CHAPITRE III

De V Achromatisme.

L à recherche des véritables rapports suivant lesquels la lumière se disperse dans les diverses substances n’a pas seulement conduit à reconnaître l’erreur de la loi que Newton avait donnée; elle a fait découvrir encore le moyen de corriger dans les lunettes la diffusion du foyer produite par l’inégale réfrangibilité des différons rayons. C’est pourquoi nous allons exposer ici, dans le plus grand détail, les preuves qui détruisent l’assertion de Newton, et en même temps nous exposerons les expériences qu’il faut lui substituer.

D’abord on peut s’assurer directement que la dispersion se fait par des lois très-différentes dans les différens milieux. Pour le prouver d’une manière incontestable, nous avons, M. C audio ix et moi, construit des prismes avec diverses substances, et après avoir mesuré leurs angles, nous avons , suivant le procédé indiqué page 214 , observé au cercle répétiteur la déviation des différens rayons, c’est-à-dire , l’angle que ces rayons, après leur sortie du prisme, formaient avec le rayon incident direct. Les différences de ces angles exprimaient les espaces occupés par les diverses couleurs dans chacun des deux spectres. Or, leur comparaison montre que ces espaces, comparés dans les diverses substances et pour des prismes de même angle ou d’angles divers, sont bien loin d’être proportionnels entre eux, comme le voudrait la loi de dispersion donnée par Newton.

Suivant cette loi , toute substance qui réfracte plus fortement qu’une autre devrait aussi disperser davantage. Cela est en effet ainsi pour l’ordinaire , mais non pas toujours. Par exemple , nous nous sommes assurés que l’huile de térébenthine réfracte moins que le crownglass de France , dans des circonstances pareilles : cependant nous avons trouvé qu’elle disperse davantage.

DE L’ACHROMATISME.

Plusieurs autres conséquences que Newton avait également conclues d’observations faites sur des dispersions faibles et presque égales ont pareillement besoin d’être modifiées. Par exemple, il assure que lorsqu’un trait de lumière, après avoir subi plusieurs réfractions successives , se trouve redressé parallèlement à sa direction primitive, il se trouve aussi recomposé. Y oici des preuves du contraire. Le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction est pour l’huile de térébenthine 1,48 1 56; pour notre crown glass 1 ,5i 17. Supposons qu’avec ces substances on construise deux prismes dont les angles réfringens soient trèspetits , et tels que celui du liquide soit à celui du crown comme o,5 1 17 est à 0,4816, ou comme i,o6i25 est à l’unité. Si l’on applique ces prismes l’un contre l’autre , de manière que leurs angles réfringens soient dirigés en sens opposés , et si ensuite 011 les fait traverser presque perpendiculairement par un trait de lumière blanche, on trouvera, par l’expérience, que l’axe moyen du faisceau émergent sera parallèle à celui du faisceau incident. On verra tout-à-l’heure , par le calcul , que la chose doit être ainsi ; mais je la donne , pour le moment , comme un simple fait dont tout le monde peut s’assurer. Ainsi, suivant Newton, la lumière, étant redressée , devrait paraître incolore, ce qui n’arrive point. La dispersion produite par l’huile de térébenthine prédomine et produit des couleurs qui deviennent surtout sensibles lorsque l’on regarde l’objet réfracté à travers une lunette achromatique qui amplifie son image sans en changer la coloration. On pourrait faire des épreuves semblables en employant des prismes formés d’autres substances , pourvu que l’on variât leurs angles réfringens suivant des proportions convenables , que nous apprendrons plus bas à déterminer.

Enfin , il n’y a pas plus de réalité dans une autre assertion de Newton , qui est l’inverse de la précédente , et qui consiste en ce que la lumière émergente ne peut être incolore que quand elle est redevenue parallèle à la lumière incidente. Car si l’on assemble deux prismes de crownglass et d’huile de térébenthine , tels que l’angle réfringent du premier soit à celui du second comme 3,19826 est à l’unité, et qu’on joigne ces prismes en les op-

DE E ACHROMATISME.

posant Fun à Fautre , Fexcès de Fangle réfringent du crown et celui de sa force réfringente, produiront dans le faisceau réfracté une déviation considérable, et cependant ce faisceau restera sensiblement incolore. On obtiendra le meme effet en assemblant un prisme de crownglass avec un prisme d’huile, essentielle de citron dont les angles soient entre eux comme 1,2667 est à l’unité; ou bien encore un prisme de crownglass avec un de flintglass français dont les angles soient entre eux comme 1,6847 est à 1. Dans tous ces cas , et dans une infinité d’autres pareils , la lumière émergente est déviée considérablement. Néanmoins elle est sensiblement incolore. Tout au plus, sur les bords de l’image, aperçoit-on quelques franges colorées très— étroites , qui s’affaiblissent extrêmement à mesure que l’on diminue Fangle du prisme , et qui , dans un grand nombre de cas , deviennent tout-à-fait insensibles.

Je viens d’exposer ces résultats comme de simples faits que chacun peut constater ; il me reste à montrer comment on peut les découvrir ; comment on peut déterminer pour chaque substance ses vrais rapports de dispersion avec toutes les autres ; comment enfin on peut obtenir les angles sous lesquels il faut assembler des prismes de substances données pour que leur interposition ne produise aucune coloration dans les objets. C’est ce qu’on appelle déterminer les conditions de l 'achromatisme.

Pour les découvrir, nous examinerons d’abord la marche d’un rayon homogène quelconque , à travers un nombre quelconque de prismes, dont les angles et les forces réfringentes sont donnés : nous fixerons par le calcul les déviations que les rayons éprouvent. Alors , pour que les objets paraissent sans couleurs, il faudra que tous ces rayons, supposés de nature diverse , deviennent parallèles entre eux après leur émergence , comme ils le sont à leur incidence. Si ce parallélisme a lieu, le faisceau émergent produira nécessairement sur l’œil le même effet que la lumière directe , puisqu’il sera composé de la même manière, et c’est ce que l’expérience confirme. Nous verrons, par le calcul, si cette condition peut être remplie exactement

■480 DE L’ACHROMATISME.

ou seulement avec un degré d’approximation suffisant pour nos organes ; et enfin , je décrirai un instrument qui fera connaître dans tous les cas , avec la plus grande exactitude , les rapports des angles qui y satisfont.

Considérons, fig. 167, un nombre quelconque de prismes réfringens A' CB’, A" C B . . . etc. assemblés autour du même point C , et séparés les uns des autres par des prismes d’air B'CA", B" G' A." . . . etc. Supposons que nx n a n3 soient les rapports constans du sinus d’incidence au sinus de réfraction pour un rayon homogène d’une nature déterminée , lorsqu’il passe de l’air dans ces différens prismes ; appelons axn2a3. . . av leurs angles réfringens et b{ b% b3. . . les angles dièdres compris par les intervalles d’air qui les séparent. Enfin concevorts qu’un rayon lumineux homogène SI vienne traverser successivement tous ces prismes , en faisant avec leurs diverses surfaces les angles successifs désignés dans la figure par <p (px <pa <p3 „ . . (f> , et cherchons à déterminer la marche de ce rayon, ainsi que les déviations qu’il doit éprouver.

Il est visible que tout se réduit à calculer successivement les angles ç>3 . . • <£v lorsque l’on donne l’angle <p formé par

le rayon incident avec la première surface réfringente A'C. Or, cela est très facile ; car, puisque le rapport du sinus de réfraction au sinus d’incidence est toujours une quantité constante pour le même rayon et la même substance, il est visible que les angles cherchés seront assujettis aux équations qui expriment cette condition , c’est-à-dire , qu’on aura

(t) . cos <p — /?, cos <pt

tyi— <Pi -f- at cos <p3 — cos <p&

cos (p4 nu COS <p5

^6—^5 T" «a cos <p7 ~ /?2 cos <p6 ;

4)4v-2 “ $4v— 3 “l~ av

C0S(p4y t = >2V cos ^4y a;

et enfin

RE L5ACHROMATISME»

au moyen de ces équations tous les angles <px (p a <p3.. . . pourront être calculés successivement. Lorsqu’on les connaîtra 5 on aura bien aisément la déviation totale éprouvée par le rayon de lumière ; car si après son émergence et par un point quelconque de sa direction on mène une droite O S parallèle au rayon incident SI, l’angle RO S que nous désignerons par A sera la déviation demandée. Or, si l’on prolonge le rayon émergent OR jusqu’au point K , où il rencontre la première surface CA', et si ensuite on prolonge la ligne CA' jusqu’à sa rencontre avec OS en D? l’angle O DK sera égal à (p comme alterne interne , et le triangle O KD donnera

A ~j- <p -{- O K D — 1 8o°, ou A — 1800' — O K D — cp mais l’angle O K D étant extérieur au triangle K C R , on a OKDr= l8o° — ~h ai + -j- • • ~f* ^n—i + an 7

par conséquent

ce qui donne un moyen facile d’obtenir A lorsque l’on a calculé l’angle d’émergence (p^v l.

Nous avons supposé dans la figure que les angles réfringens des prismes étaient tous dirigés du même côté. Cette supposition avait l’avantage de donner plus de symétrie aux formules , ce qui permettait de les étendre facilement à un nombre de prismes quelconque. Mais si un ou plusieurs prismes avaient leurs angles ré- *

fringens tournés en sens contraire des autres , il suffirait de supposer ces angles réfringens négatifs; et achevant le calcul avec cette seule modification , on arriverait aux résultats qui conviendraient au cas particulier qu’on se serait proposé.

Pour donner un exemple de ceci, noms allons appliquer la formule a un cas qui nous sera fort utile, c’est celui où l’on suppose que les angles réfringens des prismes sont tous trèspetits , et que le rayon lumineux les traverse presque perpendiculairement à leurs surfaces; alors les angles b , bz compris entre les prismes doivent être aussi fort petits. Les choses étant ainsi supposées , les angles <p (p f <p2 Ç>3 . . . etc. seront très-peu différens de l’angle droit , et par conséquent leurs cosinusseront très-petits. On pourra donc regarder ces cosinus comme pro- Tome III. 3i

^$2 DE L’ACHROMATISME.

portionnels aux angles go — <p , 90 — <£>,, 90 — <pa . . qui sont les complémens de <p (p , <pa . . . ; et cette supposition sera d’autant plus approchée de la vérité, que les incidences et les émergences des rayons sur les surfaces réfringentes approcheront davantage de la perpendiculaire. En introduisant d’abord ces modifications dans les trois premières équations qui se rapportent au premier prisme , elles deviennent

90 — <p — n, (go — <pt)

Ça — Çi + a

90 $3 = nt (90 — <pa).

On peut prendre dans la première la valeur de <pt , et la substituer dans la seconde ; puis dans celle-ci on connaîtra <p3 , et on pourra la substituer dans la troisième ; on aura ainsi

fn — 9° 4* ai — *—

$3 — ~f~ n t ar

On connaît donc ainsi l’angle d’émergence <p3 , pour le premier prisme , en fonction de l’angle d’incidence <p. On aura de même , pour le second prisme (p7 en fonction de <p4 , et ainsi de suite jusqu’au dernier , pour lequel on aura en fonc-

tion de <?4V„4* Or, si l’on écrit toutes ces équations les unes sous les autres , en y joignant celles qui appartiennent aux prismes d’air intei'posés , on formera le tableau suivant :

$3 == <P + Ui at

Ajoutant ces équations membre à membre , tous les angles d’incidence et d’émergence disparaissent , excepté le premier et le dernier , ce qui donne

$4»-l = <P + ^i + ^a • • • +?v~i + niai+n*az

+ "v af

DE L ACHROMATISME. /f83

Or , la valeur de la déviation A est généralement

A 1 — ^>4v t — <p — ci j b r — ci^ <“*“ b% . t 5

par conséquent , en mettant pour <p4v t sa valeur , il vient A~r(rct — i )ax -f (/za— ■ '0 «3+ ••• (^v — 0 av y

expression très-simple et très-symétrique.

Dans toutes les expériences que l’on peut tenter avec des prismes solides ou liquides , les rapports de réfraction ?il na.... nv seront plus grands que l’unité; par conséquent ^-—i, nz— i.... nv— - ï ^ seront des quantités positives. Si, de plus, tous les angles réfringens des prismes sont tournés dans le même sens ,cina^ a3.„. a v, seront également positifs. Ainsi la valeur de la déviation A > sera toute entière composée de quantités positives; de sorte qu’elle ne pourra jamais devenir nulle , à moins que chacun des termes qui la composent ne devienne nul séparément. Il est donc impossible que le rayon émergent soit parallèle au rayon incident , lorsque les prismes sont ainsi disposés.

Mais si quelques-uns des prismes ont leurs angles réfringens tournés en sens contraire des autres, les valeurs de a correspondantes à ces prismes, deviendront négatives; une partie des termes qui composent l’expression de A , s’entre-détruiront mutuellement, et il pourra même arriver que la compensation soit telle qu’elle rende A nulle. Supposons , par exemple , qu’il n’y ait que deux prismes, que le premier soit formé de crownglass , pour lequel on ait n t r=3 i,5r 17 , et le second d’huile de térébenthine , pour laquelle on ait n& — ï ,48 1 56 , on aura alors /q— ~ 1 0,5 î 1 7, n%—- \ 0,48 1 56 ;

Par conséquent , si l’on veut que la déviation moyenne du faisceau lumineux à travers ces deux prismes soit nulle pour de très-petites incidences , il faudra que leurs angles réfringens al et ci% soient assujettis à la condition

o,5 1 1 7 ax -}~ 0,4816 a% ; o,5 1 1 7

ce qui donne

comme nous l’avons annoncé page 478. L’opposition de signe

/r34 DE L ACHROMATISME^

de rzapar rapport à at, indique que le second prisme doit être placé en sens contraire du premier.

En général , quelles que soient les incidences des rayons et les angles des prismes , si , dans nos formules complètes, nous mettons successivement pour n nx les rapports de réfrac-

tion qui conviennent aux différens rayons homogènes , le calcul des équations (i) effectué par les tables de logarithme, nous donnera successivement les angles <£, <p2 <p3. . . . ç^v i que ces divers rayons forment à leur émergence avec la dernière surface du dernier prisme ; et par conséquent on connaîtra aussi pour chacun d’eux la valeur de A , c’esl-à dire la déviation qu’il éprouve. Si nous, supposons que le faisceau incident SI, fig. 168, soit un trait de lumière solaire directe, et par conséquent incolore , les divers rayons hétérogènes dont ce faisceau sera composé rencontreront la première surface du premier prisme sous le même angle ç ; mais en traversant les prismes, ils éprouveront des réfractions inégales , suivant leur inégale réfrangibilité ; par conséquent , en sortant du dernier prisme , ils pourront et devront même , en général , être inclinés les uns par rapport aux autres , de parallèles qu’ils étaient d’abord. Supposons que ces directions diverses soient représentées par les lignes rr , oo'... u u ; alors on conçoit que de chaque point d’émergence , il ne pourra parvenir qu’un seul rayon à l’observateur placé en O ; mais cet observateur pourra recevoir aussi les au! res rayons par des points d’émergence différens ; et pour trouver ces points, il suffira de mener du point O des droites OR, O O.... OU, respectivement parallèles aux droites rr\ oo' . ... uiî . En effet, puisque ces droites représentent les directions diverses des rayons à leur émergence, lorsqu’ils sont entrés parallèlement dans le premier prisme , il est clair que si ccs rayons retournaient sur eux-mêmes par les mêmes droites , ils ressortiraient de nouveau parallèles par la première face des prismes, comme lorsqu’ils y étaient entrés. De même, en supposant les surfaces des prismes indéfiniment étendues, les rayons émergens OR. . . OU donneront des rayons incidens

de l’achromatisme. 485

rs,rs... parallèles entre eux , mais qui répondront à dif— férens points d’incidence. Or , puisque nous supposons le point lumineux infiniment éloigné, tous les rayons incidens homogènes SI'... SI'... existent réellement dans la lumière incidente composée qui arrive à ces points , suivant des directions parallèles ; par conséquent , chacun parviendra réellement en O à l’observateur, et lui donnera une image colorée du point lumineux. La teinte de toutes ces images , formée par la succession des rayons de réfrangibilité inégale, composera un spectre coloré, analogue à celui que produit un trait de lumière solaire à travers un seul prisme; mais l’arrangement des couleurs pourra y être fort différent, car cet arrangement varie suivant la disposition et la nature des prismes réfringens que la lumière traverse.

Dans tous les cas, la disposition des couleurs sera indiquée par les valeurs delà déviation A. Si cette déviation, par exemple, est moins grande pour les rayons rouges que pour les violets , l’extrémité rouge du spectre sera la moins écartée du rayon direct O S , comme dans la vision par un seul prisme. Mais le contraire arrivera , si la déviation A est plus grande pour les rayons rouges que pour les autres, et l’ordre des couleurs sera renversé.

Entre ces Jeux oppositions , il peut arriver le cas où les valeurs de A seraient toutes égales entre elles ; alors les divers rayons émergens OR, OU. . . deviendraient parallèles entre eux ; et comme ils se réunissent au même point O , il s’ensuit qu’ils coïncideraient absolument. Dans ce cas , l’observateur placé en O recevra tous ces rayons ensemble, suivant une direction commune , et avec les mêmes proportions d’intensité qu'ils ont dans la lumière incidente directe; il ne pourra donc y faire aucune différence d’avec cette dernière ; et par conséquent , si la lumière incidente est blanche, le rayon émergent lui paraîtra blanc aussi. Lorsque ce cas aura lieu , les différens prismes que le rayon traverse formeront un assemblage achromatique , et n’altéreront nullement les couleurs propres des objets.

Jusqu’ici nous n’avons considéré qu’un seul point rayon-

t»f. l’achromatisme.

fiant très-éloigné. Si l’objet lumineux avait une étendue sensible , quoiqu’il fût toujours très-éloigné , on pourrait appliquer à chacun de ses points en particulier tout ce que nous venons de dire. Par conséquent chacun d’eux donnerait , en général, un spectre coloré , et ces différens spectres se superposant les uns sur les autres , confondraient: leurs couleurs. Si l’objet est d’une teinte uniforme , s’il est blanc , par exemple, cette superposition, reproduite également partout, recomposera une teinte uniforme dans le milieu de l’image. Mais les bords seront toujours frangés de couleurs , dans une étendue d’autant plus grande , que la réfraction produite par le système des prismes sera plus considérable ; si , au contraire, l’objet était composé de couleurs différentes , cette superposition n’étant plus égale, son image serait partout altérée, et l’on ne pourrait plus distinguer ses diverses parties. La même chose arriverait si son diamètre apparent , vu à travers le prisme , était moindre que l’étendue de la dispersion ; et c’est ainsi que la lumière solaire, transmise à travers un seul prisme de verre dont l’angle réfringent est considérable , donne déjà une image colorée dans toute son étendue.

Supposons maintenant les prismes calculés et disposés de manière que les divers rayons hétérogènes partis du même point sortent parallèles entre eux après leur émergence. Alors chacun des points de l’objet donnera une image unique , parfaitement distincte, colorée [de sa couleur naturelle , et séparée de toutes celles des autres points. On verra donc alors l’objet comme à la vue simple , quoique son image soit déviée ; c’est le cas de Y achromatisme.

Essayons d’abord de remplir cette condition , en supposant que l’objet lumineux .soit un point , sans diamètre sensible et placé à une distance infinie. Il faudra que la déviation A soit la même pour tous les rayons hétérogènes partis de ce point. Or , on a généralement

A ~~ <p,|v — ï ç — — &x ■— ci 2 . . . a .

L’angle d’incidence <p est commun à tous les rayons , ainsi que

DE L ACHROMATISME. 487

les angles réfringens at h r a% b^. . . , etc. ; il suffit donc que l’angle d’émergence soit aussi constant, et en effet il est

visible que cette constance rend les rayons émergens parallèles.

Or, nous avons donné plus haut les relations générales qui lient l’angle d’incidence <p à l’angle d’émergence ^v t. Les valeurs qui en résultent pour ce dernier angle varient d’une couleur à une autre l’incidence restant la même , parce que les rapports de réfraction nx n 2.... changent. Il faut donc chercher les variations que ces changemens produisent dans les angles d’émergence 4>4v__ï ; et en les égalant à zéro, on aura les conditions nécessaires pour que tous les rayons émergens sortent parallèles ; d’où l’on voit qu’il y aura autant de ces conditions qu’il y aura de rayons hétérogènes , et par conséquent , à parler en toute rigueur , il devra y en avoir une infinité.

Mais cette rigueur n’est pas indispensablement nécessaire pour les applications; car lorsque les rayons extrêmes et les moyens , par exemple, sortent parallèles entre eux , les rayons intermédiaires s’en écartent de quantités fort petites , à cause du peu de différence qui existe entre les rapports de réfraction pour les différentes couleurs du spectre. Cet écart peut même devenir assez faible pour que l’oeil ne l’aperçoive pas ou le tolère facilement ; et alors l’achromatisme, sans être rigoureux, sera suffisant pour les usages optiques. On le rendrait encore plus exact en accordant ainsi un plus grand nombre de rayons ; d’où l’on voit qu’en général il nous faut d’abord chercher la condition de l’achromatisme pour deux rayons , relativement auxquels les valeurs de nt , n2. . . soient peu différentes ; après quoi il ne restera plus qu’à appliquer cette condition à un nombre de rayons suffisant pour que la lumière émergente soit sensiblement recomposée.

Supposons donc qu’ayant appliqué les formules de la page 479 à un rayon homogène d’une certaine couleur, nous veuillions les appliquer à un autre rayon relativement auquel les rapports con» stans de réfraction dans les différens prismes soient ,

488 de l’achromatisme»

n % + ***-• et désignons en général par <p -f- èq> , etc.

les angles que le second rayon forme avec les différentes surfaces des prismes. Dans le cas particulier qui nous occupe, $n2... seront de très-petites quantités dont nous pourrons négliger les carrés ou les produits : en outre , £ <p sera nul, puisque les rayons de diverses couleurs qui composent la lumière incidente arrivent au premier prisme ensemble , suivant une même direction. Alors <^<p2. . . . seront aussi des quantités fort

petites du même ordre que $'nl , ^n2. . . dont elles dépendent. D’après cela , on voit que leurs valeurs s’obtiendront en différenciant les équations successives par lesquelles les angles <p , <p j, <pa. . . . sont liés entre eux. Appliquons ceci, par exemple , au premier prisme ; les équations générales seront

cos <p~nl cos ; <p>2r=.a -f- <pt ; cos <p3 r= n , cos <pfi.

Si nous y faisons varier nt de êsnl , et cp de <p , pour plus de généralité , il viendra :

sin <p = n t sin çt £ <p l — cos <p t £ n t ïç, = î<p,

sin Ç3 =: nl sin $2 <^<p2 — cos <p2 ^ n , .

Tirons de la première la valeur de , et substituons-la dans la seconde , nous aurons o <p2. Substituons celle-ci dans la troisième , nous aurons £ <p3. On trouve ainsi

n r cos è nl cos <pt sin <p2 t . sin p . sin <pa

sin Ç3 sin (p t sin Ç3 sin Ç> t sin Ç3

les deux premiers termes peuvent se réunir en un seul; en les réduisant au même dénominateur, ils deviennent

è n t sin (<p2 — <p,) ê'rij sin al

-T— OU — r~ r— .

sin <pt sm <p3 sin pl sin <p3

Ainsi, après cette réduction , on a enfin

<^nx sin a t . sin < p sin <p2

& <po ~ — —7 : *

sin cp, sin (p3 sin <pl sin Ç3

Telle est donc la valeur de &<p3 en fonction de £ nx et de pour le premier prisme ; on aura de même dans le second la valeur de

DE L ACHROMATISME. 489

è' <p7 en fonction de #a, de nz , et de l’incidence <p 4. Cette valeur ,

absolument pareille à la précédente , sera

ïna sin az . 4 sin <p4 sin <p6

sin (pb sin <p7 ' sin sin <p7 Pour le troisième prisme , on aurait encore

n3 sin a3 £ <pg sin <p$ sin <p{

sin <p9 sin <plt ' sin (p9 sin Q \ t et ainsi de suite pour tant de prismes que l’on voudra. Il ne reste plus qu’à lier ces expressions entre elles. Or, de même que l’on a trouvé ^<£>a — ^<p , , on trouvera

tyg = $<P7

J<Pia ~ n ,

et ainsi de suite ; de sorte que suivant le nombre des prismes on aura pour le dernier angle <p^ , les formules suivantes :

pour 1 prisme ,

nx sm at

£ <p sin <p sin <p2

sin <p t sin <f>3 ' sin (px sin <p3

pour 2 prismes ,

JVz t sin a t . sin sin

^nz sin a%

sin<p5sin(p7 ‘ sin <p t sin <p3 sin sin <p7 ê'Q sin <p sin <pz sin (p4 sin <p6

‘jf lirm"~" ■' ■ « < mé *

sin Ç)l sin <p3 sin <pb sin <p? y pour 3 prismes ,

3 sin a3

^ <^3 sin a3 f nz sin az. sin sin QÏO

sin <p9 sin (pIT sin <pb sin Ç>7 sin <p9 sin <£tr ïnt . sin at sin <p4 sin<p6 sin <ps sinÇ>!0

sin <p , sin $3 sin <p5 sin <p7 sin (pg sin ç> , r ^<p . sin <p sin <pz sin <p4 sin Ç>6 sin Ç>8 sin <pï0

sin (p t sin <p3 sin Çb sin <p7 sin <pg sin <px t

La loi de ces formules est évidente , et peut être étendue sans difficulté à un nombre quelconque de prismes d’angles réfrin-

4<jo de l’achromatisme.

gens quelconques. Quand on voudra en faire usage , il faudra commencer par calculer les valeurs successives des angles Ç Ç>2 <p3... , relativement à un des rayons que l’on compare , en partant de l’angle d’incidence <p qui doit être donné , et des valeurs de nl n2..< qui doivent être aussi données relativement à ce même rayon. Ces angles <pa... étant connus, on les substituera dans notre formule, ainsi que £ nl , et elle donnera,

avec une approximation toujours suffisante, la valeur de la dernière différence ^ , , laquelle, ajoutée à <Êqv__t , forme l’angle d’émergence qui convient au second rayon. Ceci suppose uniquement , comme condition essentielle , que les deux rayons que l’on compare traversent réellement tous les prismes , et sortent du dernier par réfraction ; car si l’un d’eux devait se réfléchir intérieurement , au lieu de se transmettre , il arriverait que quelqu’un des angles d’émergence ç3Ç7<pi t . . . deviendrait nul , ou presque nul , ce qui rendrait sa différence infinie , ou du moins très-considérable , de très-petite que nous l’avons supposée dans notre calcul. Mais lorsqu’on a pour but de comparer les dispersions de la lumière à travers diverses substances, on a toujours grand soin de se tenir éloigné du cas précédent, et l’on dispose les prismes pour qu’ils transmettent la lumière , non pour qu’ils la réfléchissent intérieurement. Ainsi le cas d’exception que nous venons de remarquer dans nos formules ne se rencontrera jamais dans les applications. De plus, il faudra , pour l’homogénéité du calcul numérique , exprimer le petit angle ^ en parties du rayon des tables qui est ici pris pour unité ; et alors se trouveront

exprimés d'une manière semblable; ou, ce qui revient au même , il faudra , dans la formule , remplacer ces petits angles par leurs sinus.

Maintenant il nous est facile d’établir en général les conditions nécessaires pour le parallélisme des rayons émergens. Il suffit d’écrire que les variations du dernier angle d’émergence sont nulles , quand on passe d’un de ces rayons à l’autre. Par exemple , si nous ne considérons que trois prismes , il faut égaler à

DE L’ACHROMATISME. 4qx

zéro la valeur de , et de plus il faudra maintenant y supposer J^nul pour exprimer que les rayons incidens sont parallèles ; on aura ainsi , après avoir supprimé les facteurs communs, o = -j- £ sin sin sin <ps sin Ç>8 sin <pt0 -J- sin a2 sin <pt sin <fi3 sin <ps sin <pto + ^ ns sin a6 sin Çl sin Ç>3 sin sin <p7 ; (A)

équation dans laquelle alaQ a3 désignent les angles réfringens des prismes successifs, et à'nx Jna<în3 les variations des rapports constans de réfractions dans les prismes . pour les deux rayons que l’on veut rendre parallèles. De plus , comme nous négligeons les carrés de ces petites quantités , on voit que les angles <p<pt <p2.... peuvent être calculés pour un quelconque des rayons que l’on compare , ou si l’on veut , pour le rayon moyen entre eux.

Supposons d’abord , comme dans la page 480, que les angles réfringens at at a3... sont tous très-petits , et que le rayon lumineux les traverse presque perpendiculairement à leurs surfaces. Cela nécessite, comme on l’a dit alors, que les angles b , ^...compris entre les prismes, soient pareillement fort petits. Dans ce cas , les angles d’incidence et d’émergence <p3... sont très-

peu différens de l’angle droit, et par conséquent leurs sinus , qui seuls entrent dans la formule , seront presque égaux à l’unité j c’est-à-dire que leurs valeurs pourront être représentées par 1— -es, 1 — - /3 , 1 *-y,«|Sy étant des quantités fort petites. Par conséquent, si l’on substituait ces valeurs dans l’équation de l’acliromatisme, elle se trouverait composée de deux parties : l’une, qui sera la plus importante, sera indépendante de a fi y ; l’autre, qui se trouvera multipliée par les diverses puissances de ces quantités, sera très-petite par rapport à la première. On peut; donc , pour une première approximation , se borner d’abord à détruire la partie de l’équation qui est indépendante de a fi y.... puisque l’autre s’affaiblira de plus en plus à mesure que l’on diminuera les angles réfringens des prismes et les incidences des rayons. Or , cette première partie s’obtiendra en substituant l’unité à la place de sin <pt sin <pa..„ ; de sorte que l’on aura ainsi o ~ ïnt sin a t -f- sin -f- sin a3 . . . .

DE L ACHROMATISME.

C’est la condition de l’achromatisme pour les très-petits angles.

On peut facilement vérifier ce résultat, en le tirant directetement de l’expression que nous avons trouvée pour ce cas page 481. Nous avons eu alors

A — (/zr — 1) ax 4- ( nz — 1 ) «a -f" («3 l) a3

Par conséquent , relativement à un autre rayon homogène , mais d’une réfrangibilité différente , ce serait

~ (ml — 1) aT -f- (wza — 1) az -f- (;/z3 — j) a3

Retranchez ces valeurs de A et de At l’une de l’autre , il vient

A — A, — ( n, — - mx) ax 4- (na — m2) az -f

on , en exprimant les différences des rapports de réfraction par JVz, J7*a. . . comme nous l’avons fait tout-à-l’heure ,

A — At =r <2, è'nl -j- a% & -f- • • • • ^v*

Or, A — Ar est précisément la différence de déviation des deux rayons homogènes que l’on compare. Si l’on veut que ces deux rayons soient parallèles, il faut que A — Ar soit nul, ce qui donne o z=z at r + «2 £ n 2 -f » • • • ^ ^ $ riy ;

ou en substituant aux rapports des petits arcs al <2a... ceux de leurs sinus

o è'n t sin a, -f- ^ ni sin aa. . * . -f- ^ /2v sin ay> •> comme précédemment. Supposons que l’on ait déterminé directement les valeurs de nnl n%... pour deux des rayons du spectre, en observant immédiatement les déviations de ces deux rayons à travers les substances que l’on veut compenser. En retranchant ces rapports les uns des autres, on connaîira à'n^. . . Par conséquent si l’on met pour ces quantités leurs valeurs dans la formule , on aura entre les angles réfringens des prismes une équation à laquelle ils devront satisfaire pour que les deux rayons que l’on a considérés, après avoir traversé l’assemblage de ces prismes , sortent parallèles entre eux.

La différence de réfrangibilité qui existe entre les différens rayons est inégale dans les diverses substances , mais elle a toujours lieu dans le même sens; c’est-à-dire que dans toutes les substances les rayons violets , par exemple, sont plus réfrangibles que les rayons bleus ; les bleus sont plus réfrangibles que les verts , et ainsi de suite. Par conséquent , les valeurs de

de l'achromatisme.

£ nx , . . . seront toutes de même signe, positives

ou négatives. Si de plus les angles réf’ringens des prismes sont tous dirigés dans le même sens , les valeurs de alaÇL, . . av seront aussi toutes de même signe; par conséquent tous les termes de A — At ne pourront pas s’entre-détruire, comme notre équation le suppose , et l’achromatisme sera impossible avec cette dispos sition.

Mais si quelques-uns des angles réfringens sont tournés en sens contraire des autres , alors la valeur de a qui y correspond sera de signe contraire à celles-là, par exemple, négative, Il pourra donc s’établir entre les différens termes de l’équation une compensation telle que leur somme soit nulle, et l’achromatisme sera possible.

S’il n’y a que deux prismes, cette condition suffira pour déterminer leurs rapports ; car on aura alors

o ~ JVZj sin ax -f- sin ,

. sin aa £ 7il

ce qui donne — — — .

sin cil a

Le signe négatif de sin «2 indique que l’angle réfringent du second prisme doit être dirigé en sens contraire du premier ; au moyen de ces conditions, les deux rayons que l’on a considérés sortiront des deux prismes parallèles entre eux.

Si l’on connaissait encore les valeurs de êsnl JVz3... pour un de ces rayons comparés à un troisième rayon du spectre, en mettant ces nouvelles valeurs dans l’équation générale, on aurait une nouvelle condition, à laquelle les angles réfringens devraient satisfaire pour que le troisième rayon sortît parallèle aux deux autres, et par conséquent pour que les trois rayons sortissent parallèles entre eux. Cette nouvelle condition ne pourrait pas être satisfaite en général , si l’on n’employait que deux prismes , puisque la condition du parallélisme des deux

sin a%

premiers rayons suffit pour déterminer le rapport . — ; mais

sin a j

en employant trois prismes, on pourra accorder les trois rayons ; car on aura ainsi deux équations entre les trois angles at a% a3 9

DE L’ACHROMATISME.

sm a a sin a3

et l’on en tirera les valeurs de et . En général , on

sm at sin ax

ne pourra ainsi accorder qu’un nombre de rayons égal à celui des prismes , quoiqu’il puisse accidentellement arriver que d’autres rayons satisfassent aussi à ces mêmes équations , et s’accordent par conséquent avec les premiers.

La méthode précédente ne fait connaître les angles réfrin— gens des prismes qu’en les supposant fort petits ; dans le cas où ces angles seraient trop grands pour que cette supposition fût admissible , il faudra regarder les rapports ainsi déterminés comme une première approximation , que l’on pourra corriger par un second calcul que nous allons exposer.

Pour fixer les idées , supposons que l’achromatisme doive être établi entre deux prismes seulement ; dans ce cas, l’équation de condition rigoureuse à laquelle il faudra satisfaire sera (A) o = $'nl sin ax sin (p^ sin (p6 -{- ^ n a sin a 2 sin q>x sin <p3. Dans l’hypothèse des petits arcs , on a sim plement

o =: nx sin ax -{- £ sin a a, d’où sin a2 —

sin a

comme nous l’avons trouvé plus haut. Supposons qu’on se soit donné arbitrairement alors la valeur de sin az et par conséquent de celle de a a se trouvera déterminée ; mais si ax n’est pas très-petit , la valeur de az, ainsi calculée, ne sera pas tout-à-fait celle qui convient à l’équation (A). Pour obtenir

cette dernière , on calculera la marche du faisceau lumineux à travers les deux prismes ax et a^, tels qu’ils viennent d’être déterminés , en les plaçant l’un par rapport à l’autre , comme ils doivent l’être dans l’assemblage que l’on en veut former. Dans ce calcul , il suffit d’employer le rapport de réfraction qui convient aux rayons moyens ; on obtiendra donc ainsi les valeurs de <px $3 Ç>4* • . Nous ne parlons pas de la première incidence cp qui doit être donnée. Ces valeurs ne seront pas toutà-fait rigoureuses , puisque la valeur employée pour l’angle a% n’est pas tout-à-fait celle qui convient à l’achromatisme ; mais du moins elles sont plus rapprochées de la vérité que si l’on

DE L’ACHROMATISME. /fq§

regardait les angles <p(pl <p2. . .comme des angles droits, et qu’on supposât leurs sinus égaux à l’unité. On peut donc , avec avantagé , substituer ces valeurs dans l’équation (A) ; alors tout y

sin aa

sera connu , excepté le rapport — , et par conséquent on en

sin ax

pourra tirer une nouvelle valeur de ce rapport , qui sera plus exacte que la première , parce que l’on y aura eu égard aux incidences et aux émergences des rayons ; ensuite en remettant pour ax sa valeur première , on aura a2.

Si cette nouvelle valeur de a 2 diffère très-peu de la précédente ;par exemple, si la différence est tellement petite que l’on ne puisse pas en tenir compte dans la construction des prismes , on devra s’arrêter là. Mais si l’on craint que la différence ne soit de quelque importance , il n’y aura qu’à recommencer de nouveau le calcul des angles cpt <p2 (p^. . . avec cette

nouvelle valeur de , et cette fois ils seront beaucoup plus exacts que la première. On substituera donc dans l’équation (A) leurs sinus calculés d’après ces valeurs , et l’on en tirera une

sin a 2

nouvelle expression du rapport — , lequel, cette fois , don-

sin a t

nera sin a a et a 2 , avec toute la précision que l’on pourra désirer dans les expériences les plus délicates.

Cette méthode est générale , quel que soit le nombre des angles réfringens ataa. mais lorsqu’il n’y a que deux prismes, on peut l’abréger et arriver directement à la valeur exacte de a2. Pour cela il suffit de remarquer que, pour satisfaire à l’équation (A) lorsqu’on s’est donné à volonté ax , il suffit de faire varier convenablement a 2 , c’est-à-dire l’angle réfringent du second prisme. Or , cela peut se faire sans changer aucunement les valeurs des angles <p <p, <pa $3 ^4 $5, qui dépendent uniquement du passage du rayon lumineux à travers le premier prisme, et de son incidence sur la première face du second. Il faut seulement convenir de ne point changer le prisme d’air qui les sépare ; alors le changement de a a n’influera que sur l’angle <pe ; or , on a généralement ~ -j~ a a ;

4g6 DE L ACHROMATISME.

et substituant cette valeur dans l’équation (A), elle devient o — frnt sin ax sin sin (/ps“hao) -f' sina sin an sin <Pt sin £f)3. En développant sin (<p5 -J- tfa), et divisant par cos «2, on trouve

£ nx sin ax sin <p , sin <p$

tang a% ~ r : : — r — : — ;

à n a sin <p j sin <p3 -j- à nv sin ax sin cos 4)5

expression qui donnera tout de suite la valeur exacte de az. On pourrait encore employer cette méthode dans le cas de plusieurs prismes , si , pour établir l’achromatisme , on se contentait de faire varier l’angle réfringent du dernier , en se donnant à volonté les angles réfringens des autres , ainsi que leurs positions entre eux et par rapport à la surface antérieure du dernier ; car dans ce cas, comme dans le précédent, tous les angles <pt ♦ . . jusqu'à Q4 v 3 seraient constans; de sorte que l’avant-dernier ou <£4v 2 serait le seul sur lequel influerait le changement de l’angle réfringent a Or, on aurait encore ici

<?4V— 2. = av 4" Ç^—3-

Substituant cette valeur de <p4i;2 dans l’équation de l’achromatisme, on en tirerait tang av , précisément comme nous venons d’obtenir tang a2.

Tous ces calculs supposent que l’on connaît les valeurs de n2 £ n3. . . relativement aux différens rayons homogènes dont on veut déterminer le parallélisme. On peut y parvenir en observant les déviations des différentes couleurs du spectre, dans les prismes dont 011 veut se servir ; mais nous avons déjà remarqué que cette méthode ne pouvait pas donner les valeurs de tfrtj . . avec beaucoup de précision. Car les limites des couleurs n’étant pas rigoureusement tranchées , il est presque impossible de fixer exactement la même teinte et la même nuance de chaque teinte dans toutes les observations successives que l’on fait avec les diverses substances ; et des différences insensibles dans ce genre d’observation , deviennent extrêmement fortes et insupportables quand elles se manifestent dans le mélange des couleurs , surtout lorsqu’on se propose d’appliquer ces déterminations à la construction des lunettes achromatiques , où la moindre erreur est énormément agrandie par le

DE L5ACHROMATISME. 4.97

grossissement. Mais on peut déterminer i'nl d’une

manière infiniment plus exacte , en se servant pour cela des équations memes de l’achromatisme. Car supposez, par exemple, que l’on put tailler et disposer deux prismes ou davantage, de manière à en former directement un assemblage achromatique , on pourrait regarder ce système de prismes comme satisfaisant aux équations de condition établies plus haut. Donc, en mesurant leurs angles réfringens, ainsi que les incidences et les émergences des faisceaux lumineux sur leurs surfaces , on pourrait substituer ces valeurs dans nos équations au lieu de nv . . . Ç . . . Alors tout y serait connu, excepté JVq . . c, et par consé-

quent on pourrait se servir des équations elles-mêmes pour conclure ces quantités. Telle est la marche que nous avons suivie, M. Cauchoix et moi, en nous servant pour cela d’un appareil extrêmement simple, qui donne toutes les combinaisons achromatiques possibles , avec la plus grande perfection. Cet appareil est représenté dans la figure 169.

A l’extrémité d’une bonne lunette achromatique et parallèlement à son axe , on fixe deux tiges métalliques T T opposées diamétralement ; elles sont percées transversalement de deux trous A, dans lesquels passent les axes de deux châssis de cuivre C C, qui peuvent ainsi tourner librement autour des lignes droites AA , perpendiculairement à l’axe de la lunette. Sur ces châssis on attache les prismes dont on veut établir la compensation y et alors l’appareil est tel que le représente la figure. Pour que ï’expérieince réussisse complètement, il faut que les angles des prismes soient tels, qu’en les opposant l’un à l’autre, ils soient près déjà de former un système achromatique. Pour cela , on commence d’abord par observer directement , à travers ces prismes , les réfractions des rayons rouges et des rayons violets (1). On substitue ces réfractions dans la formule de l’achromatisme, en n’y supposant que deux prismes , et l’on en déduit,

(1) On pourrait employer pour cela la méthode de Newton, exposée page 424.