II. — MIROIRS PLAHS

712. DlTevses espéees de miroirs. — On donne, en Optique, le nom de mtrotr à toute surface dont Fopacité et le degré de poli sont suffisants pour qu'elle réfléchisse régulièrement presque toute la lumière qui i^* rencontre.

Au point de vue de la forme de leur surface réfléchissante, on distingue les miroirs en miroirs plaru et en miroirs courbes.

Quanta la nature de la surface réfléchissante, nous supposerons d'abord qu'il s'agisse exclusivement de miroirs métalliques (*).

(*) Au point de vue de U nature de la surfiice réfléctiissante, on disUngoe 1^ miroirs en miroirs métalliquet et en miroirs étamé$.

Les miroirs métaUiques sont faits d'une espèce de bronze très-dur, qui peut acquérir un très-beau poli : on les a employés longtemps dans la construction des télescopes- — On emploie maintenant, pour les télescopes, des miroirs dont la surface est formée d'une couche mince d'argent, déposée sur une surface de verre : le travail qui est destiné à donner à cette surface une forme convenable se fait avant l'argenture ; il est beaucoup plus facile que celui des miroirs de brome.

Les miroirs étamés sont formés d'une lame de verre, à la face poêtérieure de laquelle on a appliqué une couche mince d'amalgame d'étain (tain des glaces) ; ce sont ces miroirs qu'on emploie exclusivement dans la décoration des appartements.

HIROIHS PLAHS. 031

713. Km miroir plaa doBne dea Imm^m ■jiial^MM des •bjeta pbMte 4ciTBBt la Barface r^IéeUaiMiBt«. — Cotuidèrons d'abord un point lumineux A [fig. â55), placé devant un miroir plan: menons par ce point un plan quelconque perpendiculaire au miroir, et prenons ce plan pour plan de la figure : suit HN la ligne suivant laquelle il rencontre le miroir, et AB un rayon incident contenu dans ce plan. La perpendiculaire BP, menée au miroir par le point d'incidence, est contenue dans le plan AMN ; donc, d'après la première loi de la p. -jj.

réflexion (707), le rayon réfléchi BC

est contenu dans ce même plan; d'après la seconde loi [ibid.} l'angle de réflexion PBC est égal i l'angle d'incidence ABP. — Cela posé, abaissons du point A sur le miroir une perpendiculaire Al, et prolongeons-la derrière le miroir jusqu'à sa rencontre, en A', avec le prolongement du rayon réfléchi. Il est aisé de voir que les points A et A' sont symétriquement placés par rapport au miroir ; car les deux triangles AIE et A'IB ont le cAté BI commun, les angles AIB et A'IB égaux comme droits, et les angles IBA et IBA' égaux, puisque le premier est le complément de l'angle d'incidence et que le second est égal au comidémenl de l'angle de réflexion : donc les deux triangles sont égaux, et l'on a AI ^A'I. — Or le raisonnemeni précédent s'applique à un rayon quelconque parti du point A, que ce rayon soit contenu dans le plan AHN, comme le sont les rayons AB, AB', AB", ou dans tout autre plan perpendiculaire à la surface du miroir; donc le» prolongeinenti de tout let rayom réfléchit pauent au point A', lymétriquede Apor rapport aumiroir. — Or, en général, quand un rayon lumineux arrive i l'œil après avoir subi un ou plusieurs changements de direction, l'impression reçue est toujours celle que produiraitun point lumineux, situé quelque part sur le prolongement géométrique de la dernière direction de ce rayon. Dés lors, sil'œil est placé de manière i recevoir un certain nombre de rayons réfléchis par le miroir, ces rayons sembleront partir du point A', qui appartient à la Tois aux prolongemeuts de tous ces rayons et qu'on appelle Vimage du point A (*).

Supposons enfin que, devant un miroir plan, on place un objet lumineux ou éclairé. Les dilTérents points A, D (fig. 555), de cet objet auront leurs images respectives aux points A', D*, symétriquement placés par rapport au miroir; toute dimension linéaire telle que AD aura

{') il en résulte iianiédiateinent que, ù I'od fiil tomber tur un miroir plan un tniiceau de rayons lumlneni CD, CO, etc., qui convergait ven un point A'. lilué derrière le miroir, les njom réfléchis mnvergenl eert un point A, igmétri^t d*

en OPTIQUE.

donc pour image nne droite A'iy, égale à AD et symétriquement placée. — Il en résulte que, si l'objet est une figure plane, son image sera ane ûgwe superposable avec lui; au contraire, si l'objet est un polvédre ou un soiià. quelconque, il sera en général impossible de le superposer géoniétriqu«' ment avec son imuge. Ce dernier cas se présente pour l'image d'une personne vue par rétleiton dans une glace : le cftié droit de l'iniiige est ITmage du cAté gauche de la personne, et n>ciproquemenl.

714. ImMges loTiaétm par dens mlrolra parallèles. — Soïl i {fig. 556) un point lumineux placé entre deui miroirs parallèles, et o Is position de Tceil ; par les points A et o, menons un plan perpendicnlatri' aux deux miroirs, et prenons ce plan pour plan de la figure ; soit GL' l'i tX' les droites suivant lesquelles il coupe les miroirs. — L'obserralit:; montre que l'œil aperçoit, derrière BB* une série d'images du point A en b, a', a', etc.; et derrière CC', une série d'images a, k', »", etc., <i:i même point : il est facile d'expliquer ta formation de (outc^ CCS images.

Et d'abord, les rayons qui arriTent à Toeil après avoir subi une seule réHeiion, sur l'un on sur l'autre miroir, donnent nai> ■ sance aux images a et «. symétriques de A par rapport à BB' o

Pour rendre compte des .tu- Ires images, il faut considénr des rayons qui n'arriTent ï l'a-i!

qu'après avoir subi plusieurs réflexions. — Tous les rayons qui f j, g]^ se sont réfléchis une premièrr

fois sur le miroir BB", se comportent comme t'iU émanaient du point a, syméirique de A par rapport à BB- (713); si donc, avant d'arriver ï l'œil, ils se réfléchissent une seconde fois sur le miroir CC, leurs prolongements, après cette réflexion, iront concourir au point «' syméirique de a par rapport à CC; ce point a' sera donc encore une image du point A [*). — On raisonnerait de mémi' pour le point a', symétrique de « par rapport au miroir BB", et formé par les rayons qui ont été rèHéchis une première fois sur CC' et une seconde fois sur BB'.— Des considérations analogue^ permettent de rendre compi"

(*) il ot d'aîlleun tkcile d« tonUruire la marclie de l'un des rai^oiii qui produiunl dsni l'œil 1b «cnnUon d> celle imige ; il tutTil. pour cela, de joindre un point o de Vieil nu point ■' : on é linii II dirïcUon no de l'un de> nTon* qni nmrcnttrfQt; on joint eniulto nu. pub mA, et I* intirclie suiTle par le nyan luniincm est Amm. — Une conitrnclion wniblable donnerait la marche dei Ttjoni qni concoDrent 1 li rar. inaltoh dei aulret Imsgei.

SIROIIIS PU^S. SS3

des images >' et a", dn^-s i des rayons qui ont subi trois rAflextons alternatives sur les deux miroirs, et ainsi de suite.

Il est bcite noaintenanl de généraliser ces résultats; si l'on désigne par ri et d' les distances AI el AU du point A aux deux miroirs, on verra que les distances successives de ce point aux images a, a\ a', etc., sont respectivement égales ï :

2i, M + -W, W 4- W. 4rf + kd\ U + W, etc. ;

Ue même, les dislances du point A aux images s, s', a.', etc., sont:

W. U + U, 4rf' + ?<i, W + 4rf, 6rf'+«.elc.:

les distances des images cons<^culives sont donc successivement égales à 2d et à M'.

715. Imaiea maltlplca forméca par Ica lalrolrs étaiaéa. — Lui miroirs é lamés difTèrent des miroirs métalliques en ce qu'ils présentent réellement deux surfaces capables de réfléchir la lumière, savoir la surface libre du verre, el le tain qui est appliqué sur l'autre surface; aussi donuenl-il s toujours des images mulliples des objels placés devant eux.

Soit DB' et ce (^. 557) les inlersections des deux faces d'un miroiiplan étamé, avec un plan

mené perpendiculaitement

il ces deux faces par le point

lunUneux A et par l'œil

placé en 0. — Une première

image se formera au point

a, symétrique de A par rapport à BB' : elle est due à des

rayons tels que Am, rèflè-

chb sur la face libre du

verre. — Une deuxième

iouge a' sera formée prr

des rayons tels que An, qui ng, $57.

se réfractent en n et pénè-

Irenl dans le verre, puis se réflécliissenl en p et se réfractent une

deuxième fois en r pour arriver finalement à l'œil suivant rO. — Une

troisième image a' sera due à des rayons tels que Ktlqxt/O, réfléchis

deux fois sur la face inférieure et une fois sur la face supérieure; et ainsi

ilersuile (*}

qui Ou l'aUenlion dant U plupart des cai, lurloal quand l'œil est dins le voitinige Je la normale Aa. .\u contraire, Us tmaEei aecondili-ei a, a', etc., acquièrent ponr l'icil np èclalpmque eompanUe A celnide a*, (il'an iepltc« de mani^i-eà recevoir 1« riTani lumineiii trM-inclinèa tur le miroir : e'eil ce qu'il etl rtcile de t'eipliquer en M reportanl * ce qui > ëli dit plui haut (710). de l'inlluenee de l'incidence <ur Ici propoTtloni de lumière rénéchietoa rérractéei lia aurhce dei corpi Iraniparenli. — En pli[Bnl, par eiemplr, nne lioueie ihci préi d'one glace élam^ un peu èpaiaie, el

■e*pc — Considérons d'abord deux miroirs po'pendicul aires enlrt RUi; soil BD et BC {fig. 5ôV.

les seclions de ces miroir;, par un plan mené perpeniiculairement à tous deux par le point Juin i Deux A, plan qui sera celui de la figure. Lkj rayons qui arrireronl à l'ail après une seule rénexîon donneront deux images, l'une A symétrique de A par rappon h BD, l'autre A' syiaétrîque <k A par rapport à BC. — Pour rendre compte des autres images, il faut considérer le?

rayons qui ont subi plusieurs pjg^ 5Sg. réflexions- altematives sur Ik

deux miroirs, avant d'arrÎTer à l'œil. — Tous les rayons qui se sont réfléchis une première fois sur U miroir BD se comportent comme l'ilt émanaient du point A' symétrique àt A par rapport à BD(7 IS); si donc ils se réfléchissent uue seconde fois sur le miroir BC, leurs prolongements, après celte réflexion, iront concourir au point A", symétrique de A' par rapport à BC ; ce point A"' sera donc encore une image du point A {') — On établirait de la même manière que les rayons réfléchis d'abord par le miroir BC, puis par le miroir BD, dmnent une image située au point symétrique de A" par rapport au plan du miroir BD : dans le cas que nous considérons, où l'angle DBC est droîl, cette dernière imqge se confond avec A"'. — H serait d'ailleurs facile de démontrer que, dans ce cas, aucun rayon ne peut éprouver plus de deux réflexions successives, en sorte que le nombre total des images fournies par deux miroirs rectangidairea est de froù.

En généralisant ces résultats, on irouiera que, si i'angie DBC des miroirs est contenu exactement n fois dans quaire angles droits, te oombre des images est égal an — 1 ; l'œil, placé dans l'angle des miroirs, apei^ çoit donc n fois le point lumineux, savoir : une fois directement, et n — 1 fois par réflexion. Toutes ces images et le point lumineux lui-mfme sont situés sur une circonférence, décrite du point B comme centre avec BA comme rayon.

meiunl l'cEJl également au voiiinagn de la glice. mais niei loin de la bou^e, on »l>«ri;oil un certain nombre d'imagci. d'intensités auccesslveme {') Pour cODiIruire la marclw de l'un des rayons qui produis saUon de cette image, il Euflira de joindre un point p de l'œil ai la direelion np de l'un dei rajont qui arrivent i l'iEil ; on joint ei la marche suivie par le rayon lumineux eit Anup.

HIROinS SPUÊftlQliES. 633

Le kaiiidoieopt, imaginé par Brewsler, est Tonde surcetle propriété. Deux petits miroirs plans, faisant enire eux un anglâ de 60 degrés, sont filés dans un tube cylindrique de carlon, de façon qu'ils aient un calé commun, dirigé suivant une des arêtes du cylindre, k. l'une de ses extrémités, le tube est fermé par deux plans de verre parallèles, dans l'inlervalle desquels on a introduit de petits morceaux de verre coloré. Ri l'on place l'œil à l'autre extrémité du tube, on aperçoit, dans six angles consécutifs, la figure formée par tes fragroenis colorés; on voit donc une sorte de rosace hexagonale, dont le dessin Tarie lorsqu'on change les positions relatives des fragments de verre, en faisant tourner le tube sur lui-même.

717. MIroira «phéH^we». — BABbIUoiu. — Une surface courbe peut, en chacun de ses points, Stre considérée comme se confondant avec le plan tangent mené par ce point. Tout rayon lumineux qui rencontre une surface courbe se rélléchit donc conmie il le ferait sur le plan tangent mené au point d'incidence.

Nous nous bornerons à l'étude dit la réJIexion sur les miroin tphériquei. — Ces miroirs sont dits concavet ou convtxt$, selon que leur face réfléchissante est la face interne o externe de la portion de surfais spliérique qui tes constitue. i

Soit C {fig. 559) le centre de la I sphère dont le miroir fait parlie, UH la baie du miroir, c'est-à-dire le plan "g- SM.

du petit cercle qui forme le bord

du miroir. La perpendiculaire menée au plan tlN par le centre C de la spbére est l'axe principal du miroir. Le point 0, où l'axe rencontre la surface rèDéchissanle, est le pôle ou le lommet du miroir. Enfln, si l'on fait passer par l'axe un plan quelconque, celui de la figure par exemple. ce plan coupe le miroir suivantun arc de grand cercle MON : l'angle formé par les droites CH et CK , menées du centre aux extrémités de l'arc MN, constitue ce qu'on appelle l'amplitude du miroir. — Kous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que l'amplitude soit toujours d'un petit nombre de degrés, ou, en d'autres termes, que le miroir ne représente qu'une petite portion de la surface de la sphère.

71S. HIroIn spMrlq«es eoM«*e«. ~ F«7«r ^^MlpiU. — Soit NON Ifig. 560) la section d'un miroir sphërique concave, par un plan quelconque mené par l'axe principal ; prenons ce plan pour plan de la

mu Oi'TKJUE.

Ugure, et smt RI un rnjon lumineux contenu dans ce plan et piralUleà l'ue. Ce rajon rencontre la surrace du miroir au point 1, où il se réflcdiit comme sur le plan tangent. Or le plan tangent i une sphère «9 perpendiculaire i l'n- Irémité du rayon passant ai point decontid:

le rayon IC de la spbèn' est donc normal à sa surface au point I. Pu suite, le plan d'incidena se confond avec le plin de la figure et le rajou réfléchi IF est aussi cootenu dans ce plan. — f> '*■ rayonlaitd'ailleursaiM

la normale un angle de réflexion GIF égal k l'angle ^l'incidence : soit F 1^ point où il vient rencontrer l'aie principal ; l'angle ICF, égal à Tangl^ d'incidence, est aussi égal à l'angle de réflexion CIF; donc le triangle IFC est isocèle, et FC ^^ FI. Mris, d'autre part, si la dislance du rayon RI » l'axe est Irès-pelile pnr rapport aux dislances FO et CO, l'angle en F âa triangle IFC diffère très-peu de deux angles droits : on a donc, avec d'ai>tant plus d'approximation que le rayon Hl est plus voisin de l'axe,

IG=1F + FC; et canimelC=:OCetquelF=:FCon en déduit:

FC=^t)C.

Donc le point F, où le rayon réfléchi rencontre l'axe, est égalemetU dir

tant du centre C cl du tOTjimet 0 du miroir. Si le miroir n'a, comme nous l'aiMis supposé, (gu'une très-petite antplilude, tous les rajooi parallèles k l'axe qui pourront le rencontrer seront dans les conditions du rayon BI; on voit donc qu'après s'*« réfléchis, ils passeroni tous au point F' mil>«' de OC, comme l'indique la figure 561. Ce poini p. 5Ç( prend le nom de foytr

principal du miroir.

Réeiproqiumetil, il est évident que, si un point lumineux est plac^'i'

foyer principal F d'un miroir, tous les rayons lumineux émii par cepoint

HlttOlRS CONCAVES. dS7

sfir le miroir seront réfféchis dans une direction parallèle à l'axe principal.