Tome III

La dernière limite de 0'7 est précisément celle à laquelle l’angle d’émergence devient droit ; en sorte que , pour des valeurs plus grandes de 0" , il ne peut plus y avoir d’angle d’émergence , en conservant le rapport constant des sinus. En effet , puisque

on aura sin9 0" — — , et sin ô" : — - -,

ri 2 n

qui est précisément le sinus de l’angle de réfraction , quand l’angle d’incidence compté de la normale est droit. Ainsi la seule considération de la loi des sinus pouvait faire prévoir la nécessité de la réflexion au-delà d’une certaine limite d’incidence intérieure , d’après l’impossibilité d’obtenir un angle d’émergence convenable.

Continuons maintenant à suivre la molécule lumineuse après qu’elle est sortie des limites des forces attractives. Pour savoir quelle direction elle prendra alors , il n’y a qu’à partir de l’expression connue de ses vitesses , et désignant par x' y" ses coordonnées , parallèlement et perpendiculairement à la surface de sortie, en mettant leur origine commune au point d’émergence sur la limite extérieure des forces attractives , nous aurons

x' t V sin y" m t \/ Y2 cos2 6" 2 u a .

Nommons de plus 0'" l’angle que la direction de son mouvement forme alors avec la surface d’émergence , nous aurons encore

sin 0

rtr

, par conséquent sin 0' "

V sin 0" y Ya — 2 u1

Or, en nommant v la vitesse de la lumière dans le vide , et ?i le rapport de réfraction pour la substance dont est fait le prisme, nous avons trouvé

Ya ~ nz ea u 2 = — - ‘

de là on tire sin 0"' =r n sin 0".

Ainsi , malgré tous les cbaiigemens de direction et de vitesse que k rayon a éprouvés sur sa route , il sort du corps en observant

DE LA RÉFRACTION

le même rapport constant du sinus de réfraction au sinus d’incidence avec lequel il y était d’abord entré.

La vitesse qu’il reprend dans le vide est aussi la même qu’il, avait avant d’avoir éprouvé l’action du corps; car la somme des carrés des vitesses composantes est

V 2 sin2 è" -f- Y2 cos2 ê" — - 2«2 , ou simplement y2 — 2 u 2 ;

quantité qui se réduit à es, quand on y substitue pour u et V, leurs valeurs en fonction de n.

Les résultats auxquels nous venons de parvenir , touchant la réflexion intérieure du rayon sous certaines incidences , sont parfaitement confirmés par l’observation. Avant de chercher à les rendre sensibles , calculons leurs limites pour le verre ordinaire dans lequel la valeur moyenne du rapport de réfraction n est environ 4 ou 1,5 ; nous aurons alors t Commencement de la réflexion intérieure

cos0" = o f^—go0.

Ptéflexion sur la surface d’émergence même ,

cos2 i" = LUi = — ; e"=53° II' 38".

Sur la limite extérieure des forces attractives ,

c0s2<>"=ïr— = «" = 41° 48' 87".

D’après ce que nous avons dit plus haut , ce phénomène ne peut pas se produire sur des plaques à faces parallèles , telles que AB, AC , fig. 69. En effet , dans ce cas , l’angle ô" est toujours égal à l’angle 6'. Or, la plus grande valeur possible de 6' est justement 4 i° 48' 3 7", qui répond au cas où le rayon incident S I est parallèle à la surface d’incidence A B. Ainsi , dans ce cas même, ê" sera seulement égal à cette valeur, qui est la plus petite de celles où le phénomène peut avoir lieu.

Mais la chose deviendra possible , si la seconde surface AC s’incline le moins du monde sur la première AB, comme le représente la fig. 70. En effet, dans ce cas, 6" sera plus grand que 6' de tout l’angle t compris entre les deux surfaces; de sorte qu’en supposant, par exemple, 0' égal à /j.x° 3y", ce

qui rend ie rayon incident S I parallèle à la surface d’incidence , l’angle 6" ou 6f -f- g surpassera cette quantité , et par conséquent la réflexion intérieure aura lieu ; elle aura lieu meme en diminuant l’incidence du rayon S I , parce que la diminution qui en résultera dans 0' pourra être compensée dans Ô" par l’inclinaison £ des deux surfaces ; mais la chose cessera d’être possible , lorsque l’angle ô' se trouvera diminué de tout l’angle g, c’està-dire lorsque l’on aura à la première surface

Car alors l’angle d" qui mesure l’incidence sur la seconde surface , et qui est toujours exprimé par è' -{- g , ne vaudra plus que 4.I0 48' 37". Or , c’est là précisément la plus petite incidence intérieure sous laquelle la réflexion totale puisse s’opérer. Si l’on veut savoir quelle est l’incidence extérieure ô sur la première surface qui correspond à cette limite, il n’y a qu'à faire sin 6 =z \ sin (4ï° 1$ 37" — g).

La valeur de ê ainsi calculée donnera la plus petite incidence SIN, flg. 70, qui puisse amener le rayon à se réfléchir en totalité à la seconde surface du prisme. Dès-lors toutes les autres incidences plus grandes, situées du même côté de la normale , produiront également le phénomène, puisqu’elles rendront le rayon réfracté encore plus oblique sur la seconde surface AC; seulement, dans tous ces cas , la réflexion intérieure s’opérera avant que les molécules lumineuses aient atteint la limite extérieure des forces attractives.

Pour étendre ces résultats au cas où n serait quelconque , il n’y a qu’à généralement représenter par A l’angle dont le sinus

est-, angle qui était ici 4*° 3 7" ; et en désignant toujours

par e l’angle réfringent du prisme , la limite de ô sera fixée par les deux équations

sin A r= - ; sin 0 = n sin ( A — g V

L’incidence 0 devient nulle lorsque l’on suppose e = A ; ce qui , dans le verre , donne g = 4X° 4^ 3 7", fig. 71. Ainsi, dans ce cas, la reflexion totale commence à s’opérer à la seconde sur-

DE LA RÉFRACTION

face du prisme , lorsque le rayon incident est perpendiculaire à la première : à plus forte raison , elle s’opère aussi pour toutes les autres inclinaisons que le rayon peut prendre entre la normale et la surface du prisme , "vers le sommet A de l’angle réfringent. Il est clair qu’il n’en serait pas de même si l’incidence se faisait de l’autre côté de la normale IN , parce qu’alors le rayon réfracté , devenant moins oblique à la seconde surface , atteindrait la limite extérieure des forces attractives avant que sa vitesse normale fût nulle, et il s’échapperait dans le vide extérieur.

Néanmoins, en augmentant davantage l’angle ê , on obtiendrait la réflexion totale , même avec des incidences prises vers la base B du prisme; car , lorsque t surpasse A , la valeur limite de ê devient négative dans notre formule ; ce qui indique que le rayon incident passe du côté de la normale opposé à celui que nous avions d’abord considéré. Dans ce cas , l’incidence limite — ê augmente toujours en même temps que e ; et enfin elle devient égale à qo°, lorsque e devient double de A ; ce qui , pour le verre ordinaire, répond à 83° 37' il± . Ainsi, dans un prisme de verre taillé sous cet angle , un rayon incident SI , fig. 72 , qui arriverait parallèlement à la première surface du côté de la normale opposé au sommet A , éprouverait la réflexion totale à la seconde surface AC, et ne parviendrait que jusqu’à la limite extérieure de ses forces attractives. Par conséquent tout autre rayon incident quelconque qui pénétrerait dans ce prisme avec une valeur de 6 plus petite, ou se réfléchirait intérieurement à la seconde surface, ou même s’éloignerait d'elle, s’il s’inclinait assez de l’autre côté de la normale. Un pareil prisme serait donc complètement imperméable à tous les rayons lumineux , et quoique formé de verre transparent , semblerait tout-à-fait opaque» Dans tout ceci , nous considérons les rayons incidens comme ayant tous le même rapport de réfraction n ; mais puisque nous avons remarqué que ce rapport est un peu différent pour les différentes couleurs, il s’ensuit que, si l’on a calculé l’angle A avec sa valeur moyenne , l’imperméabilité du prisme dans les incidences extrêmes pourra n’être pas absolue, et alors quelques-

078 TIÎEOBIE PHYSIQUE

unes des couleurs se réfléchiront intérieurement , tandis que d’autres seront transmises. C’est une conséquence du phénomène de la dispersion que nous examinerons plus tard.

Pour vérifier commodément par l’expérience les principaux résultats que la théorie vient de nous indiquer., il faut prendre un prisme réfringent d’un angle un peu considérable , par exemple, un prisme équilatéral ABC, fig 7 3 ; puis, ayant disposé horizontalement une de ses faces AB , placez au-dessous d’elle un carton noir dans lequel vous aurez fait une petite ouverture ; et enfin sous cette ouverture , dans la même verticale , placez à quelque distance un objet F F qui , par cette disposition , ne pourra envoyer à la face AB que des rayons presque perpendiculaires. Alors, si vous placez l’œil au-dessus de l’autre face A C du prisme , il vous sera impossible d’apercevoir l’objet par réfraction à travers cette face, parce que les rayons qu’elle en recevra sous cette incidence se réfléchiront intérieurement.

On peut également vérifier que , dans tout autre prisme , il existe un angle d’incidence où les rayons cessent de se transmettre. Four cela , il n’y a qu’à regarder un petit objet ^ par réfraction, à travers le prisme, fig. 74 > en plaçant la base du prisme du côté de l’œil. Puis , sans remuer le prisme ni l’œil , on fera marcher lentement l’objet vers le sommet A ; en même temps l’image réfractée paraîtra s’approcher de ce sommet, et enfin, sortant des limites du prisme, elle cessera d’être aperçue. Cependant on pourra encore la revoir, en approchant l’œil de la seconde surface AC du prisme , afin de recevoir les rayons qui sortent sous une émergence plus grande. Mais à force d’éloigner l’objet, il viendra un terme où cette émergence sera de 90°. Alors les rayons sortiront parallèlement à la seconde surface du prisme, et en éloignant l’objet un peu davantage, ils se réfléchiront en dedans, de sorte que l’on 11e pourra plus les recevoir dans l’œil , de quelque manière qu’on se place. Dans cette expérience, les rayons qui passent vers le sommet du prisme sont toujours les derniers qui disparaissent, parce que ce sont ceux qui rencontrent la seconde surface sous une incidence moins éloignée de la perpendiculaire. Voilà

DE LA RÉFRACTION» % 79

pourquoi l’image semble toujours reculer vers le sommet de l’angle réfringent.

On peut encore observer l’effet de la réflexion intérieure d’une manière plus frappante , en plaçant un prisme triangulaire ARC, flg. 75 , entre la lumière et l’œil , de façon que les rayons incidens SI ^ entrés par la première face , se réfléchissent sur la base et sortent ensuite par la seconde surface AC. Si l’on veut suivre toutes les gradations du phénomène, il faut d’abord placer l’œil assez haut pour voir par réfraction les objets situés au-dessous de la base BC. Dans cette position , les rayons S IF, qui viennent des objets extérieurs , se réfractent aussi en F , et sortent dan3 l’air. Mais en abaissant un peu plus l’œil , il vient un terme où les objets , placés au-dessous de B C , cessent d’étre visibles par réflexion; et, au contraire, les objets extérieurs situés au-delà de AB se peignent sur la base B C , comme sur un miroir. C’est qu’alors les rayons réfractés II', devenant trop obliques sur B C pour pouvoir sortir dans l’air , sont réfléchis intérieurement ; et comme aucun rayon venu des objets situés sous B C ne peut , en se réfractant dans le prisme, s’écarter autant de la normale F N' , aucun d’eux ne peut plus parvenir à l’œil. Aussi une fois que cette réflexion totale a commencé à s’opérer , elle continue d’avoir lieu dans toutes les obliquités plus grandes.

Pour fixer les limites exactes de cette disparition , concevons que Nr F 1° soit le plus grand angle de réfraction possible pour les rayons qui entrent dans le prisme par la base BC ; et menons le rayon émergent 1° O qui en résulte après la seconde réfraction , à travers la face AC. Si , par le sommet de l’angle C , on mène CO1 parallèle à I" O , il est clair qu’aucun rayon entré par la face B C 11e pourra pénétrer dans l’angle O' C C', compris entre cette droite et le prolongement de la base du prisme. Ainsi, tant que l’œil sera situé dans cet espace , tous les objets situés au-dessous de B C lui seront invisibles par réfraction.

Il est utile de remarquer que les phénomènes de la, réflexion intérieure ne peuvent jamais être observés en regardant à travers îa même face du prisme par laquelle entrent les rayons incide?ss , comme le représentent les flg. 76 et 77. Car si le prisme

28o THÉORIE PHYSIQUE

est tourné comme dans la première de ces figures , le rayon réfracté II/ ne pourra jamais se réfléchir sur la seconde surface, l’angle ô" étant moindre que ô' de toute la valeur de e ; et si au contraire le prisme est tourné comme dans la fig. 77 , ce qui donne è" plus grand que ê' , et ê"' plus grand que è" , le rayon réfléchi I' I" cessera de pouvoir sortir par la première surface avant que sa réflexion totale sur la seconde commence à avoir lieu.

J’ai insisté sur ces phénomènes, parce qu’ils se présentent très— fréquemment dans le cours des expériences, et qu’ils sont une confirmation frappante de la théorie. Nous n’avons rendu mesurable de cette manière que l’incidence extrême dans laquelle la réflexion s’opère hors du corps réfringent, et tous les autres cas de cette réflexion se trouvent confondus dans les incidences plus grandes ; mais nous verrons bientôt comment on peut vérifier aussi par l’observation l’incidence précise qui détermine la réflexion intérieure sur la surface réfringente elle-même.

Nous avons plusieurs fois remarqué qu’en général, lorsqu’un rayon de lumière rencontre une surface réfringente, une partie des molécules lumineuses se réfléchit partiellement, tandis que le reste passe. Mais lorsque la réflexion intérieure s’opère par réfraction, elle est toujours totale , c’est-à- dire qu’aucune des particules n’y échappe, du moins lorsque l’angle d’incidence intérieur excède les limites qui conviennent à toutes les couleurs dont se compose le rayon réfracté. Cela vient , comme nous le verrons par la suite , de ce que les inégalités d’état et de mouvement qui affectent périodiquement les molécules lumineuses, s’exercent toujours dans le sens de la trajectoire qu’elles décrivent; de sorte que, cette trajectoire devenant parallèle à la surface du corps, elles s’exercent parallèlement à cette surface, et ainsi elles n’empêchent nullement l’effet des forces attractives par lesquelles la trajectoire est pliée et ramenée dans l’intérieur des corps.

Dans toutes les expériences précédentes , nous avons considéré les prismes comme étant dans le vide , quoiqu’ils fussent environnés d’air. C’était en effet le cas de nos formules; et nous pouvions le supposer rempli par l’expérience, parce que l’action

* DE LA RÉFRACTION. ^8i

de l’air sur la lumière est extrêmement petite , comme nous le verrons plus loin. Cependant , pour compléter notre théorie , il devient nécessaire de considérer ce qui arrive lorsque la lumière passe d’un milieu réfringent dans un autre contigu avec lui. D’ailleurs ce cas, qui est, rigoureusement parlant , celui de toutes les expériences, nous conduira, comme on va le voir, à un grand nombre de résultats importans.

Pour résoudre ce problème , il ne faut que reprendre nos premiers calculs , en supposant que la lumière n’est pas seulement attirée par le milieu où. elle entre , mais par celui d’où elle sort.

Désignant donc par AB, fig. 78, la surface commune des deux milieux , il faudra concevoir parallèlement à cette surface une infinité de zones infiniment minces , dans chacune desquelles l’action propre de chaque milieu pourra être considérée comme une force constante. Alors, quand les particules lumineuses commenceront à éprouver les effets de ces forces à un degré sensible , ce qui arrivera en général pour un des milieux plutôt que pour l’autre, leur vitesse, perpendiculairement aux couches, sera accélérée par les attractions y y l ya... du milieu vers lequel elles se dirigent, et retardée au contraire par les attractions ggxg 2... de celui qu’elles abandonnent ; de sorte qu’en général on pourra les considérer comme accélérées par les différences de ces forces à distances égales, c’est-à-dire par y — g ■> y t *'■*' gi>" etc. ; et à cela près, le calcul s’achèvera absolument comme nous l’avons fait dans le premier cas que nous avons considéré.

Soit donc Y la vitesse constante des particules dans le premier milieu, lorsqu’elles ne sont pas encore entrées dans les limites des forces attractives. Nommons 6 l’angle S IN que leur direction forme avec la normale IN à la surface commune des deux milieux; la vitesse Y, décomposée parallèlement et perpendiculairement à cette surface, donnera pour composantes,

parallèlement à la surface AB. ... V sin ô

perpendiculairement à cette surface Y cos ê.

La seconde seule sera modifiée par les forces attractives , et après

que îa molécule lumineuse aura traversé un certain nombre de couches , ses vitesses deviendront parallèlement à AB. . . . Y sin 0

perpendiculairem. à AB , Y2cos20 -f“2 (V“’ép)e“f“3(Vi — gi)ef-

Si l’on veut la conduire ainsi jusqu'à la surface commune des deux milieux , il n’y a qu’à représenter par v le rang des couches qui y répondent , et faisant pour plus de simplicité 2ge 4- 2glel +... 2gv ev — w2 ’jye -f 2y,e, + ... 2 yy ev = u a, on aura à cette surface

vitesse parallèle à AB Y sin 0

perpendiculaire à AB Ÿ Y2 cos2, 0 -f- u'2

selon que u 3 surpassera uz ou sera surpassé par lui, le second milieu r agira plus ou moins fortement que le premier sur la lumière. Si le premier cas arrive, u% — uz étant une quantité positive, la quantité contenue sous le radical sera entièrement positive , et la vitesse perpendiculaire aux couches sera toujours réelle ; la molécule lumineuse entrera donc nécessairement dans le second milieu. Mais si u 3 est moindre que u% , u' 2 — u 3 sera négative , et il y aura toujours certaines incidences où elle surpassera Y3 cos2 0. Alors la vitesse perpendiculaire aux couches deviendra imaginaire à la surface des deux milieux , et la molécule lumineuse ne pourra pas s’avancer jusque-là; elle s’arrêtera donc auparavant dans la couche où sa vitesse d’émergence aura été tout-à-fait détruite , et de là elle retournera dans le premier milieu , en faisant l’angle de réflexion égal à l’angle d’incidence. Le cas extrême de celte réflexion a lieu quand elle se fait sur la surface même des deux milieux , ce qui exige que la vitesse perpendiculaire y soit nulle , c’est-à-dire que l’on ait

uz — — u 2

Y2 COS3 0 -f* 11 Sft U2 =22 o, d’où cos3 0 ~ — ,

et l’on voit en effet par la valeur de cos2 0 que cela ne peut arriver qu’au tant que u% surpasse u% , c’est-à-dire lorsque le premier milieu réfracte plus fortement que le second.

DE LA RÉFRACTION. 283

Bans le cas où les attractions des deux milieux seraient identiquement égales , on aurait généralement

et ainsi de suite dans toutes les couches; alors les vitesses composantes se réduisent à Y sin 0 et V cos 0 , comme dans le premier milieu. Il n’y a donc ni réflexion , ni réfraction à leur surface commune.

Si l’on veut exprimer la valeur de cos'2 0 en fonction des rapports de réfraction n , ri propres aux deux substances contiguës , il n’y a qu’à substituer au lieu de A72, u2 et u /2 leurs valeurs

in'2 — î)

et on trouvera

cos2 0

d’où