CIR — - CIS

Conformément à la notation que nous avons employée pour les miroirs, appelons Y, X, X' les angles successifs formés a vec l’axe de la lentille par la normale I C , et par les deux rayons incidens et réfractés. Puisque le rayon, en entrant dans le verre, se rapproche de la normale C IZ , il est clair que le point R tombera entre C et S. On aura donc

CIS~Y — X C I R = V — X' ; et en substituant ces valeurs dans la relation trouvée entre les deux angles , il viendra

Si l’on faisait n = — - ! dans cette formule, on retomberait précisément sur celle que nous avons trouvée pour la réflexion sur un miroir ; et en effet , il est évident que la réflexion peut être considérée comme une réfraction dans laquelle le rapport constant des sinus est — i. Maintenant le rayon réfracté II', étant prolongé jusqu’à la seconde surface de la lentille, devient incident à son tour , et toutes les considérations précédentes deviennent encore applicables à la seconde réfraction qu’il éprouve ; seulement , comme nous supposerons qu’il rentre dans le vide ,

11 faudra changer le rapport de réfraction n en - ; à cela près ,

la formule restera la même. Désignant donc le rayon émergent par I'I'R' , et par I C' la normale à la seconde surface, nous nommerons X" et Y' les angles que ces deux droites forment avec l’axe de la lentille, et nous aurons ~X.'/ f \

— = X'-f ( I ]V’, d’où X" = «X' — (« — i)V\

Si nous éliminons l’angle X' entre cette équation et la précédente , nous aurons tout de suite la relation qui doit exister entre les angles X X que le rayon incident et le rayon réfracté forment avec l’axe ; ce sera

Il ne reste plus qu’à calculer les angles VY', d’après la position donnée du point d’incidence sur la lentille. Pour cela, par ce point , et par le point d’émergence, menons à l’axe les ordonnées ÏP , T P' que nous nommerons y etp', et nommons aussi /•, r les

rayons des sphères sur lesquelles les deux surfaces sont travaillées ; nous aurons rigoureusement

• v * si n Y r= —

sin Y'

Il est évident que la seconde ordonnée y' dépend de la première je? de l’épaisseur de la lentille et de la direction du rayon réfracté ; mais, sans chercher à calculer cette dépendance, nous remarquerons que, dans les usages ordinaires de la physique, on emploie des lentilles dont l’épaisseur est fort petite, comparativement aux rayons de leurs surfaces ; de sorte que les termes de y* qui dépendraient de cette épaisseur, devant se trouver divisés par r , seront par cela meme fort atténués ; et ils le seront bien davantage encore par la petitesse supposée de l’angle X^que le rayon réfracté forme avec l’axe de la lentille; car si Xr était tout-à-fait nul , ce rayon deviendrait parallèle à l’axe , et y serait rigoureusement égal à y. Par ce double motif ? nous pourrons, sans erreur sensible, supposer y ~y dans tous nos calculs.

Enfin , comme ce sont surtout les distances focales qui nous intéressent, nommons A la distance AL du centre de figure de la première surface , au point où l’axe est coupé par le rayon, incident ; et désignons par A' la distance analogue A7 Pt7, comptée de même pour le rayon émergent , à partir de la seconde surface. En négligeant les sinus verses AP , A' V , qui sont trèspetits, du second ordre, nous aurons

tang X = - tang X = — .

Et nous pourrions , par les mêmes motifs que tout-à-l’heure , supposer ici y égal ky. Or, la petitesse des angles Y , Y', X , X" , sur lesquels nous opérons , nous permet de substituer à leurs rapports, dans l’équation (i) , celui de leurs sinus ou de leurs tangentes ; ce qui donne alors

tang X" = tang X -ÿ- ( n — i ) ( sin Y — - sin Y' ). Maintenant , si nous mettons pour ces diverses quantités leuyy

s5o DES LENTILLES SPHERIQUES.

valeurs , y disparaît comme facteur commun , et il reste

La disparition de y nous apprend que cette relation est commune à tous les rayons incidens qui partent du même point S, quel que soit d’ailleurs l’endroit de la lentille où ils tombent. Plaçons le point S sur l’axe même de la lentille ; alors A sera le même pour tous les rayons qui en émanent. Par conséquent, selon notre formule , A' sera aussi le même pour les rayons réfractés. Tous ces rayons, après la réfraction, rencontrent donc encore l’axe en un même point R', situé à la distance A' de la seconde surface ; distance que l’on pourra calculer par notre formule , lorsque l’on connaîtra r r et A , c’est-à-dire les rayons des deux surfaces de la lentille, et la distance du point S de l’axe d’où les rayons lumineux divergent.

Si ce point s’éloigne à l’infini, le faisceau des rayons incidens devient parallèle à l’axe ; alors — est nul , et la formule se réduit à

A" s’appelle alors la distance focale principale de la lentille ; nous la représenterons en général par F.

Le signe de cette distance est uniquement déterminé par celui de la différence r — r. S’il est positif , le foyer principal tombe en avant de la lentille, du côté des rayons incidens, fig. 56. Alors les rayons lumineux ne s’y réunissent pas réellement , et il n’indique que le point où leurs directions concourent; c’est le cas des lentilles divergentes , quelle que soit leur forme.

Au contraire, si r — r est négatif, la distance A’ devient aussi négative , c’est-à-dire qu’elle doit se prendre sur l’axe , à partir de la seconde surface de la lentille, en sens contraire de ce que notre première construction supposait. Alors le foyer principal est situé au-delà de la lentille. Les rayons lumineux s’y réunissent réellement , et il s’y forme une concentration

DES LENTILLES SPHÉRIQUES. s5 i

effective de chaleur et de lumière; c’est le cas des lentilles convergentes , fig. 5^.

Toutes les variétés de formes que présentent ces deux classes de lentilles dépendent , comme on voit , des signes et des grandeurs de leurs rayons. Le signe indique le sens de la courbure. Nous l’avons supposé positif pour les surfaces qui tournent leur concavité vers les points rayonnans. Il faut donc le supposer négatif pour celles qui tournent vers eux leur convexité.

Quand on connaît le foyer principal d’une lentille convergente ou divergente, il est facile de trouver le foyer d’un point rayonnant quelconque situé hors de l’axe. En effet , soit S ce point , fig. 58 , et M A M le profil de la lentille , que je représente par une simple ligne , pour indiquer qu’elle est supposée très-mince. Par le point S, menons le rayon incident SI parallèle à l’axe A X de la lentille ; ce rayon , après les deux réfractions , viendra passer au foyer principal F ; de sorte que IF sera la direction du rayon émergent qui en résulte. Menons maintenant un autre rayon incident SA, dirigé au centre de figure de la lentille; celui-ci la traversera sans se dévier, puisque l’épaisseur étant supposée infiniment petite, et les deux surfaces en A parallèles , la lentille fait en cette partie l’effet d’un verre plan infiniment mince. Il n’y aura qu’à prolonger SA en ligne droite, jusqu’à ce qu’il coupe le premier rayon émergent en. jf, et le point y sera le foyer commun de ces deux rayons ; il le sera aussi de tous ceux qui émanent du même point rayonnant S. La fig. 5g représente l’effet de cette construction pour une lentille divergente , et la fig. 58 pour une lentille convergente. De plus, à cause de la petitesse de l’angle SAX et des incidences sur le miroir , il se trouve que les distances AS , Aydes points rayonnans et du foyer à la lentille , ont entre elles la même relation que si elles étaient comptées sur l’axe même , c’est à-dire celle qu’exprime l’équation (2). D’après cela, si, au lieu des résultats d’une construction graphique, on veut avoir numériquement les coordonnées rectangulaires du foyer /*, rapportées à l’axe, c’est-à-dire A Q et f Q, leur détermination sera bisn facile ; car si l’on abaisse aussi du point rayonnant S

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l’ordonnée SP sur l’axe, le point Q se trouvera être le foyer du point P ; de sorte qu’en représentant A P par A , A Q par A', cette dernière distance pourra se calculer d’après la formule donnée plus haut. A Q étant connu, on mènera la ligne indéfinie Q / perpendiculaire sur l’axe, et son intersection par le rayon S A, prolongé s’il est nécessaire, sera le foyer cherché. D’après cela, si l’on nomme/, Y, les distances SP,y"Q du point rayonnant et du foyer à l’axe de la lentille , on aura évidemment

Ces formules détermineront A' et Y, quand A et y seront donnés. Si A' est positif, Y sera de même signe que/- ; le foyer f tombera du même côté de la lentille et du même côté de l’axe que le point rayonnant S , fig. 60. Si , au contraire , A' est négatif, Y sera de signe contraire à y ; le foyer et le point rayonnant auront des positions opposées de part et d’autre de l’axe et de la lentille , fig. 61. Ces résultats suffisent pour construire , dans tous les cas possibles , les images des objets , et pour déterminer leur position , leur forme et leur grandeur apparente.

Ici , comme avec les miroirs , on peut , lorsque les images sont réelles, les rendre sensibles , en recevant les rayons sur un verre dépoli, que l’on va regarder du côté opposé; mais la variété des apparences est beaucoup plus grande qu’avec des miroirs.

En mesurant avec soin les distances A , A' de l’objet et de l’image à la lentille , on peut déterminer sa distance focale principale ; car les valeurs de ces distances étant substituées dans l’équation (2) , on peut y regarder r et r comme inconnues, et l’on en tirera

Comme les deux rayons r r entrent simultanément, et sous une forme pareille , dans la composition de la distance focale F, on voit qu’on ne peut pas , par des observations de ce genre, les déterminer séparément , à moins que l’on n’ait d’ailleurs entre eux quelque autre relation donnée à priori .

DES LENTILLES SPHERIQUES. ^53

Supposons, par exemple , que les deux surfaces de la lentille aient été travaillées sur un même bassin sphérique ; alors les rayons r r seront nécessairement égaux entre eux , et de signe contraire ; ce qui donnera r' = — /

d’où

, et par suite r = 2 (ri — i ) F .

Le rayon des surfaces pourra donc se déterminer par ces formules , dès qu’on aura mesuré la distance focale principale F ; car le rapport de réfraction n doit être censé connu d’avance» L’observation de F se fera ici comme pour les miroirs , en mesu» rant la distance de la lentille au point où se forment les images distinctes des objets éloignés. Mais cette détermination ne sera possible qu’autant que ces images se formeront réellement par une réunion des rayons lumineux ; ce qui limite la méthode aux lentilles convergentes. Alors A' sera négatif, ainsi que r.

On trouve dans l’optique de Newton une suite d’expériences très-délicates faites avec une lentille également convexe , dont la distance focale principale F, mesurée en pouces anglais, était 84P °,a5; le rapport de réfraction n était Avec ces nombres 3 notre formule donne

. 04,2b ~ giP°,gï .

En disposant sur un même axe plusieurs lentilles dont les foyers et les intervalles sont convenablement calculés, on parvient à former des systèmes qui font voir les objets plus distincts et plus grands qu’à la vue simple. C’est en cela que consistent les lunettes ou télescopes dioptriques. Tout instrument de ce genre peut être considéré comme essentiellement composé de deux systèmes de verres dont les destinations sont différentes. Le premier, que l’on nomme l’objectif est , comme son nom l’annonce , situé du côté de l’objet; et il a pour but d’en projeter derrière lui à une certaine distance une petite image fort nette et fort lumineuse. L’autre système, qui se nomme l’oculaire , est situé du côté de l’œil qui observe; il est destiné à agrandir la petite image formée au foyer de l’objectif, et à la rejeter à une distance de l’œil convenable pour la vision distincte. Aussi la

position de l’oculaire dans chaque lunette doit-elle être modifiée selon les différentes vues. Tous les verres qui composent une lunette doivent être placés dans l’axe d’un tuyau noirci , afin que la lumière des objets situés sur le prolongement de cet axe soit la seule qui puisse parvenir à l’œil ; et même il faut que le tuyau total soit composé de deux parties mobiles l’une dans l’autre , dont l’une renferme l’objectif, et l’autre l’oculaire, afin que chaque observateur ait la facilité d’enfoncer ou de retirer ce dernier système pour l’amener à la position qu’exige la portée plus ou moins longue de sa vue. Je me borne ici à ces indications, qui suffisent pour montrer l’usage des lunettes et la manière de s’en servir. Quant au calcul des foyers et des intervalles que les verres doivent avoir dans chaque cas pour produire l’effet que l’on en désire, on le trouvera dans mon Optique analytique.

THÉORIE PHYSIQUE DE LA RÉFRACTIGIn. 20 3