface libre (/ijj. SI). Pour le djmonirer. |>renotis sur la surlace libre un élément riiunlal IH. situé de fa;on que lei deai projectioni pq tiion est égale 1 la preision en pq, augmenlée du poids du cylindre nnpq; en pg, la pfesaïOD esl la même qu'eo p'if, c'est-i-dire qu'elle esl égale ta poidi du cjiindre [ig.51. ji'f'mV. Donc la pretiionen mn esl égale au poidi d'une

colonne cylindrique de liquide qui aurait pour base nn, el pour liauleur la distance mK au plan de la surface libre.

PRIMIONS SUR LE FOND DBS VASES. 55

être vérifié à l'aide d'une disposition qui a été proposée par A. Hasson, et qui est une modificatitm d'un appareil imaginé par Pascal.

Trois Tases A, B, C, sans fond (/ïj. 52), de formes différentes, mais présentant à leur partie inférieure des ouvertures égales, peuvent se visser

Fig. 51, — Apptreil de A. Hasson.

sur un trépied métallique ; l'un deui A étant placé sur ce trépied, on appbque sur son ouverture inférieure un ahturaleur MN, c'est-à-dire un disque de verre bien plan, qu'on suspend par un fil T à l'extrémilé P de l'un des bras d'une balance : on place ensuite des corps pesants dans le plateau qui est à l'extrémilé de l'autre bras, de manière à appliquer assec Iffirtement l'obturateur sur le bord de l'ouverture. On verse alors de l'eau avec précaution dans le vase, jusqu'à ce que l'obturateur se détache el laisse échapper quelques gouttes de liquide ; à ce moment, la pression exercée de haut en bas sur ce fond mobile par le liquide est égale en j^randeur à la force avec laquelle il est maintenu contre les bords de l'ouverture ; on marque le niveau de l'eau au moyen du petit index E, mobile le long d'une tige verticale. — On remplace alors successivement le ns» A par les vases B et C, sans loucher h l'indei : l'expérience montre que Tobturaleur se délache toujours au moment où le liquide atteint le Diétne niveau.

La pression est donc la même ntr te fond dei (roi* vaiei ; quant i sa

valeur absolue, on peut la déterminer, au moins grossièrement, en plaçant sur l'obturateur, au lieu d'eau, des poids marqués : on trouve que la somme des poids nécessaires pour le détacher est précisément égale uu poids total de Teau qu'on avait dû verser dans le vase cylindrique A. 11 en résulte que, pour le vase élargi B, la pression exercée sur le fond est

inférieure au poids de j ij l'eau que contient le vase ;

d ans un vase rétréci tel que (J, elle est au contraire supérieure au poids total de leau.

L'appareil de de Haldat (fig, 55) conduit à la même vérification. — Le tube de verre deux fois recourbé MNPQ s'engage en M dans une monture de fonte, sur laquelle peuvent se visser à volonté les trois vases A, B, C. On introduit du mercure dans le tube recourbé; puis, le vase A

Fig. 53. — Appareil de Haldat.

étant mis en place, on y verse de l'eau jusqu'à ce que le niveau atteigne l'extrémité de la pointe verticale t, et l'on marque le point H auquel s'est élevé le mercure dans la branche PQ, au moyen d'une bague qui glisse le long du tube. On retire ensuite, en ouvrant le robinet R, Teau du vase A ; on enlève ce vase, et on recommence l'expérience avec chacun des vases B et G : on constate toujours que, à l'instant où le niveau de l'eau atteint l'extrémité de la tige t, celui du mercure dans la branche PQ vient aflleurer au bord de Tonnean demeuré en H. — Donc la pression supportée par la surface du mercure dans la cuvette est la même dans les trois expériences, bien que les formes des vases auxquels cette surface sert successivement de fond soient très-diiTérentes.

77. Pressions sar les |Mirols latérales. — L'existence des pressions sur les parois latérales peut se démontrer par l'expérience, en pratiquant des ouvertures dans les parois d'un vase : le liquide s'échappe par chaque ouverture, en formant un jet qui est d'abord normal à la surface enlevée et qui s'infléchit ensuite sous l'influencede la pesanteur.Les molécules liquides qui touchaient la paroi exerçaient donc contre elle une pression normale.

Pour évaluer cette pression, prenons sur une paroi latérale d'un vase ABGD {fig. 54) un élément de surface mn, que nous supposerons assez petit pour pouvoir le considérer comme plan, et pour pouvoir regarder les distances verticales de tous ses points au plan de la surface