PROBLÈMES SUR LA PËSA>*TEUR ET L'HYDROSTATIQUE

I. Ou a laiisé tomber une pierre au fonds d'un puits, et Von a entendu le bruit de sa chute ■l*,o, après son départ. Quelle est la profondeur du puits f — On supposera que le son se propage d'un mouvement uniforme, arec une vitesse de SiO mètres par seconde.

Solution. — Représenlons par T le temps écoulé entre le départ de la pierre et !<■ moment où le bruit de sa chute est parvenu à Toreille : soit t la durée de la chute et X la profondeur inconnue du puits. En désignant par g l'intensité de la pesanteur, on aura :

(1) . j-=jî//«.

D'autre part, le bruit de la chute a mis ù parvenir à l'oreille un temps T — f ; don( si p est la vitesse de propagation du son, on a

j:^i»(T--/); d'où = — - ;

en substituant cette valeur de / dans l'équation (1) on arrive à l'équation du secor degré

d'où Ton tirera :

= i.T-f.-±i/('ii.T-*--^l^*.

Or, remarquons que la hauteur x du puits doit être inférieure à t'T, puisque ce pi duit exprimerait l'espace parcouru par le son dans le temps T : donc la valeur > correspond au signe négatif du radical est la seule qui convienne au problème tuel. En remplaçant les lettres par leurs valeurs numériques, on trouve :

11. Vn corps étant placé dans V un des plateaux d^ une balance ^ on constate q faut, pour lui faire équilibre, placer dans Vautre plateau un poids de 3 hilogn mes. Le même corps étant placé dans Vautre plateau, on trouve qu'il faut^pour faire équilibre, placer dans le premier plateau un poids de 3 600 grammes. On mande quel est le poids du corps, et quel est le rapport qui existe entre les Umgui des deux bras de la balance.

Solution. — Soit x le poids du corps en kilogrammes, a la longueur du bras à trémité duquel il a été placé dans le premier équilibre, b la longueur de l'autre 1 on aura, en considérant successivement les deux équilibres :

DIIIO!! ET FERHBT.

En multipliant œs éqnations membre à membre, il vient

—„ = \i d'où x = V3x 5.6r^3^",286. ù X 0,0

En divisant membre à membre l'équation (2) par l'équation (1), on li-oiivc

^,=gi^; d'où -=0,915.

m. Le petit piuton d'une pretse hydraulique a une êection de 15 cenUméttf> earrét et la pression qu*on exerce sur lui est égale à iO kilogrammes. — On demasét 1* quelle pression exercera le gros piston, quand il cessera de pouvoir s*élerer, n supposant que sa section soit de 3 décimètres carrés ; 2* quelle section on démit donner au gros piston pour qu'il pût exercer une pression de 2300 kilogrammes.

Solution. — 1* La pression exercée par le petit piston sur chaque cenliinêtir

40^** carré est -7«*; donc la pression transmise à la snrhce inrérieare du gros pistn.

40^'* sera -r?- x S00 = 800 kilogrammes : ce sera aussi la pression que ce piston posm

exercer sur le corps soumis à son action.

ï* Pour que le gros piston fiât exercer une pression deSOO) kilogrammes, il (to-

drtftqufl sa section contint autant d« centimètres carrés que iOOO kilogrammes co«-

tiennent de fois -7^-, c'est-à-dire que sa section fût égale à ÎOOO : — -^ 750 «nlilo l*>

métrés carrés.

IV. On a un tonneau auquel on a adapté, comme le représente la figure 00, «« long tube dont la hauteur est de \ mètres et le rayon de 5 milêimdires. Ce Idmoi*' est formé de deux cônes tronqués^ réunis par leur grande base : le rayon de ^ grandebase est de 30 centimètres; le rayon de Vautre est de ^ centimètres. La luisleur totale du tonneau est de 5f) centimètres. L'appareil est rempli deau ju$^'i^ V extrémité du tube» — • Calculer : i* la presnon supportée par la base inférieurt en tonneau ; V la pression supportée par sa base supérieure ; 3* le poids de teau cmtenue dans Cappareil.

Solution. — Nous nous contenterons d'indiquer les résultats, qui sont faciles à obtenir d'après les principes connus (76 à 79). — 1* La pression supportée par la he» inférieure est 747^",864; S* la pression supportéfi par la base supérieure est 0&4^",4i'(: 3* le poids tolal de l'eau contenue dans l'appareil est 110^", 958.

y. Un seau de bois, du poids de 6 kilogrammes^ et d'une capacité de 20 litres, ni f empli étune pdte liquide, formée de kaolin (terre à porcelaine) et deau. H pnf alors 30''\ 4. — On demande le poids du kaolin et celui de Veau, sachant qne la densité du kaolin sec est 2,3.

5olu/io«i. — Si le seau était rempli uniquement de kaolin sec. comme sa capaciuest de 20 litres, son poids serait :

6»" -+- 2*",3 X 20, c'est-à-dire 52»".

Si l'on enlevait i litre da kaolin, pour le remplacer par i litre d'eau, cepoididr 92 kilogrammes subirait une diminution de 2^'*,3 — 1^", ou de 1»'\3. Or l'excès df Wi kilogrammes sur 3i»^S4 est 15^" ,5; donc autant da fois ea nombre canlieiHlFa 1^",3, autant il y aura de litres d'eau dans la pAta. — La quotient de 15,6parLS^ 2; le seau contient dune 12 litres ou 12 kilogrammes d'eau ; le volume du kaolin étant de 20 — 12 ou de 8 litres, le poids de cette matière est 2»",3 x 8, c'estn-dire 48»»».4.

On peut vérifier d'ailleurs que le poids du seau, savoir 6 kilogrammes, augmenté àe celui de l'eau, savoir 12 kilogrammes, et de celui du kaolin, savoir 18»",4, repiDdoirsit le poids total de 36»'*,4.

VI. On a un cylindre d'acier t de 22 centimètres de longueur , qu'on voudrait If^^ avec un cylindre de platine de même diamètre, de manière qu'il se tint verticalement flottant dans du mercure, la partie non plongée du cylindre dacier n'étant que ée

PâOttLElU;». 787

'i C'cniimÊèlreê, QueUe lêmçuemr faut-il éonmermu cylindre de pUtHntf (naccalaiuréM. Paris 1868.)

Désirons par d la densité du platine, par tt celle de l'acier, et par cT celle do mercure; appelons xla longueur du cylindre de platine. Eiprimons que le poids du cuipti plongé et le poids 4n mercare déplacé sont égaux entre eux ; nous avirons

d'où Von lire

rf — (T

et il sufHn de rempteeer é,é' etif par leurs valeurs. po»r aroir la râleur numérise

«le X.

VII . Quel e$t le rapport de» poidê x et y de deux cylindres de fer et de platine qi^il faudrait fijotr tnn A Vmtire, p9ur que le wiftiéme pût te maintenir en équilibre au milieu du mercure? — ÙemiÊé du fer, 7,8; deuêUi du platine, SI ; densité du mercure, 13,6.

Solution. — Les poids des cylindres étant x et y, leurs volumes seront respeclive-

raent ^. et ^r. Le folune du ineroare déplacé sera ëfal à la SManc de «es valûmes

et le poids du mercuro déplacé sera l^ '*'9{) ^^-^ poida4e««Bt être égal à U souune des poids des deux cylindre», on aura :

d'où

ce qui donne déGnili veinent

VUI. Un WÊorceau de platine et une boula de cire te font équilibre dan» ietplutemu. d'une balance parfaitement ju»te. Calculer le rapport de» poid» de ce» deuxcarpt^ en tenant compte de la pouatée qu'il» épreuveni de la part de l'air, t- }*oid» »péc\ flque du platine, il; poid» »pécifique de la cire, 0,96; jtoid» tpécifique de l'air. 0.0OIS.

Solution. — Soit ;i le poids du platine; son volaine, expriicû en unités corres

pondantes, est ^., etparauite le pekis de l'air qu*il déplace est ^- x 0,0013. D

31 Zl

inènie, p' étant le poida de la cire, le poids de l'air qu*e!le déplace est ^^ x 0,0013 Or, les poids apparents de ces «ieux corps dans l'air étant égaux, on a

d^oA ron dédnira Cscilenient

p il (0.96-0,0013) ^,13i700 ^ ^^ j?~0,%(«t- 0.0013) ~ ÎU,158752"" "'*^"

IX. \}ne »phère de platine et un cylindre de cuivre ayant même diamètre »ot »u»pendu»aux deux extrémité» du fléau d'une balance parfaitement jutte, et plot ffent, la première dan» du mercure, le second dan» Veau. Quelle doit être la k«i leur du cylindre pour que le fléau »e tienne koritontalf — Poid» spécifique à platine, 22; poid» epéeifique du cuivre, 8,8; poid» epécifique du mercure, 13,6.

Solution. — Soit d le diamètre eom-unn de la aphère el du cyliadrei, h la hantei

inconnue do cylindre; on verra facilement que le poids apparent delà spbère iW

plaline dans le mercure est j: v d^h {îi — 13.6) ; le poids apparent du cylindre 4r

cuivre dans l'eau est -j T.d* (8,8 — 1). — En égalant ces deux expressions, suppn-

mant le facteur commun ^ xd*, et effectuant les calculs, on arrive à Téquatioa

A X 5,9 = rf X 2,8 ; d'où h=dx 0,718.

L'équilibre aura donc lieu, pour une valeur quelconque du diamèlre commun delà sphère et du cylindre, pounii que la hauteur du cylindre soit égale aux 0,718 eaTir<»i de ce diamètre.

X. Un cylindre de bois de sapin, de 2 centimètres carrés de base sur 30 c^Hiimsèir^* de hautenr, flotte sur Veau^ ses arêtes étant verticales. On demamle :

1* Quelle est la longueur de la partie immergée;

t* Quel devrait être le diamètre d'une sphère de plomb qu'on su^pemdraii audessous du cylindre, et qui le ferait plonger de 25 centimètres. On sait que la densité du bois de sapin est 0.66, et celle du plomb 11,35.

Solution, — 1* Le poids du cylindre de sapin, exprimé en grammes, est dt !i X 30 X 0,66 ou de S9",6: d'après le principe des corps flottants (90), ce nombre exprime aussi le poids de l'eau déplacée. Mais, si Ton connaissait la longueur de la portion immergée, le poids de Teau déplacée pourrait s'obtenir aussi en multipliant cette longueur par la base du cylindre, c'est-à-dire par 2 ; si donc on divise 39,6 pari, le quotient 19,8 sera en centimètres la longueur cherchée.

2* Pour trouver le diamètre d de la sphère de plomb qui ferait plonger le cylindre de 25 centimètres, nous exprimerons, d'après le même principe, que le poids du cylindre augmenté de celui de la sphère est égal au poids de l'eau déplacée par \a portion immergée, plus le poids de l'eau déplacée par la sphère. Nous aurons ainM l'équation :

59,6-»- ln<fx 11,35 = 2x25-4- Ind».

En simplidanl celte équation, et tirant la valeur de d, qui est calculable par logarithmes, on trouve :

Ainsi, le cylindre non lesté s'enfonce dans l'eau de I9'.8,et le diamètre de la sphère de plomb qui le feiail plonger de 25 centimètres est de 1*,25.

XI. Un morceau de fer plongé dans un vase plein d^eau en a fait sortir 10 gramtues. Mis dans un vase plein de mercure, il y flotte en y déplaçant 78 gramtne» de ce dernier liquide. On demande le poids, le volume et la densité du morceau de fer. (Daccalauréat, Paris. 1867.1

On trouvera facilement que le volume est 10 centimètres cubes; le poids e«t 106c',OJ2; la densité est lO.G.

XII. Un aréomètre de Baume, destiné aux liquides plus lourds que Veau, marque (i6 degrés dans Vacide tulfuriqite concentré. — Quelle est la densité de cet acide, sachant que la densité de la solution saline qui a servi à marquer le 15" degré de r instrument est 1,1136.^

5o/u<»on. —Soit l'aréomètre représenté par la figure 92; nommons V le volume de liquide, exprimé en centimètres cubes, qu'il déplace quandil affleure au léro. et t* le volume de liquide que déplace une division de l'instrument. —Quand l'aréométn^ flotte sur l'eau, il affleure au zéro ; le volume de l'eau déplacée est donc de V centimètres cubes, et le poids de cette eau est de V grammes; ce nombre exprime aussi le poids du corps flotlant (90). Quand l'aréomètre flotte sur l'acide sulfurique, il af- /leure au 66* degré ; le volume de l'acide déplacé est donc de V — 66», et le poids de cet acide exprimé en grammes, est de(V -> 669)x, x désignant la densité cherchée; ce

790 PROBLÈIBS.

têlU M&rU que m mrfac9 ne eoit piu» f«'A \0 cemimmèiret m ^ww du mMeeuéut la euwetie. On éemanded'em éédwire Jn empmeiêé du rédpûmê, Mt evppœeaU fuel* iempérmimreêoU reetée ianvarmkle pemdmai l'ejtpériemee.

Solution. — Soir jr le volume du récipmiil, exprimé en ceutnaétres cabck l«s l'ouverture da rabiael» le nolMne ée l'ûr «oaienti dans Yepfomi est x, sa pfcssca est 770 miUioràtres ; qtianA le pebiaet cal Miwert, U voluau Ae cet air dencu X + 2(90 — 10), ou jr + 160. et sa pression e»t 760— 100 millimétrés, ou 660 millimétrés. D'après la loi de llariotte, le produit de diacun de ces volumes par lapmsion correspondante étant constant (Ul), on a :

.c X 770= <jr -♦- MOJ «0 ; d'où l'on tire

XVI. On a conniruil un baromètre â euveite ean* te préoccuper trenchoBteremplélement l'air, de torie que la ckaw^e barmuitrique contient une quantité iiu0«nue de ce gai. — On fait une première observation, dane laquelle on tnnure suceo' tivement la hauteur de la aUêuue de mercure qui et/ lH^'neUlimèlre^ el la loaçMar de la chambre barométrique qui eat lît «iitlltmé/rea. Om eomUve alore un peu le tuh(. et Con conêtate que la hauteur du liquide devient "tS^ mUiiÊÊfitru»^ ta i éamkre àsr» métrique acquérant ttne longueur de 141 milliwiètree. Quelle est la preseion atussphérique au moment de l'expérience^ en suppeeant que le tube toit bien cfflindri^, au moins dans sa partie supérieure (*)f

Solution. — Soit x la pression atmosphérique in€QB»tte. Dana UtpmaàèÊttkttrur tion, le volume de l'air, représenté par la longueur de tnbe qu'il occupe, est liS, m force élafitiifue esi«— 74S;daiic la aeconde oliaervaiiMi, le vAteiae da cet air^' i4l« sa iHxe élaslMiue est x — UL Oa a donc <U1^ :

(j:-748)122 = (j:-730) 141; d*Qû l'oB tirera

XVII. Un cylindre ayant une capacité de 3 litres» et contenant de Voir, est tusi de deux tubes horiioutauxk et ft. adaptés au «OMsaafe de sa partia tupéneen el f arnts de rabimet». Le premier tuibe A eommunique avec uu lomg tuèt ueriicMl doceudant^ dont texirémité ouverte pbmga daue uue cwieiie à marcur* .- le robiâ^ et 4 étant seul ouvert, ou cotutate fue le liquide e'élève dame ce tuba ueréieal 4 39i millimètres au-dessus de sou niveau exêérieur^ Le tube D communique de même este UM petit tube vertical qui ettpionçé tout entier dauM urne sefwfinw Balime,a»iaattat densité \,i^et contenue da$is uu vaee ouserL Après auùir fermé le robinet ^^ ^ ouvre celui de B : quel est le poids de la solution saline qui entrera dans leeylmdre. Le. baromètre marque 752 millinsètres au mouseut de l'expérience^

Sohtiion. — avant rooverlnr» dn rabinat du tube B. le velnac de l^r tmif* dans le cylindre est S tiAres, et sa léroe élastiqne est 7SS — tSHK ou 503 mKUmitnt' Quand on euvre le robinel de t* la aoluCien satine entre daais le cTlinëre, <t comprime Tair jusqu'A ee qu« sa force 4testlq ne devienne égale 4 la pression eilén«f q« est de 73S naittiméfcres; si dene on dèrigne ^r n le votameaiMiMi est réétA fsf' exprimé en centimètres cubes, on doit avoir (14t)

<)000 X 50» aA^aar ^f

u «olwne dttKqnide^ entra dans U cfliadM est émaa 3000 — «XHIjtf =^993"^* par suite» son poids exprioié en framnusest 992,34 x i4S= iUtrjm^

(*> e«lte ndAbede tst applieiMa 4 la eoastxnelioo 4e baroMèlres ému on pmtnsit «''^^ iiquide, en voyage, pour éviter les chances de rupture, et (|tt'oii irB^>lirait seulement au ■'""'T (le l'observation, aans se préoccuper d*ea expulser complèLement l'air : le tube pourrait mmu^ ccre cofnpMlenMiH nétattiqiM, «a fer par taenpie, sanf la pmrtia aupériaerc qai Mnit Imum W un tube de verre assez court et bien eylfndriqo». Akao* Attfmmme pfpnisir».)

PROBtfcMES. 11

XVIU. Un gro$ tube cuiindriqu» vertical M, ouvert à ea partie êupérieure» et t

0»etil tube cylindrique vertical m, feruté à ea partie eupirieure, communiquent ent

4'uje, par ieure partiet inférieure»^ au moyen d'un ttdte de jonction i te premier M

uno ometion de 50 eentimètree carrée ; le êecond m, une tecUon quelconque. On a ver

du mercure dan» Vappareil^ et Von a enfermé ainel dan» le tube m un certa

t'olumo d'air, qui y occupe une longueur de 2". 15, le» niveaux du liquide dan» I

denuD branche» étant dan» le même plan koritontal. Quelle preuion, en kilogrannnt

devrait' €m exercer »ur le liquide du tube M, à Vaide if un piéton qui tfadaptero

exactement dan» ce tube, pour que l'air n'occupât plue^ dan» le l«6« m, qu'une loi

guetir de 0",52 'i — Le tube m e»t »uppo»é a»»ez étroit par rapport à U pour que

niveau du mercure n'ait pa» »en»iblement bai»»é dan» H ; la température ren

invariable pendant r expérience, et la pre»»ion barométrique e»t de 760 millimètrt

Solution. — Venons uapl«D liorisonUl par U face inférieure du piston, quand l'ii

i]u lub« m e»t réduit au volume indiqué dans renoncé : deux aurfpcea égalea pris

dans ce plan, et situées l'une dans le cylindre M, l'autre dans le tube m, doivent su

porter des pressions égales. Or une surface de 1 centimètre carré, prise k ce nivei

dans le tube, supporte 1* la pression due au poids du mercure dont la hauteur <!

i",15 — 0",5i ou 165* ; â* la pression exercée par l'air comprimé, qui équivaut au poi

.«l'une colonne de mercure ayant pour hauteur 76* x -^ ; cette surface suppoi:

«Jonc une pression totale espriméc par le poids d'une cotonna de mereure ayant poi l>aae 1 centimètre carré, et po«r hauteur

Ira + 76 X -=3- ou

52 "" 3Î^ l.a valeur de cette pression, exprimée en grammes, est donc

»A ou ... ' *

Donc eofln, le piston du tube M, qui a une surface de 80 ceotiinétras carrée, supports une pression de

557497'\6 x SO

00 approximativement, de 5S4'".5.

XIX. Un corp* de pompe cylindrique, auquel on veut donner une hauteur $0 centimètre», e»t terminé inférieurement par un tuyau d'aepiralion cylindriqi dont le diamètre intérieur e»t 55 millimètre», et dont la hauteur e»t 4" ,80 au-dem du niveau de Veau dan» laquelle il plonge; quel diamètre devra-t-on donner à corp» de pompe pour que Veau t'éléve, au premier coup de pi»tont juaqu*au »omn du tuyau d:a»piration f On »uppo»era la preùion atmoephérique égale à 10 met, Seau,

Solution^ — Soit x le diamètre du corps de pooipe : supposons qu'il satisfasse ft condition exprimée dans l'énoncé ; l'air qui, avant le premier coup de piston. occu|i le vol urne du tuyau d'aspiration et avait une force élastique représentée par une color d'eau de 10 m.étres, occupera, quend le piston sera en haut de sa course, le volai du corps de pompe, et aura une force élastique représentée par une colonne d'eav tO* — 4",8, S>i Ton exprime que le produit de chacun de ces volunee de l'air pti pression correspondante est covslant {141), on a

<l0-4,6) îy X 90 = 1« l!Hl! X 480;

«i'ûù I*on tir.>, en supprimant les facteurs communs, et effectuant les calculs

'-v/^ïH^-^^yu"-"-'-

XX. Une fontaine de compreaion {fig. 159), de forme cylindrique, apant une ha» de 5 décimètre» carrés et une hauteur de 50 centimètre»^ contient de Veau juaqu'à U moitié de ta hauteur : on y adapte^ pour y comprimer de l'air, une pompe à maa, dont le corps de pompe a une section de 1S centimètres carrés et une hauîevr é* 40 centimètres, ^n a donné M coups de piston : trouver, 1* à quelle hauteur Teu s* élèverait dans un tub^ étroit, ouvert à sa partie supérieure, qu'on substituerait a la pompe ; 2* quelle pression, en kilogrammes^ on devrait exercer sur une soupape placée à la partie supérieure du cylindre et ayant une surface «/i> 15 eentimètm carrés, pour la maintenir fermée. .

Solution. — 1* Le volume de la partie du cylindre qui est comprise au-dessus de l'eau et occupée par l'air est, en centimètres cubes, SOO x 25 ou 12500. Le volume di corps de pompe delà pompe à main est, en centimètres cubes, 12 x 40, el puisqu'oa a -donné 20 coups de piston, on a introduit dans le cylindre une quantité d'air qui occuperait, sous la pression atmosphérique, un volume de 12 x 40 x 20 on 9600 cettimètres cubes. Cet air acquiert, dans le cylindre, une force élastique représentée par une hauteur H de mercure qui est

H--7fi0x 9600 12960 " ~ "^^ ^ 12500 ~ 125 •

Cette force élastique s'ajoute, dans le cylindre, à la pression de Tair qui s'y trounit d'abord (148), pression qui est égale à la pression atmosphérique; mais, quand on ouvre le robinet pour laisser l'eau s'élever dans le tube adapté à l'appareil, la presion atmosphérique s'exerce aussi sur la surface du liquide dans ce tube : on peut donr considérer la colonne d'eau comme faisant simplement équilibre é la force élastique de l'air introduit dans le cylindre par la pompe à main. De là résulte que la haulair de cette colonne sera

■i^ X 15,6 = 7958— ou 7-,958.

2* Sur une soupape ayant une surface de 15 centimètres carrés, l'excès de la pressiofl intérieure sur la pression extérieure est exprimé, en kilogrammes, par

Telle sera aussi la pression qu'on devra exercer sur la soupape, pour la maintenir fermée.

XXI. Sous lerécijjtent d'une machine pneumatique contenant de l'air sec àO'f^fl la pression de 760 millimètres, on place un fléau de balance dont les bras sent égaux, et aux deux extrémités duquel sont suspendus deux cubes : l'un a o centimètres df côté et pèse dans Vair 26" ,3240, et Vautre qui a 5 centimètres de côté, pèse dan» Voir 26>',2597; par suite de cette inégalité de poids, le fléau n'est pas horizontal. On fait le. vide dans l'appareil, et on demande quelle sera la pression de l'air sotu le récipient quand V horizontalité sera établie. — La température sera supposée égalf o ^éro degré pendant toute Vexpérience.

Solution. — Soit x la pression cherchée. Pour obtenir le poids apparent du premiei cube, au moment où l'horizontalité sera établie, il bufflra de déterminer d'abord sxm poids dans le vide, et d'en retrancher le poids de l'air qu'il déplace sous le récipient; or, le poids spécifique de l'air par rapport à l'eau, à 0*et sous la pression de760 inillimétres. est 0.0013 ; le poids du premier cube dans le vide est donc 2^',3240 + 3' x 0,0013 ; le poids de l'air qu'il déplace sous le récipient, à la fin de l'expérience, f^

3' X ' -^ : son poids apparent sous le récipient est donc définitivement

7tJ0

794 PBOBLfiMES.

Solutiûn.—Le volume à 0« du fil de cuivre est, en millimètres eubes, — ^ ; pa r

suite, le volume à 3(h est

ou bien

A X 2907 D'autre part, la section à 30* ayant pour valeur ^^^ > si l'on désigne par j-

la longueur en millimétrés du fil 4 50*, on aura pour déterminer x réquation

4 X 8907 X ar IBOOOOOOO X 1»Ï9

Le calcul, effectué par logarithmes, donne

X = tt6-,803.

XXVlI.l/fie tphère de platine, pêsée dans le mercure, a perdu de ecn poide SO gramunê» à zéro et 49*'. 5415 à 60 degréê. On demande de trouver, d'après ee$ donnéee, te coefficient de dilatation cubique du platine, tachant ^ailleureqme la deneUé du mercur*

à iéro eet 13,6, et que le coefficient de dilatation êheolue de ce liquide #•/ Eg|*

Solution. — Désignons par V le volume de la sphère de platine à zéro, et par x le coefficient de dilatation cubique du métal ; le poids de roerrnre i zéro que cette spliére déplace étant 50 grammes, on a

Vx 13,6 = 50.

A 60 degrés, le volume de la sphère est devenu Y (f •«- 60r); d'autre pari, la densMé in mercure est devenue

et comme la perte de poids est maintenant de 49>%5il5, 11 vient

V (1 + eOx) ^^'\^^^ = 49,5415.

En remplaçant, dans celle équation, V x 15,6 par 30 et tirant la valeur de z, on aura

49.5413 X 187-.50> Ifô ^^.«05 n oooQ^,eo ' 50X185X60 - 555000 ■" "'^^'

nombre qui est, à deux unités du huitième ordre près, égal au triple du ooefflcient de dilatation linéaire du platine. (Voy. le tableau de la page 178.)

XXVIII. Un baromètre a été observé à deux époques différentes, et a donné 770 iiMi<' limètres, à 25 degrés, et 760 millimètres à 5 degrés. On demande le rapport entre

les deux hauteurs corrigées. Le coefficient de diltUaUon du wtercure est £as%» La première hauteur corrigée a pour expression

XXII. On demande quel est à ù* le rolutne intérieur dune ampoule de rerrr

qui à îo* ett exactement remplie par 53»' de mercure. Le coefficient de dilatation m-

bique du verre e<<-^,-^ , celui du mercure «^«î le poid» spécifique dn merturr

it 0" est 133- (Baccalauréat, Paris, 1867.) On trouvera pour volume intérieur de l'ampoule à zéro 5*-",91o.

XXXII. Un thermomètre est plongé^ jusqu'au W* degré de son échelle, dans un liquide chaud; le mercure %' élève dans la tige jusqu'au 130* degré. Cette indicaiioa ne donnant pas la température exacte du liquide, puisque la porliom de la eoUmut mereurielle comprise entre les divisions fO et 130 n'est pas plongée dans le bain, a» demande de calculer la correction qu'elle devra subir, en supposant que la tempé^ rature de la portion extérieure de la colonne mereurielle soit égale à celle de Fatmosphère environnante, savoir 13 degrés; on prendra pour coefficient de dilatatit»

apparente du mercure dans le verre, le nombre ^^^

Solution. -^ Désignons par x la température réelle du bain, c'est-i-dire crile quf marquerait le thermomètre si toute la tige était plongée; xse compose éTidemment de 130 degrés plus la dilatation apparente qu'éprouvent 130 — iO ou liO divisions de mercure, lorsque leur température s*éléve de 15 degrés à x degrés. Donc

x=130+liO(x-15)gjgjj;

d'où l'on tire

637x^^4075, et

1^ température corrigée est donc de

IXXIII. Oti demande quelle perte de poids éprouvent, par le seul fait de la poussée' de Vair, 100 kilogr. de bois, dont le poids spécifique rapporté à Veau est

T^- J> litre d'air dans les conditions de l'expérience pèse 1«',495. (Baccalauréat,

Paris, 1867.) On trouvera que la perte de poids est 21o«';d.

XXXIV. On demande quelle différence il y a entre le poids de iO litres d'air sec à la température de \Qr et à la pression deO',%,et le poids de 10 litres dair égaletnentsec à la température de 15* et à la pression de 0",75. Le litre dair secàfiretà la pression 0',''t6 pèse i" ,iStù. Le coefficient de dilatation de Vair est de 0,003Ç7. (Baccalauréat, Paris, 1867.)

En appliquant les formules données par les questions de ce genre (p. 217), on froovera pour la différence cherchée 0>'»378.

XXXV. Trouver quel rapport on doit établir entre la hauteur du mercure et la longueur de la tige, dans le pendule de Graham{fig. 202), pour que la compensation ait lieu.

Solution. — Représentons par l^ la longueur à zéro de la tige du pendule augmentée de la hauteur de l'étrier, et par h^ la hauteur du mercure i zéro qu'il faut introduire dans l'éprouvelte pour que la dislance du point de suspension au centre df gravité du liquide soit la même à zéro et à une température déterminée /. L'expression de cette distance, ou la longueur du pendule à zéro, est évidemment

en négligeant l'épaisseur du fond de l'éprouvette. Soit V le coefAcient de dilatation linéaire de l'acier, y la hauteur encore incon-

798 PRmLÈMES.

le volome dn gai, à 100 degréf el lom fai preuion de TSOmttliinàlKs devient

5'" X (l-f. 0,371) ^|JJ=6»",9464.

De là résulte que le TOlame de gaz ^ tort da balloa wva, à KNI degrés, el seot la pression de 750 milUmélres

Le poids du gax sorti sera donc, en grammes,

XXXVII. Oh a renfermé de Voir sec dans un tube korizomtaijéCmiiled^mM mâtx de mercure. À la température de 0*. m>U9 75 centimètren de pmato», tair êeempe m éim»wn$ dn inbe, divité en partiet d'égale capacité, A tma température et ttm une prestion inconnue, ce même mbr a cceupé 960 dimeion». Le tube ayant été mi» dans de la glace fondante boum la dernière preaeion, Fair n'y occupe pims que 790 divirion». On demande la température et la preai&n, (Baccalauréat, IH>itierB, 1061)

On trotiTera pour valeur de la pression 72 centimètres, et pour lempèratare 76',2.

XXXVIII. A quelle température Voxijgène, sous la preuion de 20 eeniimitrtt, aurait-il la même densité que rhydrogène à 0*. sous la presaion de 160 centimètresY (Baccalauréat, Poitiers, 1867.)

Solution. — Soit / la température demandée, D la densité de rozygène, d la deatité de rhydrogéne, Tune et l'antre étant considérées i O'et sous ta pressioa de 760 millimétrés. Représentons par Di la densité de l'oxygène à la température cherchée et sous la pression de 20 centimètres, et par dk la densité de l'hydrogène à séro e i sous la pression de 160 centimètres. On aura

76(l-+-«^' el

D'après l'énoncé, on doit avoir

D« =dà.

Donc U valeur de t s'obtiendra en résolvant l'équation

dans Uquelie «< = 0,00367, 4 = 0.0683 et D = 1,1056. Le second manabre de Téquation est sensiblement ^al â 2. Doac

oa trouve alors

XXXIX. Qnel doit être le rayon d'un ballon sphériqne fbrmé d'un taffetas qut pèse VSO grammes le mètre carré, pour que, plein d^kydtogème sec d 20 dagréê et à la preseion de 750 millimètres, il ait une force (ucensionnelle nulle, lortqu'il » trouve dans l'air sec à la wtéme température et à la même preuion? — Poididu

750^. Quelle est, à cette température, la densité de la vapeur déther par rapport à l'air f -^ Le coefficient de dilatation du mercure est ^r^^'y le coefficient de dilatation cubique du verre est O,000OÎ76.

Solution. — La pression barométrique étant ramenée à 0", ramenons de loème à 0* la colonne de mercure qui s'élève dans la cloche, et dont la température est de 80 degrés : la valeur de cette colonne deviendra

i:ii--,16 X ^^ =x 150"

Donc la force élastique de la vapeur d'éther, évaluée par la hauteur d'une colonne de mercure qui serait à «éro degré, est 750-" — loO"" = 600 millimétrés. — Le volume de cette vapeur qui occupe, à 80 degrés, un nombre de divisions égal k 366.48 est, ai centimètres cubes, 366,tô (1 + 0,0000276 x 80) ; le poids du même volume d*air. dans les mêmes conditions de température et de pression, est

fion 1