COS
Le signe négatif de cos 2 0 montre que l’angle 0 sera toujours plus grand que 45°.
Admettons comme précédemment que u 2 surpasse ce qui
rend la réflexion intérieure possible sous certaines incidences. Mais supposons l’incidence 0 telle que Y2 cos2 0 -f- ri 2 — u2 soit encore une quantité positive ; alors la vitesse perpendiculaire aux couches ne deviendra pas nulle à la surface commune des deux milieux, et la molécule lumineuse, après l’avoir traversée, pénétrera dans le second. Quand elle s’y sera enfoncée d’une certaine quantité , les expressions de ses vitesses seront
parallèlement à AB V sin 0 ;
perpendiculairement à AB ,
V A7 2cos2 0 -f- n ' 2 — 222 4- 2 (y v — gv) ev-f 2(y„__t™ gy)x)ev 1 . . . et enfin à la dernière limite des forces attractives , elles deviendront
parallèlement à AB Y sin 0
perpendiculairement \/ Y2 cos2 0 -j- 2 u% — 2 u2 .
Si ri 2 surpasse u2, c’est-à-dire si le second milieu réfracte plus que le premier, la vitesse perpendiculaire sera toujours réelle;
par conséquent il ne se fera point de réflexion intérieure , et îa molécule lumineuse , passant au-delà de la limite des forces attractives du second milieu , y poursuivra sa route en ligne droite. Mais si , au contraire , le premier milieu agit plus fortement sur la lumière que le second , alors 2 u '2 «— 2 w 2 étant une quantité négative, il y aura certaines incidences pour lesquelles elle surpassera V2 cos2 0 ; et quand cela arrivera , la vitesse perpendiculaire aux couches devenant imaginaire, on voit que la molécule lumineuse n’atteindra pas la limite des forces attractives du second milieu , mais se réfléchira avant d’y parvenir , et reviendra dans le premier , en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Le cas extrême de cette réflexion aura lieu quand elle s’opérera sur îa limite même des forces attractives du second milieu , ce qui exigera que la vitesse perpendiculaire aux couches y soit nulle, et qu’on ait
Y2 COS2 ê -j- 2 iï' 2 — - 2 u2 r=: o ,
2 • ( Il ^ 1 11
d’où Ton tire cos2 ù — — - :
par conséquent cos2 ê — — , et sin ê ~ — .
Cette seconde limite de 0 répond à des incidences plus petites que îa première, puisque cos2 0 y est pîus grand.
Nous reviendrons tout-à-l’heure sur ces résultats, et sur les moyens de les réaliser par l’expérience. Pour le moment , considérons ce qui arrive quand îa molécule lumineuse poursuit sa marche dans le second milieu , soit que u2 surpasse u2 , soit que, u& — u2 étant négative, le double de sa valeur se trouve surpassée par Y2 cos2 0. Dans ce cas, les attractions des deux milieux étant devenues insensibles , les vitesses composantes resteront toujours telles que nous venons de les obtenir. Ainsi, en nommant x y les coordonnées de la molécule lumineuse , parallèlement et perpendiculairement à la surface commune , on aura , après un temps quelconque t ,
x = t Y sin 0 y' = t \/ Y2 cos2 0 2 u' 2 — 2 u 2.
De plus, si l’on désigne par 0' l’angle formé dans le second milieu
DE LA. RÉFRACTION
par leravon réfracté avec la normale, on aura, comme précédemment , sin 6' ~
Y sin ê
par conséquent sin ê'
{/ V 2 -f- 2 uf* — . 2 u2
Enfin, si l’on nomme Y' la vitesse constante des particules dans le second milieu, conclue d’après la somme des carrés des composantes , on trouve
"V” sin il
Y'2 — Y2 -f- 2 u% - — 2 «2 , et par suite , sin ù ‘ — — ;
ou , en mettant pour V3, n2, ri 2 leurs valeurs en n et ji ,
Y'2 = ri
sin 6' = — - sin ê.
Ainsi la vitesse définitive de la lumière dans le second milieu est constante, et la même que si le rayon y eût pénétré immédiatement en sortant du vide. De plus , le rapport du sinus de réfraction au sinus d’incidence est aussi constant et inverse des vitesses constantes de la lumière dans les deux milieux.
Revenons maintenant aux phénomènes de la réflexion totale.
En rassemblant les limites des angles qui la donnent , nous aurons
'Réflexion inferieure dans le premier milieu, avant que la lumière soit parvenue au second.
Réflexion à la surface commune des deux milieux.
!Réfl. entre la surf, comm. des deux mil. et la limite des forces attract.
dans le second.
I Réfl. à la limite des < forces attr. dans
Depuis cos2 £ =£ o
jusqu’à cos2 0 =
72 2 — ri 2
Depuis cosa 0
ri3, — ri2
jusqu’à cos2 0 =
n 2 — ri 2
JT2 -
772 le second mil.
M. Laplace a le premier fait remarquer ce double genre de réflexion intérieure des milieux qui se touchent , et Malus l’a
rendu sensible par l’expérience , en faisant usage d’un procédé déjà employé par M Wollaston , mais que cet ingénieux physicien n’avait pas lié avec la théorie.
Commençons d’abord par constater simplement ce phénomène de la réflexion intérieure au contact de deux milieux. Pour le faire d’une manière très-simple, prenez un prisme de verre ordinaire , tel que ABC, fig. 79 ; et , après avoir déposé une goutte d’eau sur sa base BC , placez-le de manière que les rayons incidens S I, entrés par la face A. B? et réfléchis sur la base B C, puissent arriver à l’œil en O. Alors, en tournant lentement le prisme autour de son axe , vous remarquerez que la réflexion totale commence à s’opérer sur toute la partie de la base B C , qui est contiguë à l’air , avant d’avoir lieu au point E où la goutte d’eau se trouve ; de façon que celle-ci reste encore long-temps visible par réfraction , au moyen des rayons qui en émanent directement. Peu à peu , en abaissant l’œil vers la base du prisme pour rendre les rayons plus obliques , la réflexion totale s’opère meme au point E , et la goutte E disparaît.
Tous ces phénomènes sont des conséquences nécessaires de la théorie. Lorsque les rayons réfractés IE tombent sur la base B C avec une incidence voisine de la perpendiculaire , ils ne sont point réfléchis intérieurement , même dans les points de la base qui sont contigus à l’air. Réciproquement , tout rayon venu des objets extérieurs situés au-dessous de la base du prisme , et qui se présente sous cette incidence , le pénètre , et parvient à l’œil ; mais, lorsqu’en en abaissant l’œil f les rayons réfractés deviennent plus obliques sur la base BC , il arrive un terme où l’action de l’air , en contact avec cette base , n’est plus assez forte pour les obliger à se transmettre*, ils se réfléchissent donc totalement, après être sortis du prisme , jusqu’à la limite des forces attractives de la couche d’air , et leur incidence intérieure ô sur B C est alors donnée par l’équation
n 2 — ri2
cosa ê ^ — — ,
dans laquelle n et ri désignent les rapports constans du sinus d’incidence au sinus de réfraction, pour les rayons qui passent
DE LA. REFRACTION. %8y
du vide dans le verre ou dans l’air ; mais la limite est différente pour le point E , où la goutte liquide est adhérente , parce que , relativement à cette goutte, le rapport de réfraction ri est beaucoup plus grand que pour l’air ; ce qui rend la valeur limite de cos ù plus petite , et par conséquent l’angle 0 lui-même plus grand : aussi faut-il abaisser l’œil davantage pour que la réflexion intérieure s’opère au point E, où se trouve la goutte liquide ; et quand on est parvenu à cette inclinaison , la goutte disparaît entièrement. A cet instant, il y a un certain nombre de rayons SI, émanés des objets extérieurs , qui traversent la goutte à une distance infiniment petite de la base du prisme, et qui ensuite parviennent à l’œil , étant ramenés dans l’intérieur du prisme par la réfraction. Lorsque la goutte est formée d’un liquide diaphane , ces rayons , dans leur court trajet à travers sa substance , n’éprouvent qu’un affaiblissement insensible» Alors leur éclat empêche de distinguer la faible lumière qui est encore envoyée à l’œil par la couche liquide infiniment mince que les forces attractives embrassent. C’est pour cela que la goutte disparaît.
Afin de rendre cette conséquence plus évidente , menons , dans l’intérieur de la gout te , une ligne bc parallèle à B C , et qui désignera la profondeur jusqu’à laquelle est sensible l’excès de force attractive du verre. C’est donc sur cette limite que se fait la réflexion intérieure des rayons , lorsque l’incidence intérieure IEN ou 0 est déterminée par l’équation
O f Q ir
cos2 0 — , d’où l’on lire sin ê = — .
Or, par la forme que nous venons de donner à sin0, on voit que 6 est aussi l’angle de réfraction pour un rayon ri , qui, partant d’un des points de la goutte liquide située sur la limite bc des forces attractives , se dirigerait parallèlement à la surface du verre. Un tel rayon sera donc ramené dans le verre et s’y réfractera en formant l’angle 6 avec la normale EN. Mais tous les autres rayons parallèles à celui-là , qui partiraient des autres points de la goutte liquide situés au-delà de ùc, n’étant plus attirés sensiblement par le verre, ne pourront plus
s’y introduire. Ces points ne pourront donc faire entrer dans le prisme que des rayons obliques sur la surface BC, lesquels s’y réfracteront suivant la proportion constante des sinus ; et comme ces rayons , à cause de leur obliquité , s’approcheront plus de la normale EN que le rayon r Y, on voit qu’après leur réfraction, ils seront tous compris dans l’intérieur du cône droit engendréparle rayon rY , en tournant autour de la normale EN. Ils ne pourront donc pas parvenir à l’œil , que l’on suppose situé en O sur la direction du rayon émergent donnée par rY.
Cette exclusion ne s’applique plus à la petite couche de liquide comprise entre la surface du verre et la limite extérieure bc des forces attractives. Car, outre le rayon ré, les molécules qui forment cette couche pourront en envoyer beaucoup d’autres dans des directions telles qu’ils rentrent dans le prisme, parallèlement à rY , et qu’ainsi ils arrivent avec lui dans l’œil. Conséquemment , lorsqu’on cesse de voir par réfraction toute la partie de la goutte située au-delà de bc , on doit voir encore la couche comprise entre bc et la surface du prisme. Mais dans les substances liquides qui transmettent beaucoup de lumière, et qui en émettent peu , une couche si mince n’envoie pas assez de rayons pour être aperçue , d’autant mieux que ces rayons se confondent avec la lumière directe, qui, entrant par la face AB, se réfléchit dans les premières couches du liquide , sans perdre beaucoup de son intensité.
Ce mélange n’a plus lieu quand le corps en contact avec le prisme est opaque, parce qu’une couche, même très-mince, de ces corps arrête tous les rayons qui tombent sur elle. En outre, elle en émet directement beaucoup plus qu’une couche liquide de même épaisseur. Alors la petite couche située eudeçà de bc devient visible, tant par les rayons directs qui en émanent et qui la montrent avec sa couleur propre , que par opposition avec le reste de la base du prisme où la réflexion totale a lieu. On aperçoit même quelque chose de ce dernier effet avec les corps liquides dont la transparence n’est pas parfaite.
On comprend donc qu’avec les corps opaques, la réflexion
DE LA RÉFRACTIOK. 289
intérieure ne pourra s’opérer que lorsque la trajectoire lumineuse cessera de sortir du verre , et par conséquent elle commencera sur la surface du verre même , lorsque 0 sera déterminé par la seconde limite.
n 2 — ri%
cos2 0 ~ — =.
En effet , aucun des points du corps adhérent au prisme , même parmi ceux qui sont compris dans la limite des forces attractives ne pourra émettre de rayons qui se réfractent en formant avec la normale EN un angle aussi grand que celui-là. Quoique cette limite de réflexion ne soit séparée de la précédente que par l’épaisseur excessivement petite où les forces attractives sont sensibles , elle donne cependant une différence très-considérable dans les valeurs de l’angle 0. Pour en voir un exemple , supposons que le prisme soit de crownglass, et que la goutte soit d’eau distillée , on aura nz=z 1, 5 ri z=z i,33 ; de là on tire
Réflex. à la limite] /z2— ri* o,48li n
extér. des forces 1 COS2 0 rr: czr 5 0 =: 0 2j 23 .
attractives J Tl* 2, 2 5
Réfl. à la surface | 0,48 11 „
commune de 1 eau /COS — < — — ; 0~ ijo° 54 5l .
et du verre J 2 n* 4,5
11 y a donc huit degrés et demi de différence entre les incidences intérieures ; mais la disparition aura lieu sensiblement dès la première, à cause de la transparence de l’eau, et la seconde limite ne pourra pas être remarquée. Si l’on compare ces résultats à ceux que nous avons obtenus plus haut , lorsque le prisme était environné de vide , on verra que les valeurs actuelles de 0 sont beaucoup plus grandes, c’est-à-dire que l’action de l’eau a fort étendu le cône intérieur qui comprend tous les rayons réfractés.
Si la goutte adhérente au prisme est formée d’encre liquide , dont la puissance réfringente est plus forte que celle de l’eau pure , l’angle 0 où la réflexion commence est encore plus grand. Cet angle augmente à mesure que l’encre se sèche , parce qu’en même temps elle se condense et agit plus fortement sur la Tome ITT. i c>
lumière. Enfin quand elle est devenue tout-à-falt opaque, la puissance réfringente des molécules métalliques qu’elle contient l’emporte sur celle du verre , et la tache noire qui en résulte est visible sous toutes les incidences possibles.
Pour que la substance mise en contact avec le prisme exerce ainsi de l’influence sur la réflexion intérieure , il n’est pas nécessaire qu’elle ait d’abord été déposée à l’état liquide sur la surface du verre , et qu’elle s’y soit ensuite solidifiée ; il suffit qu’elle en soit approchée d’assez près pour que ses forces attractives y pénètrent. Par exemple , si l’on prend deux prismes de même matière ABC, A'B'C', fig. 80 , et qu’on presse fortement leurs faces BC, B' C' l’une contre l’autre, il arrive que, dans les points où les inégalités insensibles des surfaces les rapprochent davantage, le contact devient assez intime pour que la lumière ne puisse plus du tout s’y réfléchir intérieurement. Alors , quand on regarde à travers les prismes , sous des inclinaisons telles que la réflexion totale se produise dans les portions de leurs surfaces qui sont plus écartées , ces points-là font l’effet d’autant de taches noires à travers lesquelles on continue de voir les objets par réfraction, comme on les verrait par un trou percé au travers des prismes superposés. Il est donc évident que, dans ces endroits, la distance des deux surfaces est moindre que la limite à laquelle les forces attractives s’étendent.
Ces phénomènes donnent un moyen de déterminer les rapports de réfraction des corps même opaques , lorsqu’on a un prisme plus réfringent qu’eux. Il ne faut que les mettre en contact avec une des surfaces de ce prisme , et déterminer par expérience l’angle ê au-delà duquel on cesse de les apercevoir par réfraction. En effet , cet angle étant connu , ainsi que le rapport de réfraction n pour le prisme dont on fait usage, ri sera déterminé par la condition de la disparition, qui donne , si
le corps est opaque ,
0 1 2 nz — n
d’où
ri 2 z=zna — - 2 712- cos2 ô j (1)
2 ir
et s’il est transparent ,
DE LA RÉFRACTION
Pour trouver 0, suivons le rayon limite El', fig, 81 , jusqu’à la surface de sortie AC, et nommons 0", 0'" les angles qu’il forme avec la normale de cette surface, avant et. après soir émergence. Désignons en outre par a l’angle réfringent AC B , à travers lequel on observe l’objet E; cela posé dans l’arrangement que représente la ligure, il est clair que a est égal à la somme des angles 0-f 0" , de sorte que 0" ~a — 0 ; or on a en général
sin è'" =/zsin0'/ ; on aura donc sin 0'" =z n sin (A — 0 ],
Reste à déterminer 0"\ On y parviendra en posant la base BC du prisme sur une glace horizontale GG, et mesurant l’angle P'OI' ou b , formé par le rayon émergent OI avec la verticale O P'. Car les deux angles P'N'I' et B CI/ sont égaux entre eux, ayant leurs côtés perpendiculaires ; et comme le premier est extérieur au triangle OlGP, il s’ensuit que è'!f~ a — 6; ce qui donne sin ( <2*— — n sin ( a — -0). (3)
Tout étant connu dans cette équation , excepté <2 — 0 , on l’en, déduira par les tables trigonométriques , et retranchant le résultat de <2, on aura 0. Il ne restera plus qu’à substituer cette valeur dans l’équation (1) ou (2) , et l’on en conclura le rapport de réfraction ri pour la substance qu’on a mise en contact avec le prisme. Quoique dans la figure nous ayons représenté le rayon émergent OI' comme s’élevant au-dessus de la normale , la formule qui donne 0 n’en est pas moins applicable à tous les cas possibles , en y mettant pour b sa valeur observée. Seulement , lorsque le rayon émergent O V s’abaissera audessous de l’horizontale , il arrivera que l’angle b deviendra obtus.
Dans ces formules , l’angle réfringent du prisme semble tout-à-fait arbitraire ; il est cependant limité; car il doit toujours être tel, que le rayon limite El' puisse sortir par la seconde surface A C. Pour cela , il faut que l’angle ô" ou a — 0 n’excède pas celui sous lequel la réflexion intérieure s’opère dans la matière dont le prisme est fait. C’est aussi ce que montre l’équation (3). Elle cesse d’être possible lorsque a — - 0 surpasse la limite que nous venons d’assigner ; car alors le produit n sin ( a — 0 )
devient plus grand que 1 , et ne peut plus représenter un sinus. Les calculs numériques deviennent un peu plus simples , lorsque la face AC du prisme est perpendicu’aire sur sa base. Alors a devenant égal à 900 , l’équation qui détermine ô donne immédiatement
cos b
cos ê = ;
et en substituant cette valeur dans nos formules , on trouve
i Réflexion à la surface
Pour les corps opaques ria rr: n% •— 2 cos2 b . commune des deux
( milieux.
ÎRéfl. à la limite extérieure des forces attractives.
Dans tous les cas, lorsqu’on aura déterminé nx , il ne restera
plus qu’à mesurer la densité £ de la substance employée, et
sera l’expression de son pouvoir réfringent.
Pour confirmer la distinction établie par ces formules entre les deux genres de réflexion , Malus a déterminé de cette manière la valeur de ri relativement à la cire d’abeille, rendue tour à tour liquide et opaque ; et quoique les angles de disparition différassent de beaucoup dans les deux cas , il a trouvé que la valeur du pouvoir réfringent qu’on en déduisait par les formules était toujours sensiblement la même. Pour mesurer l’angle b formé par le rayon émergent avec la verticale, il regardait la tache à travers un petit trou rond O , fig. 82 , percé dans une plaque de cuivre qui pouvait monter et descendre le long d’une tige OP', fixée perpendiculairement à un plateau de verre sur lequel on posait le prisme , après avoir fait adhérer une goutte de cire sur sa base. Lorsqu’on avait trouvé la hauteur du point O, à laquelle la cire disparaissait, on mesurait cette hauteur OP' sur la tige, qui était exprès divisée. On mesurait aussi la distance P' H, à laquelle allait directement aboutir le prolongement du rayon émergent LO; et cette distance, divisée par la hauteur OP% donnait la tangente de l’angle P OI', qui est désigné par b dans nos formules. D’ailleurs , la densité ç s’évaluait par les moyens connus. Voici le tableau des expériences faites par Malus de cette manière , avec un prisme rectangu-
DE LA RÉFRACTION. 293
laire de flintglass, dont le rapport de réfraction n était 1 ,60612. Il observa d’abord la cire solide opaque. Dans ce cas , le rapport de réfraction ri était donné parla formule
ri* — n2 2 cos* b.
Inclinaison du rayon refracté sur la verticale
! Carré du rapport de réfraction pour la cir»
La densite observée
Pouvoir r
éfringent
