LENTILLES CONVERGENTES
La relation (2) montre que les lentilles formées cTune même substance ont une distance focale principale d^autant plus courte que les rayons de courbure de leurs faces sont plus petits.
751 . €jmmtr^ aj^Ugm»,— Dans toute lentille convergente il existe un point,
sUtié sur Vaxe principal, et tel que tout rayon que la première réfraction
y fait passer sort de la lentille parallèlement à sa direction primitive. Ce
point se nomme le centre optique, — Soient 0 ^ (K {/ig, 600) les centres
des deux faces d'une lentille biconvexe : nous démontrerons d*abord que
si Ton mène à cette lenlille deux plans tangents parallèles, la droite qui
joint les points de contact rencontre Taxe principal en un point qui reste
le même, quels que soient les deux plans tangents considérés. Soient mn
et m'n' les traces de deux plans parallèles, tangents à la lentille en I et T;
menons la droite II', et soit G le point où elle rencontre Taxe W. Lesnor-
pour qu'on puisse prendre, pour mesure des angles aigus de la figure, les sinus de CCS angles, la déviation KQK a pour valeur (voir la Note de la page 650) KHF' = (n — 1) lAl'. Or, si du point A on abaisse sur 00* la perpendiculaire AC, les deux parties dans lesquelles Vangle lAl' est divisé sont respectivement égales à lOD
ID l'D'
et rO'D' ; or on a sin lOD = -» et sin l'CIK = — ^ ; si donc on substitue encore
aux angles leurs sinus, et si, en raison du peu d'épaisseur de la lentille, on regarde
ID comme égal à l'D', il vient IAr= nf^ 7» > c® Qui donne définitivement :
(I) KDP' = (n-^1)lD |l + î j.
b'aulre part, l'angle KHP' étant extérieur au triangle QPP', on a :
KHP' = IPD -t- l'P'D'
= sin IPD -4- sin l'P*D' __1D rD;
~ Pi "*■?'!' ou, en supposant l'D' = ID et remplaçant PI par PC ou p, et P'I' par PC ou ;>' :
(î) kup' = id(U1).
En égalant ces deux valeurs (1) et (2) de la déviation KHP*, et supprimant lo facteur II), il vient :
J + ^, = (n-l)jg-Kij.
Cette relation montre que la distance p' ne dépend que de la distance p et des rayons R et R'. Donc tous les rayons lumineux partis du point P vont converger au jMtnt P',
Si maintenant on veut obtenir la distance focale principale. Il suffit de faire, dans celte formule, p = oo; la valeur correspondante de p' sera précisément /. On a donc :
* = (»-!) |l + lj
el par suite la relation générale entre p et p' peut s'écrire :
ARiox ET fer:cf.t. 42
0 o'i'-(W:~oi'
Mais 01 — OC et <y\' — ce sont les dislances du point C aux'detix faces éf \i lentille-, onvoitqDVWi^ sont proport ionnsil* aux rayons 01 et 01'. C résultat est indép^ndanl^li direction (ït- (iculièie des deux plan tangents considérés ; donc le point C a uw position constante m l'axe. Ce point e^t !• centre optique de la 1ertille. — Il est aisé à? , voir que, rcciproqw^ P gpj, ' ment, si par le centri-
optique d'une lenlillf | on mène i^ne draiie 1 1' quelconque, qui rencontre les Taces de la lenlill'' en 1 et en I', les plans tangents menés en ces points sont parallèles.
Supposons maintenant un rayon lumineux PI, qui rencontre la iHiliUf sous une incidence telle, qne, après s'être réfracté une première fois, il 1 l»^nne la direction 11' et passe au centre optique : les plans tangents en I ' et en I' étant parallèles, le rayon sera dans les mêmes conditions q«f s'il traversait une lame de verre h faces parallèles ; il sortira donc delà lentille suivant une direction l'S , parallèle à sa direction primitive. — Si l'épaisseur de la lentille est négligeable, et si le rayon RI fait un p'^i' angle avec l'axe principal, on pourra, dans la limite des approximations précédentes, regarder le rayon émergent l'S comme se confondanl a"'^ le prolongement IR' du rayon incident : il constituera ce qu'on appelle vu rayon sans démalion.
752. AxcB BeconAalrcs — Foyers coBjnBnéa aar nu as» ■'' condalre. — SoitC (/ig.COl) le centre optique d'une lentille conver- ' génie LL', et A un point lumineux situé hors de l'aie principal. Menons'' droite .\C : si l'angle ACty est sufllsamment petit, un rayon lumineux dirigésuivanlAC pourra être considéré comme continuant sa route en [is"" droite (TM) suivant CV; mais nous avons admis, comme résultat d'expo' rience, que tous les rayons èmanéi du point À et traversant la lef i
la droile ACi', qu on nomme l'axe teeondaire 4lu point A. On voit donc
Le foyer conjugué iTun point titui hon de l'axe principal, à peu de ditlance de cet aie. 18 trouve sur l'axe secondaire de .e point. ^iB' «"■ '
Cela posé, pour obtenir par une construclion géométrique la posilion 'iu foyer conjugué de A, il suffit de tracer un seul rayon réfraclé, et de •iéterminerle point où il rencontre l'axesecondaire. Menons, parexemple, un rayon Al parallèle à l'axe principal [fig. 601); ce rayon se réfracte tsuivanl la direction IF qui passe par le Toyer principal F; larencontrede son prolongement avec l'axe secondaire détermine le point A', foyer conjugué de A. — Quelquefois il peut élre plus commode d'employer, au lieu du rayon précédent, un autre rayon. Soit F {fig. 609) ie foyer principal pour les rayons parallèles à Taie qui tomberaient sur la face <le droite de la lentille ; si l'on mène du point A un rayon incident AF' qui passe par ce point, ce rayon sortira de la lentille suivant une direction lA' parallèle à •''ï- ^■ l'axe principal; la rencontre de lA' avec l'axe secondaire détermine encore le point A', foyer conjugué de A (*).
155. iNUicea lur^ttmm par lea lenUllea ramwmwgrmticm. — Soil LL' {fig. 005) la section d'une lentille biconvexe ; soil C le centre optique, F le foyer principal de droite, F' le foyer principal de gauclie. Marquons aussi sur l'axe les deux poinis H et H', dont les distances au centre optique sont égales au double de la distance focale principale CF ; ces poinis joueront un rôle important dans la discussion qui va suivre.
1° Considérons d'abord un objet lumineux AB {fig. 605), placé à une Hittauce de la lentille supérieure au dquble de la dtMtanee focalt pnnei-
\') Voaf obserreront, comme n«iu l'inana fsil panr In miroirs, que cm conitmc-
uuge n'eiislemil pat en réalilé ; ce font des cuaslruc lions purement eéomélriquei. et, si le rayon AI [fig. 601 ou (iUl) n'ciiste pas, il en Taul conclure aniquement que cr riyon ne concourt pas lui-mtme i U produclinn de l'imnge.
conjugué du point A : il sobtiendrii en traçant l'axe secondaire AU, ei en menant, par exemple, le rayon AI parallèle à l'axe principal ; cenfa H réfi'ocle suivant IF, et rencontre l'axe seconiiaire en A' ( 752). On Um- Terail de même le foyer conjugué B' du point B. Les points de la droitr AB auront leurs images aux divers points de la droite A'B', pourvu pt A et B ne soient pas trop distants de l'axe principal. — L'image AITn donc réelle, et l'on voit qu'elle est rentertée par rapport à AB.
La figure montre, de plus, que. dans le cas actuel, l'image esLfk petite que Vohjel; en eflel. dans les triangles semblables A'AletAtï,»
Fig. 601.
l'on remarque que Al est, par liypolhèse,.ptus grand que 3CF, il enivauhequeCAestplusetandqueCA'idésIors, leslriangles semblables ACBpi A'CB" montrent que l'objet AB est plus grand que l'image A'B'. — Enùides considérations géométriques analogues permettraient d'éiablir que CI'' est plus grand que CF et plus petit que CH, c'esl-i-dire que rimagt etl à une dùlaitce de la lentille supérieure à la dittance focale prmeipsi'mai* inférieure au double de cette distance.
Si ["objet AB se rapproche de la lentille, l'image k'W ienéloigne el crânait : ab lfig.605) représente le même objet, placé plus prés de la lentille: a'b' est l'image qu'il forme dans cette nouvelle position.
On voit enfin que l'imnge et l'objet sont toujours compris enire l'^ mêmes droites AA' et BB' qui se croisent au centre : c'est-à-dire quf l'image et t'ohjel lont nu du centre optique de 1<1 lentille «oiu le mbt' angle.
T Si l'objet AB est placé à vue distance de la lentille égale au dmilt de la distance focale principale, la même construction montre que /'imaj' etl réelle, renversée et égale en gra}ideur à l'objet ; Fimage et tobjei ""' d'ailleurs également dittant* de la lenlUle.
5" Si l'objet AB est placé aune dislance moindre que le double délai* lance focale principale, mais plus gniide que la dislance focale principale Cimage A'B', toujours réelle et rennertèe, ett plus grande que roij^ cl etl située à une distance de la lentille supérieure au double de la disi"'''' focale principale. — C'est ce qui résulte de ce qu'on vient de voir p'"' haut, et de la réciprocité de l'image et de l'objet.
plu» a ttnage. ha eiter, l'axe secondaire AC et le rayon rérracté IF, dont la rencontre doit déterminer le foyer conjugué du point A, sont parallèles, puisque les cOtés Al et CF du quadrilatère AtCF sont égaux et parallèles. De même, tous les autres rayons émanés du point A sortent Fig.Mk de la lentille suivant des directions parallèles i l'a^e secondaire de ce
5* Supposons enfin i'objet AB (ji^. 605) placé entre le foyer principal F' et la UntUU. — La figure AICP est alors un trapèze, dans lequel lecAté Al est plus petit que CF ; donc les prolongements du rajon réiraclè IF et (le l'axe secondaire AC se rencontrent à gauche de la lentille en A'. Les rayons émanés de A forment donc, an sortir de la lentille, un faisceau divergent qui semble Émaner de A', et si l'œil est placé dans ce faisceau, i) aperçoit en A' une image virtuelle du point A. —On trouverait de mÈrae l'image virtuelle B* du point B. — Un observateur placé ad delà delalenlilievoitdonc une image virtuelle.
Hroile et amplifiée de robjel; celte imag'.
ett d'ailleuri d'autant plia grande et plut éloignée de la lentille que l'objet etl
plut rapproché du Pig. 6W.
foyer principal.
Tous les résultais que nous venons d'obtenir, relativement k la position de l'image et à sa grandeur par rapport ft celte de l'objet, se vérifient facilement, en plaçant devant une lentille un objet lumineux de dimensions sensibles, par eiemple la flamme P d'une bougie {fig. â97).
754. MeUtioM «■■B^rlqae eatra la frandear 4« rimafe e« «cil* ée l'«li]c«. — Dans l'un quelconque des cas que nous venons
ou wa), et SI ion aetigneparo la longueur ah de loDjec et pan la ligueur correspondante A'B' de l'image, on aura, en représenlani touji-uf les distances CPel CV parp etp',
on 3 d'ailleurs, comme il a été dit (750), entre p' et p la relation
en éliminanl p' entre c«s deux équations, on obtiendra [une relation qui
donnera la grandeur i de l'image, connaissant ta grandeur o de I'objei<H
sa distance p à la lentille. — La discussion de cette relation permettra dr
relrouTer tous lesivHiI-
tats que nous \enDn>
d'obtenir par des coiw-
dé rations géométrique''
TSS. Lenillk* t
Pour ce qui concerne''^
lentilles A bords épaL-
„ g-. nous nous bornerons ^
en énoncer les proprii-
lés; la théorie est semblable ii celte des lentilles à bords minces.
1° La Bgure 606 montre l'action exercée par une lentille biconeavr sur un rayon lumineux Bi. Ce rayon éprouve une première réfraclii* qui le dévie suivant II', en le rapprochant de ta normale ÛIN'; en t'i' subit une deuxième réfraction suivant l'S, et s'éloigne de la normale Ot- Ces deux réfractions contribuent l'une et l'autre à aiuimenler In dirergt"^ du rayon lumineux par rapport à l'axe principal. De là le nom de leniSIn ditergentet, donné à toutes les lentilles à bords épais (*].
S* Des rayons incidents parallèles à t'axe principal, tels que RI (/■<;. 6(l< > sortent de la lentille en divergeant suivant une direction telle que IR': leurs prolongemenL'i géométriques se rencontrent en un même point f situé sur l'axe, en avant de la lentille; ce point de concours est le fij" principal virtuel de la lentille.
5- Des rayons tels que PI {fig. 607), émanés d'un poiitt P de l'axe prinûpnl, se réfractent suivant des directions telles que IS, dont les proloD-
(*) On peut encore m rendre compta de cette diiergence, en oburrtol que l> '"'
lille agit lur le rayon Hl cornine reriil un priime de terre, dont les ftco >e conto"' liraient avec le> pluu lingenls menéi en t et en 1', et dani la bait sfriil dii 'fi'' oppoté 1 l'ue princijwl.
lentille. — Le point P" est dil le foyer conjugué virtuel du poiDi P (*).
*' Le foyer conjugué
virtuel d'un point A {fig.
60S) situé hors de l'axe
l>riiicipai se trouve sur
l'axe tecondaire \C. foui
l'obtenir, il suiDt de dë-
tenniner l'intersection ''S- '*'•
A' de cet axe secondaire avec le prolongement géoraélrique de l'un des
rayons ëmei^enta, par exemple avec le prolongeraeat IF' du raj-on réfracté provenant du rayon AI.
émis par le point A parallèlement à l'aie principal.
5° Une lentille diveryenle LV.
{^. 608) donne loujoun une image" K'i' virluetle, droite et di~ minnée, d'un objet AB placé devant elle. Celle image, située entre la lentille et le foyer principal virtuel P, se rapproche du foyer principal el diminue de {grandeur, à mesure que l'objet s'éloigne lui-même de la lentille. ^*"
' 75G. RclatloBB ■«im^riqBca entr« !«■ dlataaees foealca «onjBgaéea, e( «atro Im grwatàKura de I'Iomsc at de l'ohjel, pour le* leaUllea dlverfeatea. — Un calcul tout à fait semblable à celui qui a été indiqué précédemment Inote de la page 656) montre que les dislances focales conjuguées p et p* sont liées, dans !ei lenlilles divergenles, p.ir la relation
^élanlla distance de la lentille au foyer principal nrluel F': celle quantité f est encore donnée par la relation ^
Ces trais équations suRîsent pour résoudra toutes les questions rdatiT-^? à la positioD et à la grandeur de l'image, quand on connaît la position ri la grandeur de l'objet, ainsi que la distance Tocale principale de la teotille.
757. DélcnMlBBtlaB d« la dlMMtee >i»cmI« priMlr>>« «'■»« Icndlle »pfcéri^a*. — Les procédés qu'on emploie pour trouver expérimentalement la dislance focale principale d'une lentille spbérique convergenle ou divergente, sont semblables ji ceux que nous avons fjil connaître en traitant des mirairs sphériques (730).
758. I^tmttUtm — ■■Ijlrea d« FreaWel. — rkara. — Vous axoos TU que des rajons parallèles à l'axe principal d'une lentille spiiérique ne passent rigoureusement par le foyer que si l'amplitude de la lentille e^l Irés-petite (748). Inversement, si l'on place un point lumineux au fojer d'une lentille, il faut que la même condition soit remplie pour que le^ rayons soient réfractés parallèlement à l'axe principal : si l'ouverUire de la lentille est trop grande, les rajons réfractés forment un faisceau divergent : parsuile, l'intensité de ce faisceau décroît rapidement à mesura que la dislance augmente. -~ On doit à Fresnel des lentilles d'une cddstructiofl particulière, dites lentUitt annulaire», qui, tout en présentanl une ouverture très-grande, réfractent dans des diractions sensiblement
parallèles tous les rayons émis par une source.
La figure 609 représente la section d'une lentille annulaire ; L est une lentille plaiiconveie, dont le foyer est en f, el dont l'ouverture i/ï' est de 15 degrés elle est environnée d'une série d's aa. bh, ce, dd. dont les surfaces convexes sont calculées de façon que le foyer principal de chaque anneau soit au point f. L'ouverture hfh- du système tout entier peut être porté jusqu'à 40 degrés environ, sans que les effets de l'aberration de spbé- Fi(. ew. ricité deviennent sensibles.
Une lumière inlaise élant placée au point f, toute la lumière émise par elle dans le cAne ft/V donne naissance, après avoir traversé la lentille, k un faisceau émergent parallèle à (L, dont l'inlensité reste sensiblement constante jusqu'à des distances considérables: c'est cette disposition qui permet de projeter la lumière des phares jusqu'à 15 ou 30 lieues en mer.
LENTILLES ANNULAIRI<S. 665
— Afin que les navigateurs puissent distinguer les feux voisins les uns des autres, sur une même côte, on détermine des éclipêes de lumière, dont la durée et I*ordre de succession sont fixés pour chaque phare. Pour cela, on dispose, autour de la flamme et à la m^me hauteur, plusieurs lentilles annulaires identiques : le système qui les porte tourne tout entier, d*un mouvement uniforme, autour de son axe vertical. Chaque lentille ne projette alors la lumière dans une direction déterminée que pendant un instant très-court : le navigateur, placé dans cette direction, cesse donc d'apercevoir le feu jusqu'au moment où Tuxe de la lentille suivante vient prendre la position qu'avait celui de la première. — Parfois aussi on place, devant une ou plusieurs de ces lentilles, des verres colorés, qui produisent des feux dont les colorations et les intervalles d'alternance sont réglementés pour chaque phare, et connus des navigateurs.
