CHAPITRE XX IL

Des Phénomènes capillaires.

IN^ous avons déjà plusieurs fois remarqué que les phénomènes les plus curieux de la physique, sont ceux qui nous donnent quelques lumières sur la constitution même des corps et sur les actions réciproques de leurs particules. Nous allons considérer une classe entière de phénomènes de ce genre très-étendue et très-variée, et qu’il est d’autant plus important de connaître, qu’elle offre le grand avantage de pouvoir être soumise à un calcul rigoureux.

Si l’on suspend horizontalement des plaques de verre , de marbre , de métal , etc. à l’un des plateaux d’une balance ; et après les avoir mises en équilibre avec des poids , si on les fait toucher à la surface d’un liquide , on voit qu’elles y adhèrent avec une certaine force ; car elles ne peuvent plus en être séparées qu’en ajoutant de nouveaux poids dans l’autre plateau. Cette adhésion n’est pas produite par la pression de l’air , car elle a lieu de même dans le vide. On voit donc qu’ici ce sont les molécules mêmes du corps solide qui s’attachent aux particules du liquide , en vertu d’une force d’affinité. Mais , ce qu’il y a de bien remarquable , il en résulte aussi qu’il s’exerce une action de ce genre entre les particules du liquide lui-même. En effet , lorsque le disque est susceptible d’être mouillé par le liquide, comme cela a lieu, par exemple, dans le cas d’un disque de verre posé sur l’eau ou sur l’alcool , ce disque , lorsqu’on le retire, emporte avec lui une petite couche liquide qui y reste adhérente. Ce n’est donc pas , à proprement parler , le corps solide qui s’est détaché du liquide , c’est cette petite couche qui s’est séparée des molécules liquides qui étaient au-dessous d’eile. Or , la force qu’il faut employer pour l’en

détacher ainsi, est incomparablement plus considérable que sou propre poids , et par conséquent cet excès de force proirve nécessairement l’existence d’une adhésion intérieure au liquide, qui retenait la petite couche unie au reste de la masse liquide , indépendamment de la pesanteur.

D’après les notions que nous avons déjà acquises sur les attractions réciproques des molécules des corps, nous devons pressentir que la force qui s’exerce ici est de même nature que ces attractions, et qu’elle n’aura d’effet sensible qu’à des distances très-petites. €’est aussi ce que î’experience démontre. Quelque épaisseur que l’on donne à la matière du disque , si la nature et le contour de sa surface est la même, la force qu’il faudra employer pour le détacher d’un liquide donné sera la même aussi. Par conséquent, une fois que le disque a une certaine épaisseur , probablement plus petite que toutes celles que l’art pourrait lui donner , les nouvelles couches matérielles qu’on y ajoute n’exercent plus sur le liquide d’action appréciable. D’où l’on voit que cette action n’est capable de produire des effets sensibles que dans les distances très-petites. Mais ce qui le prouve mieux encore , c’est que tous les disques de même largeur , quelle que soit leur nature , lorsqu’ils sont susceptibles d’être mouillés par le liquide , exigent absolument la même force pour en être détachés. Ainsi , dans ce cas , la petite couche d’eau infiniment mince qui s’attache à leur surface , met entre eux et le reste du liquide une distance assez grande , quoique si petite , pour que celui-ci n’en éprouve aucune action sensible ; et alors la force qu’il faut employer pour détacher tous les disques de même largeur est égale , parce que c’est celle qui est nécessaire pour détacher le liquide de lui-même.

Des phénomènes produits par la même cause, mais différons en apparence , s’observent encore quand on plonge dans un liquide des tubes creux dont le calibre intérieur est fort petit. Alors si le liquide est de nature à mouiller le tube, on le voit s’élancer dans son intérieur , et s’y maintenir élevé au-dessus du niveau naturel , d’autant plus que le tube est plus étroit. C’est ce qui a lieu, par exemple, quand on plonge des tubes de verre dans

Peau ou dans l’alcool. Mais si le liquide n’est pas de nature à mouiller le tube , comme cela a lieu , par exemple , quand on plonge des tubes de verre humides dans du mercure , ou des tubes graissés dans l’eau , on voit le liquide s’abaisser audessous du niveau , au lieu de s’élever ; et cela toujours d’autant plus que le tube est plus étroit. Tels sont les phénomènes que les physiciens ont appelés capillaires , pour exprimer que le diamètre des tubes qui servaient à les produire, devait approcher de la finesse des cheveux.

Ces effets des tubes très-fins sont les mêmes dans le vide que dans l’air ; ils ne tiennent donc pas à la pression de ce fluide. Mais , et ceci sera prouvé par toute la théorie que nous allons établir , ils dépendent , comme les précédens , des attractions à petites distances exercées par le tube sur le liquide , et par le liquide sur lui-même.

D’abord on peut prouver , comme précédemment , que la cause qui les produit n’agit d’une manière appréciable qu’à des distances très-petites; car, si l’on fait varier l’épaisseur du verre dont sont formés les tubes , sans changer leur diamètre intérieur , les élévations ou les abaissemens du liquide y demeurent absolument les mêmes qu’auparavant. Ainsi, au-delà d’une certaine limite d’épaisseur, probablement trop petite pour que nous pussions l’atteindre, toutes les couches que l’on peut ajouter à la matière du tube ne produisent plus d’effets appréciables. Par une conséquence de cette loi, lorsque des tubes de même diamètre sont mouillés complètement par le liquide , dans toute leur étendue , son élévation est la même dans tous , quelle que soit leur nature ; ce qui prouve que déjà la petite couche qui s’attache à leur surface intérieure éloigne assez leurs particules du reste des colonnes liquides , pour que leur attraction sur elles devienne insensible. Alors l’ascension est égale dans tous les tubes , parce qu’elle est égale à ce qu’elle serait dans un tube d’égal diamètre formé par le liquide lui— même. Cette égalité tient, comme on voit , à une cause pareille à celle que nous avons observée dans l’adhésion des disques sur un liquide qui les mouillait.

Avant de chercher à nous former une théorie de ces phéno-

mènes , il faut apprendre à les observer avec exactitude. Ser-

vons-uous d’abord d’eau et de tubes de verre. Si nous plongeons un de ces tubes dans l’eau à diverses profondeurs, nous verrons que tantôt elle s’élève plus haut , tantôt plus bas. Cette variation pourrait tenir à des inégalités dans le diamètre intérieur du tube : mais ce n’en est pas la seule cause; car on l’observe encore clans des tubes d’un calibre parfaitement égal. Tels sont ceux dont je suppose que nous faisons usage. En observant avec attention le mouvement de la colonne d’eau , on s’aperçoit que sa surface supérieure , qui est toujours terminée par un ménisque concave vers l’air, n’a pas constamment la même courbure; et , en général , on remarque que plus cette courbure est concave, plus la hauteur de l’eau au-dessus du niveau naturel est grande. Sans savoir en quoi cette courbure peut influer sur la hauteur , nous sommes conduits ainsi à reconnaître qu’il existe entre ees deux élémens un certain rapport. Alors nous devons présumer que le frottement de l’eau le long des parois sèches du tube peut , par sa résistance , s’opposer à ce qu’elle prenne toujours une courbure égale, et, par suite, l’empêcher de s’élever à une égale hauteur. Le seul moyen de prévenir ces variations, sera donc de commencer par mouiller parfaitement la surface intérieure du tube , afin que l’eau s’y élève librement et sans aucune résistance , comme elle ferait dans un tube d’eau , si on en pouvait former un. En effet , cette précaution a tout le succès qu’on en pouvait attendre ; l’eau, à une même température, s’élève toujours à une hauteur parfaitement égale dans un même tube , lorsque ce tube est mouillé.

Cet inconvénient n'a pas lieu pour l’alcool , soit qu’il mouille mieux le verre , soit que ses particules glissent les unes sur les autres et sur le verre avec plus de facilité. Néanmoins , il peut être bon de plonger d’abord le tube dans l’alcool même, afin de mouiller parfaitement sa surface intérieure , avant d’y observer la hauteur à laquelle l’alcool doit s’y élever. On conçoit aisément que les autres liquides exigent de pareilles précautions.

Pour connaître avec précision le diamètre intérieur de chaque

DES PHÉNOMÈNES CAPILLAIRES. 44 ï

tube, nous commencerons par le peser vide. Nous le pèserons ensuite, après y avoir introduit une certaine quantité de mercure qui s’y allongera en un cylindre dont nous nommerons îa longueur 1. L’excès de la seconde pesée sur la première nous fera connaître le poids P du mercure employé. Or, en nommant r le rayon du tube , et % le rapport de îa circonférence au diamètre, le volume de cette quantité de mercure dans le tube était

ir r2 l.

Soit m le poids d’un millimètre cube de mercure, à la température où l’on opère ; m est donnée par les formules de la page 4°9 1 Alors si r et l sont aussi exprimées en millimètres, le produit tv m r* l exprimera le poids du volume de mercure wr^l- Puisque ce poids est connu et égal à P, on aura l’égalité

7v in l

Comme le nombre m est peu considérable , lorsque l’on prend Je gramme pour unité, il faut l’employer avec un assez grand nombre de décimales. Tel est le moyen le plus exact de mesurer les diamètres des tubes, et c’est aussi celui que M. Gay~Lussac a employé.

Mais maintenant comment faire pour observer avec exactitude la hauteur de la colonne élevée ? À cet égard , rien n’est plus exact et plus commode que l’appareil imaginé par M. Gay- Lussac, et décrit dans la fîg. 92. A B CD est un large vase cylindrique de verre qui renferme le liquide. A sa base , sont trois vis qui servent à le caler , de manière que son orifice A B devienne parfaitement horizontal; ce dont on s’assure en y posant un niveau. Le tube capillaire T S H dont on veut se servir pour l’expérience , est retenu dans une coulisse C C perpendiculaire à une lame plane a b , que l’on pose sur l’orifice AB du vase. Par ce moyen , le tube est maintenu dans une position verticale, et il ne reste plus qu’à mesurer la hauteur de la colonne liquide HS qui s’y élève au-dessus du niveau N N. Pour cela , M. Gay-Lussac emploie une règle divisée RR, qui peut aussi être rendue verticale au moven de deux vis calantes , et le long de laquelle, par un mouvement de vis , 011 fait monter et des-

4 42. DES PHÉNOMÈNES CAP f LL A I R ES .

cendre parallèlement à elle -meme une lunette d’un court foyer (i). On vérifie la verticalité delà règle au moyen d’un fil à plomb P F. La lunette est munie à son intérieur d’un micromètre représenté à part en MM , et composé de deux fils très-fins qui se croisent à angle droit sur son axe. On fait mouvoir la lunette jusqu’à ce que le fil horizontal FF du micromètre devienne tangent à la convexité inférieure du sommet de la colonne liquide, et on lit sur la division RR le point où elle est alors fixée. Il faut maintenant déterminer le point H de la colonne auquel répond le niveau naturel. Pour cela , on pousse la plaque a b , de manière que le tube TH vienne se ranger le long des bords du vase ; et, sans le retirer, ce qui changerait la quantité et par conséquent le niveau du liquide , on fait descendre à sa surface une tige verticale tt' qui se pose de même sur l’orifice du vase au moyen d’une traverse perpendiculaire a! b' . Cette tige peut monter et descendre dans la traverse, par un mouvement de vis. On se sert de' ce moyen pour faire descendre la pointe inférieure ty jusqu’à ce qu’elle touche le niveau N du liquide , sans faire autre chose que l’effleurer. Quand ce contact est bien reconnu, on enlève une petite portion de beau du vase , ce qui se fait à l’aide d’une petite mesure M suspendue au bout d’im fil de fer. Alors l’extrémité inférieure t de la tige se trouve au-dessus du liquide d’une petite quantité. On peut donc l’observer aussi avec la lunette. Mais, comme celle-ci , à laquelle on n’a pas touché , se trouve encore au niveau du sommet de la colonne , on la fait descendre le long de la règle , jusqu’à ce que l’extrémité inférieure t de la tige réponde au centre o des fils du micromètre ; et la longueur ainsi parcourue sur la division de la règle donne précisément la hauteur de la petite colonne liquide HS, mesurée depuis sa base H jusqu’au point le plus bas S de sa concavité.

Il reste maintenant à mesurer la forme et les dimensions du petit ménisque qui termine la colonne. D’abord, dans les expériences faites avec des tubes très-étroits , on pourrait négliger

(i) Quoique nous n’ayons pas encore donué la théorie des lunettes, on peut les employer d’une manière purement expérimentale , comme des ins! rumens qui rendent la vision plus nette et plus distincte.

ce ménisque , dont le poids serait alors extrêmement petit par rapport à celui de la colonne élevée ou abaissée. Mais on peut pousser plus loin l’approximation , relativement aux tubes cylindriques , en remarquant que dans ceux de ces tubes où le liquide se meut librement , la forme du ménisque est exactement ou à très-peu de chose près une demi-sphère tangente aux parois intérieures du tube. On peut reconnaître cela aisément , soit à la seule inspection de cette surface , d’après sa régularité , soit par des mesures micrométriques. Le ménisque a encore une forme circulaire quand le liquide s’élève ou s’abaisse entre deux plans parallèles, et il est également tangent à ces plans, lorsqu’ils sont complètement mouillés. Nous pourrons donc, dans ces circonstances , calculer avec toute l’exactitude possible le volume total de la colonne élevée ou abaissée, et lorsque ces évaluations précises nous auront prouvé la justesse de la théorie , on pourra , relativement aux autres formes de tubes , se borner à calculer approximativement le volume de la colonne liquide d'après sa hauteur moyenne , telle qu’elle est donnée par le procédé de M. Gay-Lussac.

Après avoir donné le moyen de faire ces expériences avec exactitude, et d’en tirer des données précises, il faut nous former une théorie qui nous permette de les comparer entre elles dans les différens cas. Nous y parviendrons en analysant avec soin les forces diverses qui agissent sur le liquide , et en nous appuyant sur ce principe d’expérience que ces forces n’ont d’effet sensible qu’à des distances très-petites. C’est ce qu’a fait M. Laplace dans sa belle Théorie des phénomènes capillaires. Nous allons exposer ici la méthode de raisonnement sur laquelle elle est fondée.

Imaginons un tube quelconque prismatique et vertical TH, fîg. p 3 , dont les côtés soient perpendiculaires à la base. Supposons que ce tube soit attaché fixément aux parois d’un vase solide, et qu’il plonge par sa base dans un liquide dont la nature soit telle qu’il s’élèA^e dans l’intérieur du tube au-dessus de son niveau naturel HH'. Si nous considérons d’abord une petite colonne liquide située dans l’axe même du tube , à une distance sensible

de ses parois intérieures, il est clair que cette petite colonne ne peut pas être supposée soutenue par l’attraction immédiate des parois; car nous avons prouvé que cette attraction n’est pas capable de produire un effet appréciable à une si grande distance. Il faut donc que la petite colonne soit soutenue par l'attraction des autres colonnes liquides qui l’environnent. En effet, nous avons trouvé que les molécules des liquides exercent ainsi des attractions les unes sur les autres. Celles-ci, à leur tour , seront donc retenues par l’attraction des colonnes plus éloignées, jusqu’à ce qu’enfin de proche en proche nous arrivions assez près du tube pour que l’attraction de la matière qui le compose soit sensible, et contribue immédiatement à l’élé— valion des lames qui la touchent. Nous sommes ainsi amenés à voir qu’en dernier résultat l’élévation de toutes les colonnes liquides est produite par l’attraction du tube pour le liquide , et du liquide sur lui-même ; d’où l’on comprend que l’ascension doit s’arrêter lorsque le poids total des coionnes élevées balance la résultante de toutes les attractions qui tendent à les élever davantage. Cherchons à analyser exactement les diverses forces qui concourent à cet effet.

D’abord nous pouvons simplifier cette recherche , en profitant de ce principe d’hydrostatique , que, si une masse fluide est en équilibre avec une certaine figure , on peut mener à travers cettç masse un canal de figure quelconque , et les molécules que ce canal renferme étant considérées à part , devront aussi être en équilibre en vertu des forces qui agissent sur elles. A l’aide de ce principe, nous pouvons d’abord isoler en quelque sorte celle des parties du liquide que nous devons faire entrer en considération dans notre problème. Pour cela , prolongeons par la pensée les parois intérieures du tube T Ï1 à travers la masse même du liquide. Formons ainsi un second tube idéal HT7, qui soit d’abord vertical comme le premier , mais qui ensuite se recourbe horizontalement, et enfin reprenne la direction verticale T" H7 en conservant toujours dans toute son étendue la même figure et la même largeur.

Puisque, par hypothèse , les parois intérieures de ce second

tube n’ont absolument aucune épaisseur , elles ne produiront aucune attraction , ni aucune répulsion sur les molécules liquides , et par conséquent cette supposition n’altérera nullement les circonstances du problème ; mais elle aura cet avantage qu’elle le fera seulement dépendre des conditions ordinaires de l’équilibre des fluides pesans dans un canal; conditions dont l’application est extrêmement simple , et n’exige pour ainsi dire que la connaissance des forces par lesquelles le fluide est sollicité.

Essayons donc d’en faire ici l’analyse , et pour la rendre plus facile encore , remarquons que , d’après la manière dont nous avons considéré l’adhérence des colonnes liquides les unes pour les autres , nous pouvons considérer le liquide élevé dans le tube T H comme ne formant qu’une seule masse pesante , dont le poids total doit être soulevé par la résultante de toutes les forces attractives, sans que les molécules fluides qui le composent se séparent , précisément comme si ces molécules étaient unies et solidifiées par la congélation.

Cela posé , si nous considérons tout le fluide pesant contenu dans le canal T H T' T" H', comme étant ainsi isolément en équilibre , en vertu des forces qui l’animent , nous aurons d’abord pour condition générale de cet équilibre, que les pressions totales exercées sur les deux extrémités S et H' de la colonne fluide soient égales entre elles. En vertu de cette condition, si la pesanteur seule sollicitait les molécules fluides dans toute l’étendue du canal , le niveau devrait être le même dans les deux branches. Mais il s’élève plus haut dans la première branche T H T'; il faut: donc que l’excès de pression qui en résulte soit détruit par les attractions verticales du tube solide TH et du fluide même sur la colonne contenue dans cette première branche. Analysons avec soin ces attractions diverses, et considérons d’abord celles qui sollicitent la portion de la masse fluide située sous le tube T H , dans le prolongement de sa direction.

Ce tube étant supposé vertical et droit , sa base est horizontale. Ainsi la colonne fluide qui forme son prolongement H'J> est attirée verticalement en bas; i°. par elle-même; 2°. par le fluide extérieiir qui environne le tube idéal HT, Mais ces

deux attractions sont équilibrées par les attractions semblables qu’éprouve le fluide contenu dans la seconde brandie verticale Ï^H' du canal idéal; on peut donc en faire abstraction ici. Le fluide HT' est encore attiré verticalement en haut par la colonne fluide HS contenue dans le tube réel placé au-dessus de lui. Mais cette attraction est détruite par l’attraction qu’il exerce à son tour de haut en bas sur cette colonne. On peut donc encore faire abstraction de ces deux forces égales et opposées. Enfin le fluide HT' est attiré verticalement en haut par la matière solide du tube réel T H. Il en résulte dans ce fluide une force ascensionnelle verticale que nous désignerons par Q, et qui contribue à détruire l’excès de pression exercée sur lui par la colonne HS, élevée dans le tube réel au-dessus du niveau extérieur.

Examinons présentement les forces qui animent le fluide contenu dans le tube réel T H. Ce fluide éprouve dans sa partie inférieure les attractions suivantes : i°. il est attiré par lui-mème ; mais les attractions réciproques d’un corps ne lui impriment aucun mouvement, s’il est solide; et l’on peut, sans troubler la pression verticale , concevoir le fluide du tube T H consolidé ; 2°. ce fluide est attiré en bas par la colonne liquide contenue dans le tube inférieur H T' ; mais on vient de voir qu’il attire à son tour cette colonne de bas en haut, avec une force égale, et que ces deux attractions se détruisent comme étant produites par des masses finies et de même nature ; il est donc inutile d’en tenir compte; 3°. le fluide T II est encore attiré en bas par le fluide inférieur qui environne le tube idéal HT' ; et de cette attraction il résulte une force verticale dirigée vers le bas , et que nous désignerons par — Q' ; nous lui donnons le signe — pour indiquer que sa direction est contraire à celle de la force Q. Ces deux forces Q et Q' seraient égales entre elles si la matière du tube T H était de même nature que le fluide. Car quoique l’épaisseur de la masse fluide , qui environne le tube idéal TH', et qui attire en bas la colonne supérieure avec la force — - Q', puisse être indéfiniment étendue, tandis que l’épaisseur des parois du tube réel, qui attire en haut la colonne

Inférieure H T', soit limitée , cependant , comme la nature de ces attractions est de n’être sensible qu’à des distances trèspetites, on voit que l’épaisseur des parois du tube TH pourrait être aussi augmentée indéfiniment sans qu’on changeât d’une quantité appréciable les attractions qu’il exerce sur la colonne HT'; et voilà pourquoi ce tube attire la colonne, comme ferait une masse de même nature , d’une étendue infinie. Donc , si la matière du tube était la même que celle du fluide , les deux attractions -f- Q et — - Q' se compenseraient exactement ; et en général leur inégalité ne tient qu’à la différence d’intensité qui existe entre les actions des particules qui composent le tube et le fluide. Si Ton pouvait présumer que les attractions des matières de nature diverse sont toutes exprimées par une même fonction de la distance, sans autre modification qu’un coefficient constant g , ç', qui pourrait alors servir de mesure à leur intensité , les attractions de deux particules attirantes , également éloignées d’une même molécule attirée , seraient proportionnelles à £ , g', et cette proportionnalité aurait encore lieu pour des masses de figures semblables attirant une molécule semblablement placée. Dans ce cas, les forces -f* Q et — Q' seraient proportionnelles aux intensités des attractions exercées par le tube sur le fluide , et par le fluide sur lui-même.

4°. Enfin le fluide T II est encore soulevé par une autre force ; c’est l’attraction verticale qu’exerce sur lui la matière du tube dans lequel il est renfermé. En effet , concevons ce fluide partagé en une infinité de colonnes verticales parallèles entre elles et infiniment minces. Si, par l’extrémité supérieure d’une de ces colonnes, on mène un plan horizontal, la partie du tube comprise entre ce pian et la surface de niveau HH', ne produira «

aucune force verticale sur la colonne , parce que son effet se compensera de lui-même pour la tirer en sens contraire par les deux extrémités. Il n’y aura donc de force verticale active que celle qui sera due à la partie du tube supérieure au plan , et si est visible que l’attraction verticale de cette partie du tube sur la masse entière H S , sera la même que celle du tube entier sur la colonne inférieure HT', qui est égaie en diamètre , et semblablement placée , dans le tube idéal situé sous le premier. La force

verticale totale, produite par Pattraction du tube réel sur le fluide qu’il renferme , sera donc encore égale à -}- Q. Ainsi en réunissant toutes les attractions verticales qu’éprouve le fluide renfermé dans la première branche verticale H T du canal, on aura une résultante verticale dirigée de bas en haut , et égale à 2 Q — - Q\ Cette force doit balancer l’excès de pression produit par le poids de la colonne fluide élevée au-dessus du niveau naturel. Soit donc Y le volume de cette colonne, D sa densité, g la pesanteur; V sera son poids; et l’on aura

Ceci nous montre d’abord que le volume Y doit toujours être de même signe que la quantité 2 Q — Q'. Ainsi, selon que eette quantité sera positive , nulle ou négative, le niveau intérieur surpassera le niveau extérieur , ou l’égalera , ou s’abaissera au-dessous de lui.

Maintenant l’action n’étant sensible qu’à des distances imperceptibles , le tube matériel HT n’agit sensiblement que sur des colonnes extrêmement voisines de ses parois ; on peut donc faire abstraction de la courbure de ces parois, et les considérer comme étant développées sur un plan. Alors la force Q sera proportionnelle à la largeur de ce plan , ou ce qui revient au même , au contour de la base intérieure du tube. Ainsi , en nommant C ce contour , on aura Q = g C ; ç étant une constante qui pourrait représenter l’intensité de l’attraction de la matière du premier tube sur le fluide, dans le cas où les attractions des différens corps seraient exprimées par la même fonction de la distance ; mais qui, dans tous les cas , exprime une quantité dépendante de l’attraction de la matière du tube , et indépendante de sa figure et de sa grandeur. On aura pareillement Q'— ç;. C, % exprimant, par rapport à l’attraction du fluide sur lui-même, ce que nous venons de désigner par g , relativement à l’attraction du tube sur le fluide ; on aura donc ainsi

Cette condition est comme on voit une conséquence nécessaire de la nature et de l’opposition des forces diverses qui sollicitent le fluide. Elle a lieu nécessairement si le fluide est en équilibre ; et réciproquement il faudra qu’il soit en équilibre si elle a lieu ,

DES PHÉNOMÈNES CAPILLAIRES. 44g

puisque la pression sera alors égale dans les deux brandies du canal que nous avons imaginé. Elle renferme donc en elle seule tout le résultat de l’action des forces qui agissent dans ce genre d’expérience. Aussi, en la développant, nous allons en voir découler tous les phénomènes de manière à pouvoir les prédire exactement. Commençons par les tubes cylindriques , dans les-* quels la colonne liquide est terminée par une demi-sphère.

Soit r le rayon intérieur d’un de ces tubes, fig. 94 , et h la hauteur de la colonne fluide H S , mesurée depuis le niveau extérieur 3N" N jusqu’au point le plus bas S du ménisque qui la termine. Si l’on désigne par tt le rapport de la circonférence au diamètre , le contour de la base de cette colonne sera 2 r. La surface de cette meme base sera r2, et le volume de la portion cylindrique de la colonne , depuis H jusqu’en S , sera 7r r2 h. Pour avoir son. volume total , il faut lui ajouter celui du ménisque qui la termine. Or, celui-ci est égal au cylindre qui aurait pour base 7c /•% et pour hauteur r , moins la demi-sphère qui a pour rayon r. L’expression du volume du ménisque sera donc

7T rJ

ou simplement

7T rJ

Ainsi le volume total Y de la colonne liquide élevée dans le tube , aura pour valeur % r* h -f- y w r3. De plus , le contour C de sa base sera mr; substituant ces valeurs dans notre équation générale entre Y et C , elle deviendra

D [v r% h -{ )=(2ç — . g# ) . 2 sr r ,

ou simplement en divisant tout par tc r

formule applicable à tous les tubes cylindriques où le fluide est terminé par une demi-sphère. Suivons-en les conséquences.

D’abord , si nous comparons entre eux des tubes de même nature , plongés dans un même, fluide , à une température constante , les quantités g, g', g D seront les mêmes pour tous ces Tome I. 29

4ôo t>es phénomènes capillaires.

tubes, et le second membre de l’équation sera constant. En le représentant par A, nous aurons

r ( h -f- -) = A , d’où h 4- - ~ -- .

Si le tube est extrêmement étroit, la hauteur h de la colonneliquide sera très -grande, relativement au rayon de sa base. Dans ce cas , à moins que les expériences ne soient très-précises , la petite quantité ~ r se confondra avec les erreurs des observations , et l’on trouvera que les hauteurs moyennes h sont réciproquement proportionnelles aux diamètres intérieurs des tubes. C’est aussi ce que les physiciens avaient depuis long- temps annoncé.

Mais au moyen dés expériences de M. Gay-Lussac, nous pouvons soumettre la formule à une épreuve plus délicate. En observant l’ascension de l’eau dans les tubes de verre, par la méthode que nous avons décrite , ce physicien a trouvé les résultats suivans :

Diamètre des tubes en millimètres. 2. r.

Elévation de l’eau en millimètres jusqu’au point le plus bas de sa concavité. h.

TEMPÉRATURE

jl faut nous servir de la première observation pour calculer la constante A , et ensuite nous emploierons cette constante pour calculer l’élévation h dans le second tube , d’après la formule. On a ainsi

A = 0,647205 (a3,i634 -|- 0,216735) = 1 5, 1 3i j„ Alors , pour le second t ube , la formule donne

cl en mettant pour r sa valeur 0,951 go5 , on trouve

h — 15^8956 — omra,3i73 = i5mm,5783*

Cette valeur ne diffère de la valeur observée que de omm,oo78; quantité tout-à-fait négligeable. On voit que l’influence du r

terme - ou oram,3 J

73 est très-sensible dans ces expériences,

puisqu’elle est quarante ou cinquante fois plus grande que l’erreur qu’elles comportent.

Appliquons encore notre formule à l’alcool. M. Gay-Lussac a obtenu avec ce liquide les résultats suivans :

Diamètres des tubes en

millimètres. 1 r.

Ex.évation de l’alcool en millirn. jusqu'au point le plus bas de sa concavité, h.

TEMPÉRATURE

9mm, I 8235

Les tubes étaient les memes qui avaient servi pour l’eau. La pesanteur spécifique de l’alcool employé était 0,81961 à la température de 8°, 5.

La première expérience étant employée pour déterminer A , nous donne

A — 0,647025 (9™, 18235 -f- 0,215735) ~ 6mm,o825 ; c’est la valeur de A pour cet alcool. De là on tire pour le second tube

et en mettant pour A sa valeur

h — 6mm, 38981 — omm,3i73 — 6mm, 072.5.

Résultat qui s’accorde parfaitement avec l’observation.

Modifions maintenant notre formule générale de manière à l’appliquer à l’élévation du fluide entre deux lames planes et très-étendues , éloignées l’une de l’autre à la distance fig. g5. Dans ce cas , lorsque les plans sont de nature à être mouillés par le liquide, on peut considérer le prisme liquide qui s’y élève comme terminé par un cylindre horizontal , dont le diamètre

est <È, et dont la longueur est égale à celle des plans, que nous désignerons par a . A la vérité , en agissant ainsi, on néglige la courbure du fluide aux deux extrémités de ce cylindre , mais on peut le faire lorsque les plans sont supposés indéfiniment étendus ; et , dans tous les cas , cela revient à appliquer la formule seulement aux portions de sa surface, qui sont assez éloignées des extrémités des plans pour être sensiblement cylindriques. D’après ces conventions , nous pouvons calculer aisément le volume du liquide élevé ; car d’abord , depuis le niveau extérieur H jusqu’au sommet S du ménisque, nous aurons un parallélépipède rectangulaire dont le contour horizontal sera 3 a + 2 «é, la surface de la base a ê' , et le volume a £h. Ensuite , le ménisque liquide sera égal au petit prisme rectangulaire dont la base est a et la hauteur \ moins le volume du demicylindre circulaire dont la longueur est a et le rayon est |

Le volume de ce ménisque aura donc pour expression

a 7T cT

ainsi le volume total Y du liquide sera

, ou simplement ^

De plus , G étant le contour total de la base , on a

C 2 fl -f 2 ^

En substituant ces valeurs dans notre équation générale de la page 448 , il vient

<?D \a êh + (!~ "j)] — 2(2«~ (')(“ + *)>

ou, en divisant tout par a g D,

Si l’étendue des plans est excessivement grande, comparativement à leur distance , - pourra être regardé comme insensible ;

ce qui est une de nos conventions précédentes. On aura alors

La quantité — - — - est précisément celle que nous avons

nommée A , relativement aux tubes cylindriques. En l’introduisant ici , nous aurons

ce qui donne

Si la distance £ des plans entre eux est extrêmement petite, ê' / nr \

le terme — 1 1 — 7 ) devra se confondre aisément avec les er-

reurs des expériences, à moins que celles-ci ne soient extraordinairement précises. Alors 011 croira que les hauteurs moyennes

h sont égales à — , et par conséquent réciproques aux distances à

*+T fi- 7

des plans; c’est, en effet, ce que les physiciens avaient généralement annoncé.

De plus, comme la valeur de h , dans les tubes cylindriques,

est , à très-peu de chose près , exprimée par — , A étant le même

pour les plans que pour les tubes, s’ils sont de même nature, on voit que l’élévation du fluide, entre deux plans éloignés l’un de l’autre à la distance est la même que dans un tube cylindrique dont le rayon serait J". C’est, en effet, ce que les physiciens avaient aussi remarqué.

Mais en appliquant la formule aux expériences de M. Ga y ~ Lussac , nous pouvons lui laisser toute son exactitude. Ce physicien a observé l’élévation de l’eau entre deux glaces bien planes , et disposées parallèlement l’une à 1 autre , à une trèspetite distance. Pour cela , il les séparait par quatre brins do fil de fer très-fm et passé à la filière. Ces quatre brins avaient: été coupés consécutivement dans un même morceau , afin qvte;