CHAPITRE IL

Des Lentilles sphériques .

Les méthodes que nous avons employées pour calculer les déviations que les rayons lumineux subissent en traversant des prismes terminés par des faces planes , peuvent s’appliquer au cas général où le milieu réfringent est terminé par des surfaces courbes quelconques. Car ici , comme dans la réflexion de la lumière, on peut assimiler les rayons à des lignes droites mathématiques , dont la réfraction sur chaque point d’une surface s’opère exactement de la même manière qu’elle se ferait sur le plan tangent. Il suffit donc de calculer la position de ce plan, à chaque point d’incidence , pour déterminer la déviation que le rayon lumineux doit éprouver; et ce calcul est toujours possible , quand la forme de la surface est donnée.

Dans les applications usuelles de l’optique , il n’est nullement nécessaire de s’élever à cette généralité ; car on n’y emploie jamais que des verres sphériques, parce que ce sont les seuls qui puissent s’exécuter avec exactitude et facilité ; il suffit donc d’analyser et de calculer les réfractions qu’ils produisent. Pour le faire avec toute la simplicité possible, et même pour bien comprendre les résultats que l’analyse peut nous indiquer , il faut prendre d’abord une connaissance générale de cette espèce de verres , et se mettre au fait de leurs propriétés principales.

Si l’on conçoit une ligne droite, ou axe, menée par les H centres des deux surfaces sphériques qui terminent un pareil verre , et qu’ensuite on dirige un plan coupant suivant cet axe , on aura le profil du verre, qui, selon la direction des courbures que l’on peut donner aux deux surfaces, aura nécessairement l’une des formes représentées dans les flg. 4$> 4^? 47? 48,4g, 5°*

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On distingue ces diverses formes par des dénominations qui sont adoptées généralement :

i°. Verre doublement convexe, fig. 4^. La ressemblance de cette espèce de verre avec une lentille lui en a fait donner le nom, qui s’est étendu ensuite à tous les autres verres sphériques.

2°. Plan convexe , fig. 46. La concavité et la convexité est toujours considérée relativement aux objets situés hors du verre.

3°. Concave, convexe, fig. 47 et 43. Ces deux formes diffèrent l’une de l’autre en ce que la première est plus mince au bord qu’au centre , et que la seconde , au contraire , est plus mince au centre qu’au bord. Nous verrons bientôt les particularités qui résultent de cette dissemblance dans la construction.

4°. Plan concave , fig. 4g.

5°. Doublement concave, fig, 5o.

Toutes ces formes de verres s’accordent en ce point , que les plans tangens aux deux surfaces sphériques qui les terminent sont d’abord parallèles entre eux aux points A, Aa où la lentille est percée par son axe; de là jusqu’aux bords du verre , l’angle des deux plans tangens va toujours en augmentant de plus en plus , et symétriquement de chaque côté de l’axe. U11 rayon lumineux qui traverse un pareil verre se réfracte précisément comme il ferait dans un prisme qui serait formé par les deux plans tangens aux points d’incidence et d’émergence. Une lentille sphérique, quelle que soit sa forme, peut donc être considérée comme un assemblage de pareils prismes , ou comme un prisme d’ouverture variable , dont l’angle réfringent , d’abord nul sur l’axe At Aa de la lentille, va ensuite en augmentant jusqu’à ses bords.

D’après cela , toutes les formes de verres sphériques que nous avons décrites peuvent se partager en deux classes , selon que la base ou la pointe des prismes réfringens est tournée vers l’axe At Aa de la lentille. La première classe comprendra les fig. 45 , 4 6 , 47 ; la seconde , les fig. 48 , 49 > 5>o.

Il est facile de concevoir l’influence de cette différente disposition des prismes sur la marche des rayons lumineux. Car si l’on imagine un faisceau de rayons incidens parallèles entre eux et à l’axe At A* des lentilles, il est évident que toutes celles de

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la première classe réfracteront ces rayons vers l’axe A(Â2, tandis que celles de la seconde classe, au contraire, les en écarteront. Ainsi les premières feront converger la lumière du faisceau incident , et les autres la feront diverger ; aussi a-t-on donné à ces deux classes de lentilles le nom de verres couver gens et verres diverge ns.

Examinons de plus près la manière dont ces phénomènes se produisent, et commençons par la première espèce de lentille dont le type général est représenté par la fîg. 5 1 . Dans le nombre des rayons qui composent le faisceau incident parallèle à Taxe A, A2, il en est un SA, qui coïncide avec cet axe lui-même. Celui-là traverse la lentille aux points où les deux surfaces qui îa terminent sont parallèles. De plus , son incidence et sou émergence se fait perpendiculairement à ces deux surfaces. Il n’en éprouve donc absolument aucune déviation , et il passe en conservant sa direction primitive SA, F. Mais il n’en est plus ainsi pour les rayons incidens situés à une petite distance de l’axe. Ceux-ci éprouvent une réfraction, à la vérité fort petite, parce que l’angle réfringent du prisme qui les courbe est peu considérable. Ils vont donc couper le premier rayon quelque part en F. A mesure que les rayons incidens s’éloignent de l’axe , la déviation qu’ils subissent est plus forte; ils se coupent donc successivement les uns les autres en F, Fa... , et l’ensemble de toutes ces intersections supposées infiniment rapprochées les unes des autres forme en général deux branches de courbe qui commencent au point F, où se coupent les rayons très- voisins de l’axe , et se terminent en F2 sur le prolongement du dernier rayon qui traverse la lentille à ses bords. Ces courbes se nomment des caustiques. Mais lorsque les surfaces de la lentille ne comprennent qu’un très-petit nombre de degrés sur les sphères suivant lesquelles elles sont travaillées , l’expérience imontre qu’il se rassemble beaucoup plus de rayons au point F qu’en tout autre: de sorte que îa courbe FF, Fa s’y concentre alors presque entièrement ; aussi donne-t-on à ce point le nom de foyer. Quant à la manière de déterminer sa position , nous la tirerons bientôt de la théorie.

En raisonnant de même sur les lentilles divergentes dont le

type général est représenté par la fig. 5a , on concevra de même qu’elles doivent former deux branches de courbe FFt Fa également symétriques au-dessus et au-dessous de l’axe; mais le foyer principal F des rayons voisins de l’axe tombe du même côté de la lentille que les rayons incidens ; de sorte qu’il ne se fait pas une concentration réelle de lumière en ce point, non plus que sur tout autre point de la courbe des intersections. Alors cette courbe indique seulement le lieu où concourent les directions des rayons émergens.

Dans toutes les figures que nous avons jusqu’ici considérées , les lentilles sont représentées comme parfaitement symétriques autour de l’axe À, Aa; en sorte que cet axe contient aussi le centre de figure de leur contour extérieur. Quand cela a lieu , on dit que le verre est exactement centré ; et cette condition est très-importante pour les usages optiques , comme on le concevra bientôt. Lorsqu’elle n’est pas satisfaite, l’épaisseur de la lentille à ses bords est nécessairement inégale, comme le montre la fig. 53 , dans laquelle Al A2 est réellement l’axe commun des deux surfaces sphériques, tandis que B, B2 est l’axe apparent mené par les centres des deux cercles qui forment, le contour extérieur du verre.

Il suit de là que les lentilles convergentes sont nécessairement centrées , lorsqu’elles sont tranchantes par les bords ; car leurs épaisseurs sur ces bords étant nulles sont égales partout. Au reste, lorsque nous aurons appris à reconnaître par expérience la position des foyers, nous verrons qu’on peut s’en servir avec beaucoup d’exactitude pour vérifier le centrage dans toute espèce de lentille.

D’après ce que nous avons dit plus haut sur la formation des caustiques, on doit comprendre que , pour les verres comme pour les miroirs , la concentration des rayons se fera toujours, d’autant plus exactement qu’ils passeront plus près de l’axe des lentilles qu’ils traversent : aussi dans les instrumens d'optique est-on souvent obligé de couvrir les bords des lentilles et une portion de leurs surfaces avec des anneaux circulaires opaques que l’on nomme diaphragmes , Les rayons lumineux

ne tombent plus alors que sur la portion circulaire et centrale de la surface de la lentille qui n’a point été couverte. Le diamètre de cette portion restante se nomme Y ouverture du verre .

En général , dans les usages optiques qui demandent de l’exactitude, on ne donne jamais aux lentilles que des ouvertures très-petites, comparativement aux rayons de leurs courbures, et l’on n’y admet que des faisceaux lumineux très-peu inclinés sur l’axe qui joint les centres de leurs surfaces ; ce sont là les seuls moyens d’obtenir de la netteté dans la vision. Il en résulte que, soit dans leur incidence, soit dans leur émergence , les faisceaux rencontrent toujours les surfaces de la lentille presque perpendiculairement ; ce qui affaiblit les déviations qu’ils éprouvent, et facilite singulièrement les calculs par lesquels on peut les déterminer.

Pour fixer les circonstances de cette disposition d’une manière géométrique , considérons d’abord un seul point rayonnant S , fig. 54 , placé au-devant de la première surface d’un verre sphérique. Par ce point et l’axe du verre menons un plan qui coupera la lentille suivant un de ses profils At A2 ; nous devrons toujours supposer que les rayons émanés du point S sont pendant toute leur route très-peu inclinés sur l’axe Ar AaX, et que leurs points d’incidence et d’émergence I2 sont très-peu éloignés de cet axe , comparativement aux rayons des deux sphères dont le verre est formé.

Si plusieurs lentilles sphériques sont placées sur le même axe que la première , et que le faisceau émané du point S les traverse successivement, il est évident que ceux des rayons incidens qui sont compris dans le plan de la figure y resteront toujours , puisqu’il est normal à toutes les surfaces qu’ils traversent. Mais les rayons qui s’en écartent au-dessus ou au-dessous passeront successivement dans différens plans d’incidence et de réfraction ; ce qui semble devoir rendre leur marche plus difficile à calculer. Heureusement ce calcul n’est nullement nécessaire lorsque les incidences et les émergences sont très- petites, comme on doit toujours le supposer dans les instrumens d’optique; car ces rayons sont alors ramenés précisément aux mêmes foyers que les

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autres ; de sorte qu’il suffit de considérer les premiers pour trouver le lieu où se forme l’image de chaque point rayonnant; et l’exactitude de ce concours n’est pas seulement de l’ordre des quantités que nous considérons ici comme très-petites ; elle subsiste même dans les termes du troisième ordre , et ce n’est que dans les termes plus éloignés qu’elle cesse d’avoir lieu. La démonstration de cette propriété supposerait un calcul trop long pour trouver place ici; mais on peut la regarder comme certaine, et l’expérience la confirme très-exactement. En l’admettant , nous n’aurons plus à considérer que la marche des rayons compris dans le plan mené par le point rayonnant , et l’axe commun de toutes les lentilles.

Soit donc, fig. 55 , M A M/ À ' l’intersection de la lentille par ce plan, et désignons le point rayonnant par S. Je représente ici les deux surfaces de la lentille comme concaves vers ce point , parce que cette construction rend les formules plus symétriques , sans diminuer la généralité de leurs applications. Cela posé , S I étant un rayon incident quelconque , menons du point I la normale ZIC dirigée au centre de courbure de la première surface; CIS sera l’angle d’incidence dont le sinus devra être au sinus de réfraction en raison constante. Soit n le rapport du premier de ces sinus au second pour l’espèce de verre dont la lentille est faite, en supposant que les rayons y pénètrent en sortant du vide , il n’y aura qu’à mener la ligne I' I R de manière

que l’on ait sin I'I Z — - sin CIS,

ou , ce qui est la même chose ,

sin C I R = - sin CIS; n

et cette ligne sera la direction du rayon réfracté par la première surface M À M.

Comme nous ne voulons considérer que des incidences trèspetites , nous pouvons substituer le rapport des angles CIR, CIS à celui de leurs sinus; ce qui donnera simplement