XXXII APPENDICE

soit par les corps inanimés qui nous entourent, ne sont que des manifestations de la force vive des radiations solaires.

L^animal emprunte, k la combustion dés matériaux qui lui sont fournis par l'alimentalion, Ténergie nécessaire à raccomplissement de ses mouvements. Or un grand nombre d'animaux sont exclusivement herbivores : ceux qui sont carnivores se nourrissent d*animaux qui ont emprunté euxmêmes au règne végétal les éléments de leurs tissus; on peut donc dire que toutes les substances qui doivent être employées comme combustibles dans la respiration des animaux, et fournir l'énergie nécessaire à leurs mouvements, sont empruntées aux végétaux. D'autre part, les végétaux empruntent à la chaleur solaire l'énergie nécessaire à la formation de ces subslauces combustibles elles-mêmes. C'est donc, en réalité, dans la chaleur solaire qu'on doit voir l'origine des mouvements effectués par les animaux : les végétaux constituent des intermédiaires qui gardent en réserve, pour ainsi dire, l'énerçîe fournie par le soleil, et la fournissent à leur tour aux animaux qu'ils alimentent.

Quant aux mouvements eflectués par nos machines, ils empruntent également à la même origine toute l'énertiie qui y est mise en jeu. Pour les machines alimentées par la combustion du bois, la chose est évidente. Celles qui sont alimentées par la combustion de la houille ne font qu>.mprunter, au combustible enfoui dans le sol, l'énergie que la chaleur >oîaire avait accumulée dans les végétaux des siècles passés. Il en est évidemment de même encore des machines dans lesquelles le combustible employé est le coke, le gaz d'éclairage, les diverses huiles hydrocarbonées, etc.

C'est la chaleur solaire qui transforme en vapeur les eaux des mers ou des fleuves, et contribue à la formation des nuages ; c'est l'énergie accumulée dans ces masses d'eau, suspendues au sein de notre atmosphère, qui reparait à l'élal d'énergie sensible quand elles retombent sous la forme de pluies ou de neiges, et viennent former les cours d'eau dont la force vive se transmet aux machines hydrauliques.

C'est la chaleur solaire qui produit à la surface du globe ces mouvements de l'atmosphère qui constituent les vents, et qui peuvent parfois communiquer à l'air une vitesse assez grande pour occasionner les plus grands désastres. Enfin, quand l'homme utilise une partie de cette force vive de translation, pour gonfler les voiles des navires ou pour faire tourner les ailes des moulins, il ne [fait encore qu'employer, pour un travail utile, une énergie dont l'origine est tout entière dans la chaleur émise par le soleil

TRAITÉ

DE

NOTIONS PRÉL.I1IINAIRJBS

1. •« ■MNivemeiit en général. — Un point matériel est dit en motnemerU, lorsqu'il occupe dans Fespace des positions successives, variables avec le temps.

Le mouvement d'un point est complètement déGni, si Ton connaît : i* sa trajectoire, c'est-à-dire la ligne qui contient les positions successives de ce point ; 2* une relation entre les valeurs du temps, comptées à partir d'un instant déterminé, et les espaces parcourus sur la trajectoire, comptés à partir d'un point pris sur la trajectoire elle-même $ une pareille relation est dite une équation du mouvement.

3. ■oovcaieat «nlforme. — Un mouvement est dit uniforme, lorsque les espaces parcourus dans des intervalles de temps égaux sont égaux, quels que soient ces temps.

On appelle viteise d'un mouvement uniforme l'espace parcouru dans un intervalle de temps égal à l'unité. — L'unité de temps adoptée ordinairement est la seconde sexagésimale.

La vitesse est donc exprimée en unités de longueur, comme les espaces : en métrés, par exemple, si le mètre a été pris pour unité de longueur.

La définition même du mouvement uniforme donne immédiatement la forme de l'équation de ce mouvement : soit t; le nombre constant qui

PBIOH ET FSBKST. 1

exprime la vitesse, et convenons de compter les espaces à partir du point même où se trouve le mobile à Tinstant pris pour origine du temps; au bout d*un nombre quelconque de secondes t, l'espace parcouru sera

e = vt.

Étant donné un point animé d'un pareil mouvement, il si^fTira, pour déterminer la valeur de la constante v, de mesurer Tespace parcouru pendant un certain nombre de secondes, et de diviser cet espace par ce nombre de secondes. Si, par exemple, un point parcourt, d*un mouvement uniforme, 24 mètres en 8 secondes, sa vitesse est de ^ ou de 5 mètres par

seconde.

5. Howcineiit ▼arlé. — VltosM mojeiiiie entre deux instamis détermliiés. — Vitesse é, mi Instant déterminé. — Un mouvement est dit varié, lorsque les espaces parcourus dans des intervalles de temps égaux ne sont pas égaux.

Représentons par AB (/f^. 1) la trajectoire d*un mobile situé en A à l'instant pris pour origine du temps, et animé d'un mouvement varié. Soit ÂM l'espace parcouru au bout d'un certain temps t; désignons- le pare. Soit Km l'espace parcouru au bout du temps t-\-(i; désignons-le par c+«. L'espace Mm ou « est l'espace parcouru pendant l'intervalle de

Fig. 1.

temps 0. Or on conçoit que le mobile aurait pu parcourir ce même espace d'un mouvement uniforme, dans le même intervalle de temps, à là condition d'avoir ime vitesse convenable,, qui serait -. Cette vitesse est ce

cju'on nomme la vitesse moyenne du mobile entre les deux instants t et t-f-6 : elle s'obtient, comme on voit, en divisant l'accroissement 6 de l'espace parcouru, par l'accroissement 6 du temps.

Considérons maintenant, au lieu de l'accroissement 6 donné au temps t, un accroissement plus petit 6'; l'espace parcouru AM sera accru seulement de Mm' ou g', et la vitesse moyenne, entre le temps t et le temps

< + 6',sera -. De môme, pour un accroissement de temps 0", Faccroissement d'espace étant Mm* ou e", la vitesse moyenne entre le temps t et le temps t-\-b" sera ^-, et ainsi de suite. Or, si l'on fait décroître indéfiniment les intervalles 6, ô', 0*,... les quotients i-,^,i;,... tendent en général vers une limite déterminée : cette limite est ce qu'on nomme la

NOTIONS DE HÈGANIQUE. 3

rîiefte à Vùuiatd t. — On appelle donc viieêse à un instant déterminé la limite vers laquelle tend le rapport de raccroiséement de Tespace à Taccrdssement du temps, lorsque ce dernier converge vers zéro.

4. MtMfcict vBlfoniiéiiieiit ▼arlé. — Un mouvement est dit taûfarmémeni tariez lorsque la vitesse varie de quantités égales en des temps égaux, quels que soient ces temps. — Il est uniformément a4xéléré ou uniformément retardé, selon que ces variations augmentent la vitesse ou Ja diminuent.

On appelle accélération^ dans un pareil mouvement, la variation de la \itesse dans Tunité de temps. Elle est exprimée en unité de longueur, comme la vitesse. On voit, en outre, qu'elle est de même signe que la vitesse ou de signe contraire, selon que le mouvement est uniformément accéléré ou uniformément retardé. — Nous allons examiner successivement chacune de ces deux espèces de mouvements.

5. MoM-vanoit vMifomiéiiieai aceéléré. — Considérons un mobile animé d'un mouvement uniformément accéléré, depuis Tinstant pris pour origine du temps. Soit Vq sa vitesse initiale, et 7 l'accélération ; si Ton désigne par v la vitesse au bout du temps t, on a, d'après la définition même de Taccélération,

(i) V=zVo-htt,

Cette équation, qui exprime une relation entre les valeurs numériques du temps et les valeurs correspondantes de la vitesse, doit être considérée comme une équation du mouvement : elle suffit pour le définir, quand on connaît la trajectoire. — Il est facile d'ailleurs, comme nous allons le montrer, de la transformer en une relation explicite entre les valeurs du temps et les valeurs correspondantes de l'espace parcouru.

Partageons le temps t en intervalles égaux 0, assez petits pour que la vitesse puisse être considérée comme restant sensiblement constante pendant la durée de chacun, et comme variant seulement aux instants qui séparent chaque intervalle de l'intervalle suivant. Soit n le nombre de ces intervalles, en sorte qu'on ait <=nO. On pourra calculer les chemins tti, a,. Os .... On parcourus pendajit chacun de ces intervalles de temps successifs, au moyen de la formule du mouvement uniforme, à la condition de donner à la vitesse, entre chaque intervalle de temps et le suivant, Taccroissement constant 7O. On trouve ainsi :

a,= (»o-hTÔ)0.

a,=(uo-f-276)6.

Or la somme 04-1-0,4-%+.... + a» n'est autre chose que l'espace par-»

couru pendant le temps n6, espace compté à partir du point où se trouvait le mobile à l*instant zéro. On a donc

e=fiv^^ 4- 7O* [14-2 +5 -H .... (n— 1)],

ou, en eiïectuant la somme des termes de la progression arithmétique qui est dans le second membre,

ce qu'on peut écrire

c^»on9-|-^.nô(w6 — ô);

ou enfin, en remplaçant maintenant nO par (,

Or cette formule donne la valeur de l'espace parcouru e avec d'autant plus d'exactitude que 0 est plus petit : et, à la limite, si Ton fait 0 égal à zéro, il vient

(2) e=:vj-h'^.

Remarque. — Si l'on considère le cas particulier où la vitesse initiale est nulle, on a »o=^; alors la formule (I) devient

c*est-à-dire que/e« vitesses sont proportionnelles aux temps, La formule (2) devient, dans la même hypothèse,

c'ebt -à-dire que les espaces sont proportionnels aux carrés des temps.

Enfin, si Ton élimine le temps entre les deux équations que Ton vient d'obi enir, on a

c'est-à-dire que les vitesses sont proportionnelles aux racines carrées de* espaces parcourus.

L^une quelconque de ces trois lois suffit pour caractériser le mouvement : les trois formules qui les expriment sont équivalentes entre elles, et il suffit de connaître la valeur numérique de la constante 7 qu'elles contiennent, pour que le mouvement soit complètement déterminé.

6. Houvement nnirorniéiiient retardé. — Considérons un mobile animé d'un mouvement uniformément retardé, depuis Tinstant pris pour origine du temps. Si Ton désigne par Vq sa vitesse initiale et par 7 la

KOTIO»S DE MËGAMQUE. 5

diminntimi de la vitesse dans Tonité de temps, la déiinilion même de la quantité 7 donne pour valeur de la vitesse, à un instant déterminé ^

l)e celte formule, on déduira comme précédemment la valeur de l'espace parcouru e, compté positivement dans le sens de la vitesse initiale V|),

Ces diverses formules trouveront leurs applications plus lom, principalement dans Tétude des mouvements des corps sous Faction de la pesanteur.

7 . IPriacIpe de l'Iacrfie. — Un corps matériel ne peut modifier de lui-même f ni son état de repos, ni son état de mouvement, — Par cet énoncé {général, on doit entendre :

i* Qu'un point matériel en repos, si aucune cause extérieure n'agit sur lui, demeure en repos : c*estce quon peut appeler Y inertie dans le repos ;

2* Qu'un point matériel en mouvement, si aucune cause extérieure n'agit sur lui, conserve indéfiniment un mouvement recliligne et uniforme : c'est ce qu'on peut appeler V inertie dans le mouvement.

Le principe de l'inertie doit être considéré comme un résultat d'observation : il sera vérifié par la vérification de ses conséquences.

8. Forées. — On appelle force toute cause capable de produire le mouvement ou d'en modifier la nalure.

Dès lors, l'existence d'une force peut nous être révélée par des phénomènes très-divers. — Si un point matériel, primilivemenl en repos, se met en mouvement, c'est qu'une force agit sur lui; si un point matériel est animé d'un mouvement rectiligne et accéléré, c'est qu'une force agit sur lui dans le sens même du mouvement, etc. — Nous allons voir maintenant, dans les cas où les points soumis à l'action des forces sont assujettis de façon à rester immobiles, l'existence des forces se manifester par des effets d'une nature particulière.

9. divers effets des forées. Égalité de l'action et de la réaction. — Quand un corps pesant est placé sur un plan horizontal, la résistance du plan empêche le corps de se mettre en mouvement, sous l'action de son poids, comme il le ferait s'il élaitlibre; il se produit alors une pres' siony capable de fléchir le plan, ou même de le rompre si le poids du corps

dépassait une certaine limite.— A son tour, le plan réagit sur le corps qui le presse, et cette réaction constitue une force égale et contraire à la pression elle-même; car, si le plan n'existait pas, il faudrait appliquer au corps une force égale et contraire à son poids, pour l'empêcher de se mettre en mouvement.

NOTIONS PRÉUMINiLIRES.

Un corps pesant, suspendu à l'extrémité d*un fîl et en repos, produit sur ce fil une termûn, capable de rompre le fil si le poids du corps dépassait une certaine limite. — À son tour, le fil exerce une réaction égale et contraire; car, si le fil n'existait pas, il faudrait appliquer au corps une force égale et contraire à son poids, pour le maintenir en repos.

Le corps pesant suspendu au ressort représenté par la figure 3 produit sur lui une flexion. — Le ressort, par son élasticité, exerce une réaction égale et contraire ; car, si Ton supprimait le ressort, on devrait appliquer au corps une force égale et contraire à son poids, pour Tempécher de se mettre en mouvement.

Ces exemples suffisent pour montrer que les effets des forces sur les corps peuvent être assez divers, selon la nature des liaisons auxquels ils sont assujettis . — Quant au développement d'une réaction, qui apparaît dans chacun de ces trois cas comme égale et contraire à Vaction exercée par la pesanteur, Newton a montré que c'est là un principe absolument général, applicable à des forces quelconques, et dans Fétat de mouvement aussi bien que dans Fétat de repos.

10. Hemre des forces. — On dit que deux forces sont égales, lorsque, agissant sur un même corps dans les mêmes conditions, elles produisent un même effet.

Pour comparer entre elles des forces inégales, il faut admettre le principe suivant, qui est d'ailleurs confirmé par l'observation et par la vérification de toutes ses conséquences : lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un point matériel, Vaction de chacune d'elles est [la même que si elle agissait seule.

Ce principe étant admis, on dit qu'une force F est égale à n fois une autre

force f, lorsqu'elle produit, dans les mêmes conditions, le même effet que 71 forces égales à f, agissant simultanément.

11. Dynamomètres. — On désigne sous le nom de dynamomètres des instruments qui sont destinés à mesurer les forces par les effets de flexion qu'elles font éprouver à un ressort.

La ligure 2 représente un dynamomètre formé d'une lame d'acier flexible ABC, recourbée en forme de V : de chacune des extrémités A, B, de cette lame, part un arc métallique qui traverse une ouverture pratiquée près de l'autre extrémité. L'un de ces arcs se termine par un anneau D, qui sert à soutenir l'instrument {fig, 5), l'autre par un crochet E, auquel on |peul

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. A.

Fig. 5.

suspendre des poids ou appliquer les forces qu'on se propose de coin-

parm*. — On suspend successivement au crochet des poids de 1, 2, 5,

À tdlogrammes, etc.; le ressort s'injQéchit de plus en plus, et l'on marque

chaque fois le point de Tare extérieur MD qui correspond à Touyerture de

la branche A qu'il traverse. Le dynamomètre étant ainsi gradué, si Ton

attache l'anneau à un point fixe, à Taide d'une corde R, par exemple

{fig. 4), et qu'on applique au crochet une force quelconque f\ n

par Tintermédiaire d'une autre corde S, il se produit, comme

précédemment, une flexion du ressort : si cette flexion est égale

à celle que déterminait un poids de 2, 4, 10 kilogrammes, on

dira que rintensiiéde la force e«^ cfe 2, 4, 10 kilogramme».

On emploie quelquefois aussi un dynamomètre (fig. 5) dont le ressort a la forme d'une hélice (ressort à boudin) ; l'une des extrémités s'appuie contre la base supérieure A d'un cylindre métallique A 6, auquel est fîxé

le crochet E; l'autre extrémité - ^q^^ ,, ^ .(..

sur un disque plan P, qui porte

en son centre une lige verti- ^ ^ ^ E

cale terminée par un anneau D.

Celte tige occupe Taxe commun du ressort et du cylindre, et traverse librement la base supérieure de ce dernier ; elle sort d'une quantité plus ou moins grande, suivant que la force appliquée au crochet est elle-même plus ou moins considérable.

12. Vae forée eonstante, agissant seule sur on point matériel , Inl imprime nn mouvement nnlformément aceéléré* — La démonstration de ce théorème repose sur le principe suivant, qu'on doit considérer comme vérifié par la vérification de ses conséquences : Vadion d'une force sur un point matériel est indépendante du mouvement dont ce point est animé; elle est la même que si le point était au repos.

Ce principe étant admis, soit une force F, agissant sur un point matériel que Ton peut, par exemple, supposer d'abord au repos : cette force lai imprime, au bout d'une seconde, une vitesse 7. Si la force cessait alors d'agir, le point continuerait à se mouvoir, d'un mouvement recliligne et uniforme, avec la vitesse 7 (7, 2"); si donc la force F agit sur lui pendant un nouvel intervalle de temps égal à une seconde, son action étant indé« pendante du mouvement dont le point est animé, elle lui communique, au bout de ce temps, une nouvelle vitesse 7 s' ajoutant à la première, en sorte que la vitesse au bout de deux secondes est 2^, et ainsi de suite Donc, au bout du temps t, la vitesse est

et le mouvement est uniformément accéléré .

s SOTIOKS PRÉUMIMAIRES.

Il est dair que la démonstration s^appliqne également au cas où le corp«^ serait animé d*une vitesse initiale v^; dans ce cas, la ▼ite^se au bout du temps l serait exprimé par Vq + ^f .

deux forces F,F'; supposons qu'elles aient une commune mesure f, et qa*on ait

F fi

f=nf, f'=n'f, et par suite |:; = -.

»Si la force [, agissait seule sur le mobile considéré, elle lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré, dont nous pouvons représenter Taccélération par a. Donc, si n forces égales à / agissent simultanément sur ce même mobile, puisque Faction de chacune d'elles est indépendante de celle des autres, elles lui imprimeront une accélération n fois plus grande, c'est-à-dire n«. De même, si n' forces égales à f agissent simultanément sur le même mobile, Faccélération produite sera n'a. On a donc, en désignant par 7 et Y les accélérations imprimées par F et P,

on en déduit :

1 = et par suite

Ce principe étant démontré pour le cas où les forces ont entre elles une commune mesure, quelque petite qu'elle soit, nous le considérerons par cela même comme général.

14. HasM. — L'équation que nous venons d'obtenir peut s'écrire

Or, si l'on faisait agir sur le même corps une autre force F'^, le rapport de cette force à l'accélération f" qu'elle produirait serait encore le même : on a donc, pour toutes les forces appliquées à un même corps,

La valeur m de ce rapport constant est ce qu'on nomme la ma$u du corps.

On appelle donc ma$se d'un col^s le nombre corutant qui exprime le rapport (Tune force quelconque à V accélération quelle imprime à ce corps, — La valeur de ce nombre dépend : 1* du choix de ïunité de farce :

Tanité ordinairement adoptée est le kilogramme ; ^* du choix de Vuniié de longueur et du choix de Vunité de temps^ puisque Faccélération est la variation éprouvée par la vitesse dans Tunilé de temps : l'unité de longueur ordinairement adoptée est le métré, l'unité de temps esl la seconde.

Si maintenant on considère, en particulier, parmi les forces qui peuvent ai;ir sur un corps, celle qui résulte de l'action de la pesanteur sur lui, c*est-à-dire son poids P, et si l'on désigne par g l'accélération qu'il prend sous cette action (accélération que nous verrons être la même pour tous les corps tombant librement, en un même lieu), on aura

On peut donc appeler, en particulier, masse d'un corps le rapport de soM poids à V accélération qu'il prend sous V action de la pesanteur seule.

Enfin, on peut se demander quelle est Vunité de masse déterminée par les divers choix d'unités qui viennent d'être indiquées. —Or, si Ton considère un corps dont la masse est exprimée par i, on doit avoir, pour ce corps, Vz=g. L'unité de masse est donc la masse d'un corps dont le poids en un lieu déterminé est exprimé , en unités de poids, par le nombre qui exprime l'accélération de la chute libre, en unités de longueur, dans le même lieu. Par exemple, l'accélération de la clmle des corps à Paris est, comme on le verra, 9*,8088; l'unité de masse est donc la masse d'un corps qui pèse, à Paris, 9*",8088.

15. Hcmure des forces eoastaBtc», par les aeeélératlons 4«*elles laiprImeBt. — Outre l'emploi des dynamomètres, qui permettent de mesurer les forces constantes par les flexions qu'elles produisent sur un ressort en équilibre (il), nous avons maintenant un moyen de mesurer les forces par l'observation des mouvements qu'elles impriment à un corps soumis à leur action. — Soit un corps dont on connaisse le poids P : en divisant le nombre P par le nombre g qui exprime l'accélération due à la pesanteur dans le même lieu, on connaîtra

p sa masse m = -. Dès lors, si l'on observe l'accélération 7 qu'imprime à

ce même corps la force qu'on se propose de mesurer, lorsqu'elle agit seule sur lui, on aura, entre la valeur inconnue F de la force et l'accélération connue 7, la relation

d'où Ton déduira la valeur de la force

FiÉT. 6.

16. BepréscatetloB fféoméiriqae des forées. — Une force est complètement définie, si Ton donne : i* son point éT application, c'est-à-dire le point sur lequel s'exerce directement son action ; 2* sa direction, c'està-dire la direction du mouvement que cette force, agissant seule, tend à imprimer à ce point; 3' son intensité, c>st-à-dire sa valeur numérique, évaluée à l'aide de Tunité de force.

On représente géométriquement une force par une droite partant du

point d'application, dirigée suivant la direction même de la force, et égale

à autant de fois Tunité de longueur que la force contient de fois fimitéde

force.

Lorsqu'une force appliquée en un point A d*un corps solide (fig. 6) le

sollicite dans la direction AF, on voit aisément que l'effet de cette force ne sera pas changé, si Ton vient à transporter son point d'application en un autre point C ou B du corps, situé sur la même direction : il en serait encore de même si Ton appliquait la force en un point D extérieur au corps, pourvu que ce point fût supposé lié invariablement au corps. — En d'autres termes, le point d'application dune force peut toujotars être transporté en un point quelconque de sa direction, pourvu quon suppose ce point lié invariablement au premier.

17. Composition des forées appliquées en un même point. — On démontre, en Mécanique, que si plusieurs forces sont appliquées en un même point, elles peuvent toujours être remplacées par une force unique oxxréêullante, produisante elle seule le même effet que toutes les autres agissant simultanément.

Nous nous contenterons d'énoncer, sans démonstration, les régies qui

permettent d'obtenir la résultante de plusieurs forces appliquées en un même point, dans les divers cas qui peuvent se présenter :

1* Deux forces appliquées en un point, dans la même direction et dans le même sens, ont une résultante égale à leur somme^ et agissant dans la même direction et dans le même sens que les forces proposées ;

2" Deux forces appliquées en un même points dans la même direction et en sens contraire, ont une résultante égale à leur différence, agissant dans la même direction, et dans le sens de la plus grande, des deux forces proposées ; 3* Deux forces P, Q {fig. 7) appliquées en un même point A, dans des di-

Fig. 7.

différentes, ont une réstdtante représentée, pour sa grandeur^ sadi reciian et son sens, par la diagonale AR du parallélogramme qui a pour raies adjacents les deux forces proposées.

Dès lors, pour obtenir la résultante d*un nombre quelconque de forces appliquées en un même point, il suffît de composer d'abord deux de ces forces en une seule ; puis la résultante partielle ainsi obtenue avec une troisième force, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces à une seule, qui est la résultante du système tout entier.

18. CiMBpoflitloB des forées parallèles. — 1* Deux forces parallèles et de même sens V, Q [fig. 8) appliquées en deux points A, B d*un corps solide, ont une résultante R qui leur est parallèle, dirigée dans le même sens qu* elles, égale en grandeur à leur somme, et placée de manière

Fig. 8. Fig. i).

qu'elle partage la droite AB en deux parties AG, BG, inversement proportionnelles aux intensités de ces forces V et Q.

2* Deux forces parallèles, de sens contraire et inégales, P, 0 (fiÇ' ô) appli^ quées en deux points k, B d'un corps solide, ont une résultante R qui leur est parallèle, égale en grandeur à leur différence^ dirigée dans le sens de la plus grande, et placée de manière qu'elle rencontre le prolongement de la droite AB en unpoint G, tel que les distances AC, BG, soient inversementjproportionnelles aux intensifs de ces forces P et Q.

Pour composer ensemble un nombre quelconque de forces parallèles et dirigées dans le même sens, p, p", p'', ... (fig. 10), appliquées en divers points A, B, G... d*un corps solide, il suffît de composer d'abord deux de ces forces, p, p\ en une seule r; puis cette résultante partielle avec une troisième force p", et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait réduit toutes les forces à une seule R, qui est la résultante du système {*).

(*) Si l'on a des forces parallèles dirigées, les unes 'dans un sens, les autres en sens contraire, on composera d'abord les premières en une résultante R, qui sera dirigée dans le même sens qu'elles; puis, les secondes, en une résultante R', qui sera dirigée en sens contraire de R ; si ces deux forces R et R' sont inégales, elles aoroDt une résultante, égale à leur différence, qui sera la résultants définitive du système. Si elles sont égales, et non situées dans le prolongement l'une de l'autre, elles constitueront un couple, tendant, comme on Tindiquera plus loin, à produire on mouvement de rotation (20) ; elles ne pourront donc être remplacées par une résaltante unique.

NOTIONS PRÉLIVINAIUBS.

19. Ccatre éicm forées parallèles. — Soit un certain nombre de forces parallèles p,j9', p",... [fig. iO), appliquées aux points A» B» C...,et supposons qu^on change la direction commune de ces forces (comme l'indiquent les lignes marquéessur lafigure en traits discontinus) sans changer,

ni leurs points d'application, ni leur parallélisme, ni leurs rapports d'iotensité. On voit immédiatement que le point D de la droite ÂB, par lequel passe la première résultante partielle r ne sera pas changé, puisque la position de ce point est simplement

déterminée par la relationî^î^ - »

' BD p

el ainsi de suite pour tous les points semblables, jusqu'au point 0 par lequel doit passer toujours la résultante définitive. (!e point prend alors le nom de centre de$ forces parallèlet.

On appelle donc centre des forces parallèles^ pour un corps solide déterminé, tin point par lequel passe constamment la résultante d'un système de forces parallèles appliquées en des points déterminés de ce corps, lorsqu'on change la direction commune de ces forces, sans changea' leur parallélisme, ni leurs rapports d'intensité,

20 C<Niples. — On donne le nom de couple à un système de deux forces parallèles, P, P' {fig. il), de sens contraire et égales, appliquées en deux

points différents A, B d'un corps solide, et ayant une direction différente de celle de la droite A6 qui joint leurs points d'application. Un pareil système ne peut être remplacé par une force résultante unique; il tend à imprimer au corps un mouvement de rotation.

On nomme bras de levier d'un couple la longueur ÂG de la perpendiculaire commune aux deux forces. — On appelle moment d'un couple le produit de l'une des forces P, mesurée en unités de force, par la longueur du bras de levier AG, mesuré en unités de longueur.

On démontre en Mécanique : 1* qu'un couple peut être remplacé par tout autre couple de même moment, situé dans son plan ou dans un plan parallèle, pourvu que les points d'application du second soient

Fig. iO.

Fig. H.

KOTIONS DE MËGiLNIQUK. 13

supposés liés aux points d'application du premier, d'une manière invariable ; 2* que deux couples sont entre eux comme leurs moments.

De ces deux théorèmes, on déduit immédiatement qu'un couple a pour mesure son moment. Il faut entendre par là que, si Ton prend pour unité, dans la mesure des couples, le couple qui a pour force l'unité de force et pour bras de levier l'unité de longueur, le nombre qui exprime la mesure d*un couple déterminé est égal au produit du nombre qui exprime la mesure de la force, en unités de force, par le nombre qui exprime la mesure du bras de levier, en unités de longueur.

21 . €oHipo«ltloB des forces de dlreeitoas ipielecMiqaes, appH- 4«ées en des points différents d*nn même eorps. — Des forces en nombre quelconque, appliquées en divers points d'un même corps et suivant des directions quelconques, n'ont généralement pas de résultante, c*est-à-dire qu'elles ne peuvent être réduites à une force unique. Maison démontre qu'elles peuvent toujours se réduire à un couple et à une force non située dans le plan du couple.

C'est donc seulement dans certains cas particuliers que le système de toutes les forces appliquées à un même corps peut se réduire, soit à un couple unique, soit aune force unique. — On a vu, par exemple, que les forces appliquées en un même point peuvent toujours être remplacées par une force résultante (1 7 ) .Il en est évidemment de même, quand les forces sont appliquées en des points difTérents du corps, mais ont des directions concourantes, c'est-à-dire quand leurs directions passent toutes par un même point ; en effet, on peut toujours les considérer comme appliquées toutes à ce pobit de concours (16), et par suite on peut toujours les composer en une résultante unique, passant par ce point.

2i. È^nllibre. — Lorsque des forces, agissant simultanément sur un corps complètement libre, se neutralisent de telle façon, que tout se passe comme si ces forces n'existaient pas, on dit qu'elles se font équilibre.

Quand toides les forces qui sollicitent un corps se font équilibre, ce corps est, ou en repos, ou animé d'un mouvement uniforme (7).

Deux forces égales et de sens contraire, appliquées en un même point d'un corps, se font évidemment équilibre. On en peut dire autant de deux forces agissant en sens contraire aux deux extrémités d'une droite matérielle et dans la direction même de cette droite.

En général, toutes les fois que des forces se font équilibre sur un corps parfaitement libre, chacune déciles peut être considérée comme égale et di^ reetement opposée à la résultante de toutes les autres.

35. Tm mil d'nne forée dont le fwilnt d-ni^UenUon se dépinee êaam In direction de In forée elle-même. — MUo^maunètre. — Pour caractériser complètement l'elTet produit par une force dont le point d'application se déplace, on doit tenir compte, non-seulement de la grandeur de la force, mais aussi du déplacement qu'éprouve son point d'application pendant un temps déterminé. — - De là, la notion du travail. Noua

en dirons quelques mots, en nous bornant au cas où le point d^applicatioii se déplace dans la direction même de la force.

Soit deux poids P et F, à élever à une même hauteur; si Ton considère comme ayant une valeur déterminée le travail efîectué pour éleTer à cette hauteur le poids pris pour unité, il est évident que le travail efieclué en élevant le poids P aura une valeur égale à la première multipliée par P, et que le travail efTectué en élevant le poids P' aura une vaileur égale à la première multipliée par P'. — De là, ce premier théorème : les travaux effectués en élevant différents poids à une même hauteur sont proportionnels à ces poids.

Soit maintenant un même poids à élever à deux hauteurs diHerentfô H et H' ; si Ton considère comme ayant une certaine valeur le travail efTe€>tué en élevant ce poids à la hauteur prise pour unité, le travail elTectué en rélevant à la hauteur H aura une valeur égale à la première multipliée par H, et le travail efTectué en relevant à la hauteur II' aura une vaîleiir égale à la première multipliée par H'. — De là, ce second théorème : les travaux effectués en élevant un même poids à différentes hauteurs sont proportionnels à ces hauteurs.

Soit maintenant T le travail effectué en élevant un poids P à une hauteur H, et T' le travail effectué en élevant un poids P' à une hauteur H' ; cherchons le rapport de T à T'. — Pour cela, prenons comme inconnue auxiliaire le travail T|, qui correspondrait à Télévation du poids P' à la hauteur H : on aura, d'après ce qui précède,

et aussi

En multipliant ces égalités membre à membre, et supprimant le facteur commun Tj, il vient

TPxll T'""Pxll'

De là, ce troisième théorème : les travaux effectués en élevant des poids différents à des hauteurs différentes sont entre eux comme les produits de chacun des poids par la hauteur à laquelle il a été élevé.

CSonvenons maintenant de prendre pour unité de travail le travail efTectué en élevant 1 kilogramme à une hauteur de i mètre ; cette unité de travail est ce qu'on nomme le kilogrammètre. En faisant 1^=1 etH'=i dans la relation précédente, il vient

T Pxll

1 kilogranunètre

TiOTlONS SUR U CONSTITUTION DES CORPS. 15

<:'est-à-dire que la mesure, en kiiogrammètres, du travail effectué en élevant P kilogrammes à H mètres, est égale au produit du poids par la hauleur.

En général, le> travail d'une force constante , dont le point d'application xe déplace dans ta direction même de la force, a pour mesure, en kilogrammètres^ le produit de la force exprimée en kilogrammet par le déplacement ej^primé en mètres.

Lorsque le déplacement a lieu dans le sens même où agit la force, le traTail est dit moteur. Lorsque le déplacement a lieu en sens inverse de TactioD de la force, le travail est dit résistant. — Ainsi, lorsqu'un corps pesant est animé d'un mouvement vertical de haut en bas, le travail de son poids est un travail moteur; lorsqu'il est animé d'un mouvement vertical de bas en haut, le travail de son poids est un travail résistant. — De même, lorsqu'un corps animé d'un mouvement vertical de haut en bas «^ soumis à des pressions verticales dirigées, les unes de haut en bas, les autres de bas en haut, les travaux des premières sont des travaux moteurs, les travaux des secondes sont des travaux résistants : c'est le 'Contraire si le mouvement du corps a lieu de bas en haut.