Tome III

l8 MESURE DE LA FORCE MAGNETIQUE

Ayant ainsi reconnu que les forces australes et boréales dti globe terrestre ne peuvent imprimer aucun mouvement de translation à l’aiguille , examinons l’influence qu’elles peuvent avoir pour la faire tourner autour de son centre de gravité; mais afin de ne pas tomber dans des calculs trop compliqués , bornons-nous à considérer le cas où l’aiguille est assez longue et assez mince pour qu’on puisse dans le calcul la traiter comme une simple ligne droite , et plaçons-là d’abord dans le plan vertical du méridien magnétique , où l’action des forces , tant australes que boréales , suffit ensuite pour la fixer.

Soit donc, fig. 9, Z CM ce plan , et a b l’aiguille formant un angle quelconque a CZ avec la verticale CZ. Nous avons vu que sur chacun de ses points , tel que M , les forces magnétiques du globe se composent en une seule résultante M R ou g\ dont la direction, toujours comprise dans le plan du méridien magnétique , forme avec la verticale MZ' un angle constant RM Z', que nous désignerons par i. Pour avoir la portion de cette résultante qui tend à faire tourner l’aiguille , il faut la décomposer perpendiculairement à la direction du bras de levier CM. Menons donc BIP perpendiculaire à CM , et g cos P MR sera la composante cherchée. Or, si nous nommons z l’angle variable ZCM formé par la verticale, avec la branche nord de l’aiguille, il est clair que l’angle P M Z' sera 90 — z\ par conséquent, l’angle total P MR. sera qo-z-j- i ; et son cosinus sera égal à sin (2 — i ) ; de sorte que l’expression de la force perpendiculaire deviendra g sin [z — i) ; et si le point M possède la quantité P de magnétisme austral, son action sur lui sera g g' sin(z — i). Comme celte action s’exerce à l’extrémité du bras de levier C BT que nous nommerons il faudra la multiplier par r pour avoir son moment statique autour du centre de suspension C , et ainsi l’expression de ce moment sera

g r g sin ( z — - i).

Tl est facile de voir que z——i n’est autre chose que l’angle R BI a formé par la résultante g avec la direction de l’aiguille. La force qui tend à faire tourner le point M est donc égale au produit de g' parle sinus de cet angle. C’est ainsi que, lors-

DÉ LA TERRÉ

qu5un pendule rectiligne est écarté de là verticale d’un angle « , chacun de ses points y est ramené par la gravité g avec une force jgsin a , dont le moment statique est gr sin et.

Cette expression n’est encore relative qu’a un seul point M* Pour l’étendre à toute l’aiguille , il faut d’abord la multiplier par l’élément de masse dm , dans l’étendue duquel g. peut être censé constant, et faire ensuite la somme de tous ces produits relativement à chaque bras C« ou Cè,- la somme des momens qui sollicite chacun de ces bras sera donc représentée par Sfcr g sin ( z — i)d m , ou simplement g sin ( z—i ) S g. r d m ; car les quantités g', i et z étant communes à tous les points de l’aiguille , le produit g sin ( z — i) devient un facteur commun. Cette somme devra être effectuée séparément pour chaque moitié de l’aiguille; il faudra ensuite les réunir, en regardant comme conspirantes les forces qui tendront à faire tourner les deux moitiés dans le même sens, et comme contraires celles qui tendent à les faire tourner dans des sens opposés.

Supposons, par exemple, que le magnétisme libre soit de même nature sur toute la longueur de chaque branche , austral sur C a , boréal sur C b. Alors pour toute la portion C a 5 g. sera positif , ainsi que la somme totale S g r dm ; ce sera le contraire sur l’autre partie C b ; g. et S g- rdm y seront négatifs , c’est-àdire que la première moitié de l’aiguille sera attirée en bas, tandis que la seconde sera repoussée en haut; ainsi les forces qui les sollicitent s’ajouteront pour la rotation. Nommant donc s' s" les deux sommes qui leur sont relatives , l’une et l’autre étant prises positivement , le moment total qui sollicite l’aiguille sera g ( -s -f- s" ) sin ( z *— i).

Cette expression rie devient nulle que dans le cas où zz=zi, c’est-à-dire lorsque la direction de l’aiguille coïncide avec la résultante des forces magnétiques de la terre. Ainsi, tant que l’aiguille ne sera pas arrivée à cette position , elle sera sollicitée à s’en rapprocher, comme on voit un pendule écarté de la verticale faire effort pour y revenir , en vertu de son poids ; et de même que le pendule écarté de cette position d’équilibre n’y revient que par une suite d’oscillations, de même aussi l’aiguille,

abandonnée librement dans le méridien magnétique, oscillera de part et d’autre de son inclinaison fixe z, jusqu’à ce que son mouvement soit détruit par la résistance de l’air et l’inertie de la suspension.

Ces résultats ne sont pas particuliers à la distribution régulière de magnétisme que nous venons de considérer. Quelle que soit cette distribution , pourvu que les deux sommes /' ne soient pas l’une et l’autre séparément et identiquement nulles,il existera une force de rotation qui tendra à ramener l’aiguille à rinclinaison fixe i. Mais cette force dépendant des valeurs du produit S prdm évalué séparément pour chaque moitié de l’aiguille , elle sera plus ou moins énergique , selon la distribution du magnétisme libre , et conséquemment elle sera plus ou moins capable de vaincre les frotlemens de la suspension. Aussi observe-t-on qu’abstraction faite de cet obstacle , toutes les aiguilles , de quelque manière qu’elles soient aimantées , étant suspendues exactement par leur centre de gravité , prennent toujours la même inclinaison dans le méridien magnétique , quoiqu’elles tendent à y revenir avec des forces inégales, quand elles en sont écartées. C’est ainsi que des verges pesantes reviennent toutes également à la verticale , quand elles sont suspendues par un de leurs points , quelles que soient les différences et les irrégularités de leur densité.

En général, le parallélisme de direction des forces magnétiques terrestres qui sollicitent les divers points d’une aiguille aimantée permet d’appliquer à tous ces phénomènes les considérations usitées dans la théorie de la pesanteur. Les divers produits g p , relatifs à chaque point de l’aiguille , représentent des pesanteurs d’intensité différentes , mais dont les directions sont parallèles ; la différente nature du magnétisme répond à des pesanteurs de direction contraire, et la somme g S/udm, étendue à toute la longueur de l’aiguille , est analogue au poids total de la verge. Par conséquent , sur chaque partie de l’aiguille où. règne une même espèce de magnétisme, il existe un centre de forces magnétiques où l’on peut supposer appliquée toute la force magnétique de la terre; de même que dans

1)E LA TERRE

les corps pesans il y a un centre de gravité où Ton peut supposer réunis tous les efforts de îa pesanteur ; car cette propriété ne suppose nullement la constance de la force, mais seulement le parallélisme de sa direction; et le lieu de ces centres pourra se calculer de la même manière que dans les corps pesans ; c’est-à-dire que, pour chacune de ces parties de l’aiguille, leur distance au centre de suspension est égale à la somme des inomens divisée par la somme des poids ; en sorte qu’en la nommant L , on a

Ici îa somme S pdm n’est pas nulle , parce qu’elle ne s’étend qu’à une partie de l’aiguille , où règne un magnétisme de même nature, et la somme des momens § per dm ne doit non plus être étendue qu’à cette partie. Si on étend ces sommes à toute une moitié de l’aiguille , en changeant le signe de (2 quand la nature du magnétisme change , alors L sera la longueur du bras de levier de la force magnétique qui tend à faire tourner cette moitié. Enfin l’effort total avec lequel chaque moitié de l’aiguille tend à tourner autour de la suspension est encore exprimé , comme dans les verges pesantes , par le poids magnétique total de cette moitié g S pdm, décomposé perpendiculairement au bras de levier L, et multiplié par la longueur de ce bras de levier. Son expression pour chaque moitié est donc .g'Lsin [ z — f)S^r/;/2, ou simplement gr'sin(s — d)Sftrd m , en mettant pour L sa valeur. Aussi est-ce là ce que nous avons trouvé plus haut pour la somme des momens des forces magnétiques dans chaque moitié de l’aiguille.

D’après cela , les intensités des forces magnétiques , exercées par le globe terrestre sur une aiguille donnée , pourront se mesurer comme celles de la pesanteur sur un pendule composé , d’après la durée des oscillations très-petites faites autour de la direction de la résultante MR ; et si cette durée n’est pas la même dans tous les lieux du globe , on devra en conclure que les intensités varient proportionnellement au carré du nombre d’oscillations faites par l’aiguille dans un temps donné. C’est

précisément ainsi que l’on détermine les variations de la pesanteur , en transportant un même pendule composé dans les différentes régions de la terre.

On peut également appliquer aux durées de ces oscillations les formules que l’on emploierait pour une verge droite dont les divers élémens matériels dm seraient sollicités par des pesanteurs d’intensités inégales , et qui serait suspendue par un de ses points. Soil g-'/w l’intensité variable de la résultante magnétique qui agit sur tous les points de chaque élément d m , et désignons toujours par / s" les sommes des momens S prdm , prises positivement pour chaque moitié de la verge; en sorte que g (V “j- s”) soit le moment total des forces qui la sollicitent dans un meme sens. Cela posé, si on la fait osciller librement dans le méridien magnétique autour de la direction de la force g , le temps d’une de ses oscillations infiniment petites sera exprimé par la formule

. TT3 S d d m

La sommation des quantités r^din doit être effectuée dans toute l’étendue de l’aiguille. Nous avons supposé celle-ci assea mince pour que le bras de levier r put être censé commun à tous les points d’une de ses sections transversales. Désignant donc par h la superficie d’une de ces sections , l’élément dm de la masse pourra être exprimé par hdr , et la quantité Sr*dm deviendra S hr*dr. Supposons maintenant h constante dans toute l’étendue de l’aiguille , ce qui est le cas le plus ordinaire, S hr%dr se changera en hSPdr, et toute sommation

faite se réduira à on aura donc

2hl3

, l étant la -demi-longueur de l’aiguille

La surface h serait difficile à mesurer directement avec exactitude , mais on peut l’éliminer du résultat. Car en nommant F le poids de l’aiguille , et g la pesanteur terrestre , on a

d’où h = .

2gl

P = 2 gkl ,

DE LA TERRE

Substituant donc pour h cette valeur, il reste

3gg {S' +S°)

Si l’on avait observé T , et que l’on voulut en déduire le moment total des forces qui sollicitent l’aiguille, rien ne serait plus facile , car ce moment est égal à g (V -f- sas) ; on aura donc, en dégageant cette quantité ,

Ces formules nous seront fréquemment utiles.

Déjà nous pouvons en tirer parti pour comparer les intensités des forces magnétiques en différens lieux de la terre, d’après les durées des oscillations qu’y fait une même aiguille aimantée. Car si cette aiguille ne perd rien de son magnétisme, ou si elle est toujours aimantée de la même manière, comme on peut y parvenir par des procédés que nous ferons bientôt connaître , les quantités s' s" seront toujours les mêmes, ainsi

que le rapport — ■ , puisque les poids des corps varient pro-

portionnellement à la pesanteur. La seule quantité g7 cîtangera , parce qu’elle dépend de l’intensité des forces magnétiques terrestres. Mais on pourra conclure ses variations de celle de T ; car en nommant gx , ga ses valeurs pour deux points de la terre, où les temps des oscillations sont T, et Ta, on aura, d’après l’équation précédente ,

c’est-à-dire que les intensités sont réciproques aux carrés des temps des oscillations. Nous appliquerons plus loin ce résultat à des observations d’intensité faites en différens lieux de la terre.

Dans tous les calculs qui précèdent , nous avons supposé l’aiguille exactement suspendue par son centre de gravité. Cela nous dispensait d’avoir égard à l’action de la pesanteur terrestre, qui, en effet , n’a alors aucune influence pour la faire tourner. Mais, dans la pratique expérimentale , il est bien diffi-

cile , pour ne pas dire presque impossible, que cette condition soit remplie à la rigueur ; et si elle ne l’est pas , il en résulte un inconvénient considérable. Car une des moitiés de l’aiguille , ayant alors plus de tendance que l’autre à tomber vers la terre , s’abaisse plus qu’elle ne le ferait par la seule action du magnétisme terrestre , ce qui , selon l’espèce de magnétisme que cette moitié possède , augmente ou diminue l’inclinaison véritable , et altère aussi les observations d’intensité , parce que les oscillations ne s’exécutent plus autour de la résultante 1MR des seules forces magnétiques. Mais cette alternative môme nous indique un moyen de corriger le défaut de centrage qui en est la cause , du moins lorsqu’on sait qu’il est fort petit. Il suffit pour cela d’aimanter successivement l’aiguille en deux sens opposés , et d’observer à chaque fois l’inclinaison et l’intensité qu’elle indique. Après chacune de ces opérations, s’il y a quelque petit défaut de centrage , l’un des résultats sera trop fort , l’autre trop faible , et la moyenne donnera , à fort peu de chose près, les véritables valeurs, du moins si les deux branches de l’aiguille sont bien symétriques , et que la distribution du magnétisme y soit la meme dans les deux opérations.

Ces observations exigent que l’on détermine préalablement la direction du méridien magnétique dans lequel l’aiguille doit être placée ; c’est à quoi l’on peut parvenir , soit d’après l’observation d’une aiguille horizontale, soit par d’autres procédés que nous découvrirons bientôt.

Jusqu’ici nous avons supposé l’aiguille dans le méridien magnétique ; concevons maintenant qu’elle en ait été écartée, et calculons les forces qui tendent à l’y ramener.

Soit donc, fig. io, SCZ le plan vertical dans lequel on la place, et a b sa direction dans ce plan ; désignons toujours par M R la grandeur et la direction de la résultante des forces terrestres qui sollicitent chaque point M parallèlement au plan vertical ZCN du méridien magnétique. C’est cette résultante que nous avons nommée g , Nous commencerons par la décomposer en deux autres forces, l’une verticale MZ' ou RII que nous nommerons Z ; l’autre horizontale M H , parallèle à la trace horizon-

DE LA. TERRE

taie CN du méridien magnétique, et que nous nommerons H. Alors , en appelant , comme tout-à-l'heure , i l’angle RM Z' ou HR M formé par la résultante MR avec la verticale, nous aurons Z = g cos i H — g' sin i.

La force Z, étant verticale, est contenue toute entière dans le plan vertical S C Z où l’aiguille se trouve placée. Mais la force H ou HM est hors de ce plan. Décomposons-îa en deux autres , l’une HP ou Y , dirigée perpendiculairement au plan vertical SCZ; l’autre MP ou X, dirigée horizontalement dans ce plan. Pour cela, il faudra connaître l’angle HMP ou X C S , formé par le méridien magnétique avec le vertical de l’aiguille j nous nommerons cet angle a ; on aura alors

Y — H sin a X — H cos a ,

ou, en mettant pour H sa valeur, et réunissant à ces résultats la valeur précédente de Z,

Z = gf cos i Y ~ g' sin i sin a X =r g sin i cos a.

Lorsque l’aiguille est retenue fixement dans son azimuth, comme cela a lieu dans les boussoles d’inclinaison dont on fait ordinairement usage, la force Y est détruite par la résistance de la suspension. Alors les forces Z etX sont les seules dont l’effort s’exerce. Soit R la grandeur de leur résultante , i' l’angle qu’elle forme avec la verticale , on aura

Ra — X2 -j- Za tang i z=z — ,

ou , en mettant pour X et Z leurs valeurs ,

R = g cos i V i -f- tang2 i cos2 a tan gi' tang i cos a . De là résultent plusieurs conséquences importantes.

La première, c’est que l’intensité de la force R qui sollicite chaque point de l’aiguille diminue à mesure que l’angle a augmente , c’est-à-dire à mesure qu’on l’écarte du méridien magnétique ; car, a augmentant , cos a diminue. Sa plus grande valeur a lieu dans le méridien magnétique meme ; alors a est nul ; ce qui donne cos a z=z i , et par suite

R = g cos i Ÿ i -f- tang2 é; et en réduisant , R=:g',

R est alors égal à la résultante totale g . Au contraire , la plus petite valeur de R a lieu lorsque a z=z qo° ; ce qui donne cos o, et par suite R — g cos i.

La direction delà résultante R, et par conséquent l’inclinaison de l’aiguille qu’elle détermine, varie en même temps que ces valeurs de la force. Car d’abord , dans le méridien magnétique où a est nul , on a tang i' z=. tang i ; par conséquent i ' i , ce qui devait être ; mais à mesure que a augmente , cos a devenant moindre , tang i' diminue. Ainsi à mesure que l’on éloigne l’aiguille du méridien magnétique, sa direction se rapproche de la verticale. Enfin 5 lorsqu’on la place dans un plan perpendiculaire au méridien magnétique, cos «devenant tout-à-fait nul, tang i devient aussi nul, et l’aiguille coïncide avec la verticale même. Tous ces résultats sont exactement confirmés par l’expérience , et le dernier donne un moyen très-exact pour déterminer la direction du méridien magnétique ; car lorsqu’on a trouvé la direction d’azimuth, où l’aiguille devient exactement verticale, il n’y a qu’à s’en éloigner de qo° pour retrouver le méridien.

L’expression de tang i' permet même de déterminer l’inclinaison méridienne i , indépendamment de cette observation préalable. Il suffit pour cela d’observer i' dans deux azimuths quelconques, différens entre eux d’un angle droit ; car en désignant les inclinaisons observées par ir i!> , leurs azimuths seront a et a dz go°. On aura donc

tang i' — tang i cos a tang i" ~ tang i sin a ; élevant ces équations au carré et les ajoutant , il vient

tang2 i — tang2 V -J- tang2 i" ;

c’est-à-dire que le carré de la tangente de l'inclinaison dans le méridien magnétique est égal à la somme des carrés des tangentes des inclinaisons observées dans deux plans quelconques rectangulaires. En multipliant ces observations dans différens plans , et prenant une moyenne entre elles , on aura une grande probabilité d’affaiblir les erreurs des observations partielles.

Tout ce que nous avons dit plus haut sur les oscillations produites par la résultante totale g' dans le méridien magnétique

DE LA TERRE

s’applique exactement aux oscillations produites par la résultante R dans le plan où nous supposons maintenant que l’aiguille est forcément dirigée. Les phénomènes ne différeront que par la -valeur de la force qui se trouvera changée en

g cos i \/ 1 -f- tang2 i cos2 a ; de sorte qu’en représentant par m

le facteur cos i V 1 -f- tang2 i cos2 a , qui reste le même dans toutes les oscillations faites par l’aiguille dans un même azimut, on aura le temps T' des oscillations par la formule

s' et s" étant les mêmes que dans le méridien magnétique. Or nous avons eu dans ce méridien

*gïV + *'Y

on aura donc, en divisant cette seconde équation membre à membre par la première ,

ou cos i \/ \ A~ tang2 i cos2 a ~

!jV2 ~ V - I ” O " X#2 7

ce qui permet de déterminer le facteur m , d’après les durées des oscillations observées dans les deux plans dont les azimuts sont o et a.

Par exemple , si la seconde observation est faite dans le plan perpendiculaire au méridien magnétique, cos a sera nul ? et il

viendra

cos 1

ce qui fournit un nouveau moyen de déterminer l’inclinaison méridienne i d’après la durée des oscillations.

Pour déterminer cette durée avec exactitude , on compte les nombres d’oscillations que l’aiguille exécute dans chaque plan pendant un temps donné ; par exemple , en io' . Soient N, N' ces nombres; en prenant la seconde pour unité de temps, on aura

et par suite cos i

J’appliquerai ces formules à diverses observations de M. de Tome III. 2 *

s8 MESURE DE LA FORCE MAGNETIQUE.

ïiumboldt. Les premières que je citerai furent faites près de Qwit.o, sous l’équateur terrestre, latitude o° o' o", longitude oi° 2 occid. Les oscillations de la boussole d’inclinaison , pendant dix minutes de temps , furent observées dans le plan du méridien magnétique et dans le plan rectangulaire. Elles donnèrent N = 220 N' — 1 09.

Ces nombres étant substitués dans notre formule, on trouve

L'observation directe de i , faite dans le plan du méridien magnétique , a donné : 70° 34' 55"

-M. de Humboldt répéta les mêmes observations à Mexico, latitude ig° 26* 45 bor. longit. ioi° 25' 3o" occid. Il trouva IN = 242 N' m; 20Ô ; d’où l’on tire i — 44 0 8' 40". L’observation directe de;*, faite dans le plan du méridien magnétique , a donné i=: /±<j° 5o' 46 7

On voit que les inclinaisons déduites des oscillations diffèrent peu de celles qui résultent de l’observation directe. La différence peut tenir à quelque petite imperfection dans l’équilibre de l’aiguille, ou à l’inertie de la suspension, ou enfin aux erreurs inévitables de ce genre d’expériences.

Considérons maintenant la force Y qui agit perpendiculairement au plan vertical où l’aiguille se trouve, et tend à la ramener au méridien magnétique. Pour le faire plus simplement, supposons que l’on rende l’aiguille horizontale par l’addition d’un petit contre- poids ; ce qui détruira l’effet des forces verticales Z sur la rotation. Les forces horizontales X , étant, alors dirigées suivant la longueur de l’aiguille , n’auront aucune influence pour la faire changer d’azimut, et la force directrice sera exprimée toute entière par Y. Pour avoir l’effort total qu’elle exerce sur l’aiguille , il faut d’abord la multiplier par la quantité de magnétisme que possède le point auquel elle s’applique,,puis par l’élément de masse d m , pour l’étendue duquel P peut être censé constant, et enfin par le bras de levier r au bout duquel elle agit perpendiculairement ; ce qui donnera le moment élémentaire r Y g. dm, ou g sin i sin aftrd m. Puis faisant la somme de tous cesmomens, qui sera g sin 1 sin<zS^r dm,

DE LA TERRE

on îa prendra séparément pour chaque moitié de l’aiguille; après quoi ajoutant les forces qui conspirent à faire tourner l’aiguille dans un même sens , on aura g (V sin i sin a

pour l’expression du moment total qui agit sur elle. D’où l’on voit qu’en variant l’azimuth a , ce moment doit varier aussi proportionnellement à sin a , c’est-à-dire proportionnellement au sinus de l’angle dont l’aiguille est écartée du méridien magnétique ; car les quantités g\ /, s" , f, restent les mêmes pendant le mouvement.

Coulomb a vérifié ce résultat au moyen de la balance de torsion. Pour le faire d’une manière commode , il adapte au bas du fil de suspension un petit étrier EE,fig. 1 1, formé par une laine de cuivre très-légère. Cet étrier sert pour placer l’aiguille. De plus, afin de pouvoir toujours la remettre dans la même position , la surface EEde la plaque qui la porte est revêtue en dedans d’une couche de cire d’Espagne que l’on fait ramollir, et sur laquelle on prend l’empreinte de l’aiguille. Avant d’employer cet appareil, on y place une aiguille de cuivre ou de tout autre métal non magnétique, et l’on tourne le micromètre jusqu'à ce que dans le lieu de repos du fil elle se dirige naturellement vers le zéro de la division latérale. Cette condition remplie, on tourne tout l’appareil , c’est-à-dire la suspension et sa cage , jusqu’à ce que le zéro et l’aiguille de cuivre se trouvent exactement sur la direction du méridien magnétique préalablement déterminé. Après quoi on substitue l’aiguille aimantée à la place de l’autre, et en tordant le fil de suspension de divers angles connus , on voit combien elle s’écarte de son méridien. Cela ne se fait pas sans beaucoup d’oscillations, qui durent d’autant plus long-temps que les aiguilles dont on se sert ont une masse considérable, comparativement à celle de l’air. Pour les arrêter plus vite, on attache sous» l’étrier, avec une mince tige de cuivre , une plaque verticale V Y, également de cuivre et très-mince, qui plonge toute entière dans un vase plein d’eau. La résistance de ce liquide amortit promptement les oscillations, sans empêcher cependantl’aiguille de parvenir au degré d’écartement que la torsion du fil exige. Mais il faut avoir bien attention que le volant Y Y soit entièrement plongé ,

3o MESURE DE LÀ. FORCE MAGNETIQUE

afin d’éviter les effets de la courbe aqueuse qui s’élèverait sur sa surface par la capillarité. Enfin, pour donner de l’exactitude aux résultats, il faut proportionner la grosseur et l’élasticité des fils de suspension à la force aimantaire des aiguilles , employant des fils plus gros pour des aiguilles plus fortes, et réservant les fils très-fins pour les cas où la force directrice est très-faible.

Voici maintenant les résultats observés par Coulomb sur une aiguille aimantée de 22 pouces de longueur, et de 1 ligne \ de diamètre. Le fil de suspension était de cuivre , de la dimension appelée n° 12 dans le commerce \ les six pieds de longueur pèsent cinq grains.

Torsion donnée par le micromètre.

Angle de déviation où l’aiguille s’est arrêtée.

Force de torsion qui en résulte.

CO

CO

io47

On voit que les premières forces de torsion sont proportionnelles aux écarts de laiguille. En effet , la force directrice totale étant proportionnelle au sinus de l’écart, il faut bien que dans les petits angles elle soit sensiblement proportionnelle à cet écart même. Pour vérifier sa valeur dans de plus grands angles , représentons-la en général par K sin a , K étant une constante commune à tous les azimuths ; alors en nommant A la torsion qui fait équilibre à la force directrice dans Fazimutli a , nous aurons l’équation

A „ K sin a ,

d’où

sin a

DE LA TERRE

De sorte qu’une seule des observations précédentes suffira pour déterminer K; on voit que celte constante exprime la force de torsion nécessaire pour retenir l’aiguille à qo° du méridien magnétique. En employant successivement les observations de Coulomb, nous lui trouverons les valeurs suivantes :

Déviation observée.

Valeur de K calculée.

Moyenne. . . K= 1917 • 76

En divisant par cette constante les torsions observées , on aura les sinus des angles où l’aiguille a dû s’arrêter à chaque expérience , et on pourra les comparer à l’observation ; c’est le but du tableau suivant :

Déviation

Torsions

Excès du calcul.

observées.

observée.

calculée.

iO° 28'

La dernière différence est la seule qui mérite quelque considération ; elle tient probablement à une petite altération produite dans la réaction du fil par la grande torsion qu’il avait subie dans cette dernière expérience. L’accord parfait de toutes les autres confirme l’exactitude de la loi.

Maintenant, au lieu de retenir l’aiguille par la torsion dans un azimuth fixe, suspendons-la horizontalement à un assemblage de fils de cocon disposés parallèlement , afin que leur réaction de torsion soit insensible , et après l’avoir écartée tant soit peu du méridien magnétique , abandonnons-la aux forces horizontales qui agissent sur elle ; il est clair qu’elle se mettra à osciller de part et d’autre de ce plan. Dans ce cas, ainsi que dans le précédent , la force verticale Z étant détruite par le petit contre-poids , l’aiguille n’est plus sollicitée que par la résultante des forces horizontales X Y qui agissent sur elle. Or , en nommant celte résultante H , nous avons eu H g' sin i ;

c’est-à-dire qu’elle est égale à la résultante totale^, décomposée horizontalement dans le méridien magnétique. D’ailleurs ces deux forces sollicitent l’aiguille de la même manière, quand on l’écarte de sa position d’équilibre. Les formules des oscillations qu’elles produisent seront donc aussi pareilles , en changeant seulement g en g sin i ; ainsi, en nommant T" la durée des oscillations horizontales, on aura

sra P l 2

3 g g sin i (/ -f s ")'

Dans le méridien même nous avons trouvé

ÎT2 P >

Ta

$gg(s'

en divisant ces deux équations membre à membre , on trouve

ce qui fournit un nouveau moyen de déterminer l’inclinaison i.

Rien n’est plus facile que d’observer les oscillations horizontales; il suffit, comme je l’ai dit, de placer l’aiguille dans un étrier fait d’une bande de papier suspendue à un assemblage de

fils (le cocon dont la force de torsion soit insensible. L’observation des oscillations dans un pian vertical est beaucoup moins simple; il faut un axe solide adapté au centre de l’aiguille, et autour duquel elle puisse osciller; il faut des supports bien polis pour poser cet axe ; enfin il faut qu’il soit parfaitement horizontal. Tout cela peut faire désirer d’éviter ce genre d’observation. L’on y parvient en déterminant directement îa valeur du facteur g ( s -f- s1 ) , qui entre dans l’expression de T". 11 ne faut pour cela qu’observer le contre-poids p qui rend l’aiguille horizontale, étant placé à la distance ç de son centre. En effets le produit p e, exprime alors le moment statique de ce contrepoids j et celui des forces verticales se trouve exprimé par QTLprdm ; on aura donc

p e, — S Z pr dm.

Z est égal à g cos i; ainsi dm calculé pour toute l’éten-

due de l’aiguille deviendra g cos i (/-p- s") , et par conséquent l’on aura

Vt

COS l

Substituant cette valeur dans T"2, on en tiré

ÎT2 P l 2

tang 2 = — : — — .

àgpçl *

Comme ce moyen de déterminer l’inclinaison est îe plus simple et le plus exact de tous , je rapporterai une expérience dans laquelle Coulomb l’a appliqué.

L’aiguille dont il se servit était une lame d’acier fondu pesant 88808 milligrammes , et ayant la forme d’un paralléîipipède rectangle. Sa longueur était 426“™, 6; sa largeur i3mm; son épaisseur environ 2mm. M. Fortin, qui l’avait exécutée, avait mis tous ses soins à rendre ces deux dernières dimensions parfaitement constantes dans toute son étendue.

Coulomb aimanta d’abord celte aiguille par un procédé que nous ferons plus loin connaître , et que l’on appelle la méthode ds îa double touche. Ensuite il la suspendit horizontalement à des fils de cocon dans une cage de verre, fig. 12 , en la plaçant de champ , pour que son plan fût vertical. Les côtés de Tome III. 3

la cage étaient assez élevés pour que les courans d’air de la chambre n’altérassent pas la durée des oscillations ; en observant avec soin celle aiguille , il trouva qu’elle faisait 5o oscillations en 495" sexagésimales. Cela fait , il l’introduisit dans un anneau de cuivre , portant de chaque côté un couteau pareil aux couteaux de balance, et placé à peu près à la hauteur du centre de gravité de l’aiguille, fig. i3. Celle-ci n’entrait dans l’anneau qu’à frottement très-ferme ; il la poussa jusqu’à ce que son centre répondit à très-peu près au milieu de l’anneau , et la posant sur des supports horizontaux , il chercha à l’équilibrer. Il trouva qu’il fallait employer pour cela un poids de 200 milligrammes placé sur la branche sud , à i70mm,75 du centre du couteau de suspension; ce qui donne le produit 34i5o pour le moment p ç des forces verticales : peu importe dans quel azimuth l’aiguille était alors tournée, puisque la force verticale Z est la même dans tous les azimuths ; et en effet , quand une aiguille aimantée a été équilibrée dans un azimuth quelconque , elle reste horizontale dans tous les autres.

Sans sortir la lame de son anneau où elle était fixée par le frottement, Coulomb l’aimanta en sens contraire; de sorte que son pôle nord devint son pôle sud , et réciproquement. Mais à cela près , la distribution du magnétisme libre était la même dans chaque branche ; car c’est là une des propriétés de la méthode de la double touche , comme nous le verrons bientôt. Cela fait, il l’équilibra de nouveau, et trouva cette fois qu’il fallait poser sur la branche sud un poids de 209 milligrammes , à une distance de 194 millimètres du tranchant du couteau ; ce qui donne le produit 4o546, pour le moment statique des forces verticales.

La différence de ce nombre à celui que nous avions trouvé d’abord peut tenir à une distribution différente du magnétisme, ou à ce que le tranchant du couteau ne coïncidait pas exactement avec le centre de gravité de l’aiguille, ou enfin à ces deux causes à la fois. Pour le savoir, Coulomb sortit l’aiguille de l’anneau, et la fit de nouveau osciller horizontalement; il trouva qu’elle faisait, comme la première fois, cinquante os-

DE LA TERRE

cillations en 495" sexagésimales. Toute la différence provenait donc du centrage. Ainsi, pour la faire entièrement disparaître , il suffisait de prendre une moyenne entre les nombres 34i5o et 4o546 ; ce qui donne 37848 pour la valeur exacte de pç , telle qu’elle aurait été , si l’aiguille eut été suspendue exactement par son centre de gravité.

D’après cela , les données qu’il faut introduire dans notre formule sont

Z= 2i3,3 T"=^ = 9")9; P = 883o8; Pi = 37348.

ÔO

Et puisque nous employons le miliimètre pour unité de longueur, il faut exprimer la pesanteur g de la meme manière, c’est-à-dire prendre

De plus, on sait que le nombre tt est 3, 14 169. Avec ces données , on trouve

Telle était donc l’inclinaison magnétique à Paris ..dans le lieu et à l’époque où Coulomb a opéré. L’expérience ayant été faite dans une chambre , l’inclinaison, peut avoir été un peu influencée par l’action des balcons et des barres de fer qui entrent toujours dans la construction des maisons; et ainsi elle peut être en erreur de quelques minutes. Mais cela n’ôte rien à îa bonté de la méthode , qui est la plus exacte de toutes celles que l’on peut employer , comme on pourrait s’en assurer en discu tant les diverses causes d’erreur dont elles sont susceptibles.

Nous avons vu qu’après avoir renversé les pôles de l’aiguille , la durée de ses oscillations a été la même. Cette identité ne peut s’obtenir qu’avec des aiguilles d’un acier très-pur, très-égal, et dont la forme est parfaitement symétrique. Il arrivera donc le plus souvent que l’on trouvera quelque différence entre les temps des oscillations ; mais comme , pour peu que l’aiguille ait été travaillée avec soin, cette différence doit être fort petite, on pourra la faire disparaître en prenant une moyenne arithmétique entre les deux résultats.

Dans tous les calculs qui précèdent, nous avons supposé

l’aiguille assez mince pour que l’on pût la considérer comme une simple ligne droite. Cela suffit, en effet, dans la plupart des observations. Mais il est cependant nécessaire de savoir déterminer et tracer la direction de la résultante des forces magnétiques sur la surface des lames aimantées. Car, comme c’est toujours de pareilles lames que l’on emploie , cette connaissance est indispensable pour pouvoir en conclure avec précision, soit la direction du méridien magnétique , soit celle de l’inclinaison.

Commençons par le premier cas, et supposons que A B CD, fig. 14 ? représente une lame aimantée, de figure quelconque, suspendue librement par un de ses points c, et équilibrée par un petit contre - poids de manière à demeurer horizontale. Les forces verticales étant ainsi détruites , tous les points de la lame sont tirés horizontalement par des forces australes et boréales parallèles à la direction du méridien magnétique ; et l’effet de toutes ces forces pour faire tourner la lame peut être représenté par l’action d’une seule force f , parallèle aux précédentes , et appliqué en un certain point G, placé à une certaine distance du centre de suspension. Or, de même qu’un pendule composé, suspendu par un de ses points, et abandonné à luimême, se dispose de manière que son centre de gravité se trouve dans la verticale qui passe par le point de suspension, de même notre lame, abandonnée librement à l’action des forces magnétiques qui la sollicitent , se dirigera de manière que le point d’application G de leur résultante se trouve dans le plan du méridien magnétique , mené par le centre de suspension. Par conséquent, si l’on pouvait reconnaître la trace de la ligne G c sur la surface de la lame, lorsqu’elle a pris la situation déterminée par la force directrice, ce serait aussi la véritable direction du méridien magnétique. Mais cette trace n’est qu’idéale ; tout ce qu’on sait, c’est que sa direction, relativement aux côtés delà lame , est invariable. Retournons donc celle-ci, et, après l’avoir retournée , suspendons-la de nouveau au même point c, au moyen d’un très-petit trou que nous y aurons pratiqué exprès ; alors la ligne c G reprenant de nouveau la même

DE IA TERRE

direction dans le méridien magnétique , les cotés de la lame , qui ne font que tourner circulairement autour de cette ligne , s’en écarteront du côté opposé , comme le représente la figure ponctuée A' B' Cf D' ; et, de plus, ils s’en écarteront autant que la première fois. Si donc on a remarqué et déterminé la direction d’un de ces côtés dans la première observation , et qu’on en fasse autant dans la seconde, la direction véritable du méridien magnétique sera exactement intermédiaire entre elles ; on pourra ainsi l’observer et la tracer sur la lame , ou remarquer à quels points de l’espace elle répond par son prolongement.

Il faut faire une opération pareille sur les aiguilles d’inclinaison , pour déterminer la valeur véritable de l’inclinaison magnétique. Supposons qu’une pareille aiguille soit exactement suspendue par son centre de gravité , et qu’on ait observé le point du cercle vertical où elle s’arrête lorsqu’une de ses faces est tournée à l’est du méridien magnétique. La résultante des forces passera alors par le centre de suspension C, fig. ï5 , et par le point G de l’aiguille ; mais la ligne idéale C G ne peut pas s’observer. Retournez donc l’instrument de manière que la face de l’aiguille, tout-à-l’heure tournée à l’est, le soit maintenant à l’ouest* la ligne CG se replacera invariablement dans la même position. Mais si elle n’est pas symétriquement dirigée par rapport aux côtés rectilignes de l’aiguille , ceux-ci répondront à des points différens de la division circulaire , et en prenant; une moyenne entre leurs indications , on aura l’inclinaison véritable. Dans ce raisonnement , nous avons supposé que l’axe de suspension passait exactement par le centre de gravité de l’aiguille. Si cette condition n’était pas observée , l’inclinaison déterminée, comme nous venons de le dire , serait affectée de l’erreur provenante du défaut de centrage. Pour la corriger, il faudrait , comme nous l’avons expliqué plus haut, aimanter de nouveau, en sens contraire, avec une force égale; déterminer de nouveau l’inclinaison par le retournement dans ce nouvel état , et enfin prendre une moyenne entre les résultats ainsi observés.

Les artistes ont souvent coutume de construire les aiguilles